Уравнения математической физики (стр. 13 из 19)
Вычтем из первого второе:
Интегральное представление производной.
Определение.
Фундаментальное решение уравнения Лапласа:
Следствие.
Теорема 1.
Пусть
- ограниченная область с границей класса 
.Пусть
, тогда: 
Доказательство.
Рассмотрим:
-- область без шара. 
Обозначим :
Надо доказать, что :
.Обозначим :
где :
- площадь поверхности единичной сферы в n-мерном пространстве.Учитывая, что:
Обозначим :
Первая теорема о среднем.
Определение.
Функция u называется гармонической в области Q, если она удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа.
Пусть u(x) - гармоническая в
.D- ограниченная область
. 
Теорема 1.
Пусть
- гармоническая функция в Q , и пусть: 
, тогда : 
Значение гармонической функции в центре сферы равно среднему арифметическому её значений на границе сферы.
Доказательство.
Обозначим :
Вторая теорема о среднем.
Пусть
- гармоническая в Q функция; , тогда : 
Доказательство.
, что и требовалось доказать.Принцип максимума.
Теорема.
- ограниченная, связная;u(x) - гармоническая в Q, непрерывная в
, 
, тогда: 
Доказательство.
Предположим противное:
, 
.Тогда докажем, что в произвольной точке области значение функции U совпадает с M ,т.е. u-const. Возьмем
и соединим ломанной l точки Y и Z . Покроем ломанную конечным числом шаров: 
. Шары такие : 
и 
, причем: 
, 
. 
Если
,то: 
, 
Теорема доказана.
Единственность классического решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
(1) 
(2) 
- это не гарантирует существование решения. 
Теорема.
Задача (1) (2) может иметь не более одного классического решения.
Доказательство.
Предположим противное: пусть есть два классических решения:
. Это значит: 
(3) 
(4) 
(5) 
(6) 
(7) 
(8) 
Значит:
и 
Следовательно, если существуют два решения, то они равны друг другу. Что и требовалось доказать.
Обобщенные решения смешаной задачи для волнового уравнения.
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
Обозначения:
; 
.