Уравнения математической физики (стр. 16 из 19)

В дальнейшем: x принадлежит малому конусу с вырезанным цилиндром.

Проинтегрируем левую и правую части тождества по

:

,

где: - единичный вектор внешней нормали к границе области.

Разобьем этот интеграл на 3 интеграла:

;

потом

.

Рассмотрим на конической поверхности

интеграл

Вычислим все частные производные функции v по

и по направлению внешней нормали к поверхности:

Зная, что

, получим: ,

где:

. Вывод: .

Рассмотрим

, зная, что для .

Переход к пределу:

Вычислим:

- внутренняя нормаль к цилиндру.

Т.к. u - непрерывно дифференцируема на поверхности, то:

учитывая:

на цилиндрической поверхности.

В силу оценки:

Получим:

Получена формула Кирхгофа: (1)

Замена переменных (чтобы легче было дифференцировать по t):

Продифференцировано первое слагаемое:

Геометрический смысл формулы.

1. В первых двух интегралах производится интегрирование по границе основания конуса - трехмерной сфере.

2. В третьем интеграле производится интегрирование по основанию конуса - трехмерному шару.

3. Значение даламбериана вычисляется интегрированием по боковой поверхности конуса.

СМЫСЛ. Дважды дифференцируемая функция u(x,t) выражается через значение первых производных на сфере (границе основания конуса) и её даламбериан на боковой поверхности конуса.

Задача Коши для волнового уравнения.

Обозначим:

Определение.

Функция u(x,t) , такая, что:

1)

- дважды непрерывно дифференцируемая на ;

2)

- один раз непрерывно дифференцируемая в замыкании этого множества;

называется классическим решением задачи Коши для волнового уравнения, если:

Пусть n=3.

Обозначим:

По формуле Кирхгофа функция u(x,t) выражается для любого конуса

через функции в этом конусе. Функция u(x,t) однозначно определяется функциями в любом конусе и, значит, в полупространстве.

Теорема единственности.

Задача Коши (2)-(3) не может иметь более одного решения.

Вопрос существования.

Если классическое решение существует, то оно задается формулой Кирхгофа (4):

Таким образом, вопрос о существовании классического решения
сводится к нахождению условий, налагаемых на функции

, при которых функция, стоящая в правой части формулы (4), является решением этой задачи. Получено лишь достаточное условие.

Предварительные рассуждения.

Введем функцию:

Есть

. Для каждого определяется как интеграл.

Производится исследование

.

Лемма 1.

Пусть функция g и все её производные по пространственным переменным непрерывны до порядка k :

, тогда:

1) функция и все её производные вплоть до порядка k по x и t непрерывны на множестве

:

2) для

и функция удовлетворяет однородному волновому уравнению при и следующим условиям:

Доказательство.

В (5) перейдем к новой переменной, тогда:

Отсюда следует первое утверждение леммы.

Применим

к , тогда:

Подставим t=0:

.

Возьмем производные по t от

: .

Рассмотрим производную при t=0:

Преобразуем второе слагаемое:

обозначим :

тогда (7) примет вид:

.

Используем его для вычисления второй производной по времени:

Предствляя этот объемный интеграл в виде повторного интеграла: сначала по сфере, а затем от 0 до t, получим равенство:

- вследствие формулы (6) справедливо последнее равенство.

Лемма доказана.

Теорема 2.

Пусть:

- трижды непрерывно дифференцируемая в : ;

- дважды непрерывно дифференцируема в : ;