Уравнения математической физики (стр. 14 из 19)

Умножим обе части на v и проинтегрируем по цилиндру:

(5)

Хотя обобщенное решение - общее понятие, но классическое решение

может не быть обобщенным.

Определение.

Обобщенное решение - функция u из

- называется

обобщенным решением задачи (1)-(4), если

и для

, такого, что

выполняется интегральное

тождество (5).

Существование обобщенного решения первой смешанной задачи для волнового уравнения.

(1)

(2)

(3)

(4)

(6)

(7)

- ограниченная область;

, ... ,

- базис,

тогда:

где:

По теореме Фубини:

(8)

Теорема.

ряд (8) сходится в пространстве

и сумма этого ряда является обобщенным решением задачи (1)-(4). При этом имеет место оценка:

(9)

Доказательство.

Первый этап.

Пусть:

Докажем, что тогда решение u(x,t) имеет вид:

(10)

(11)

(12)

при почти всех t

Доказано:

если

, то:

- решение.

Второй этап.

то:

-обобщенное решение смешанной задачи.

Третий этап.

Докажем, что решения смешанной задачи со специальной правой частью сходятся к обобщенному решению.

Осуществляется предельный переход:

Оценим

и их производные:

Докажем, что последовательность фундаментальна.

Пусть N>M ; рассмотрим :

Значит

-фундаментальная в

- полном , т.е.

Надо доказать, что u - обобщенное решение, если

-обобщенное решение.

; при переходе к пределу получим:

Единственность обобщенного решения первой смешанной задачи для волнового уравнения.

(1)

(2)

(3)

(4)

Теорема 1.

Задача (1) - (4) может иметь не более одного обобщённого решения.

Доказательство.

Достаточно убедится, что однородная задача будет иметь единственное решение.

Возьмем:

где:

- произвольная,

Интегральное тождество приобретет следующий вид:

Теорема доказана.

Анизотропные пространства Соболева.

Определение.

Анизотропным пространством Соболева

называется множество функций

Вводится скалярное произведение:

(1)