Уравнения математической физики (стр. 17 из 19)

- непрерывны :

;

тогда: решение задачи Коши (2)-(3) существует и дается формулой Кирхгофа (4).

Доказательство.

Рассмотрим второе слагаемое:

в силу леммы 1 есть:

Рассмотрим первое слагаемое

. T.к.

, то:

Начальные условия:

;

Рассмотрим:

где:

- обозначение.

В силу леммы 1 G и все её производные по x и t до второго порядка включительно непрерывны на множестве

Функция G удовлетворяет:

Перейдем к F. F непрерывна вместе со всеми производными по x до второго порядка включительно в области

, и её первая производная по времени непрерывна в этой области.

Вычислим производную F по t:

но:

, и:

Следует:

- удовлетворяет волновому уравнению:

- удовлетворяет однородным начальным условиям:

Окончательно:

- удовлетворяет волновому уравнению

и начальным условиям:

Замечание.

Доказательство теоремы о существовании и единственности классического решения задачи Коши в случае, когда n=3, опиралось на интегральное представление функции в виде формулы Кирхгофа. Формулы, аналогичные формуле Кирхгофа, можно вывести для произвольного числа пространственных переменных. Эти формулы дают выражение достаточно гладкой функции u(x,t) через её первые производные и даламбериан в конусе.

Пользуясь этим представлением, можно обобщить эти теоремы существования и единственности для произвольного числа переменных (n>3).

Замечание.

Формулы, аналогичные формулам Кирхгофа для n=1 и n=2, можно получить из n=3 методом спуска.

Метод спуска (как из формулы Кирхгофа получить формулы Пуассона и Даламбера).

Надо получить формулу Кирхгофа для n=2 - формулу Пуассона.

Обозначения:

Преобразуем интегралы:

Рассмотрим:

Заменим

Получим формулу:

Получена формула Пуассона:

Формула Даламбера:

Обозначим:

Введём фундаментальное решение уравнения теплопроводности:

Свойства U для уравнения теплопроводности.

2.Если U продолжить тождественным 0 при

, то такая функция

- бесконечно дифференцируема.

Доказательство.

Если выписывать производные функции U, то получится рациональная функция, умноженная на экспоненту, экспонента стремится к 0 быстрее любой рациональной функции, значит, пределы все равны 0, и получена бесконечная гладкость.

Доказательство.

В качестве упражнения:

где

- формула представления решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Дополнительные обозначения.

Пусть

, пусть u, Lu - ограничены в полосе.

Введём

, обладающую свойством:

- используются срезающие функции.

n - размерность постранства

N - определяет область интегрирования.

Будем считать:

- интегрирование по цилиндру.

Сначала рассмотрим интеграл:

Можно применить теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла:

Т.к.

, то

произведём замену

, тогда

Если докажем, что остальные пределы дают 0.

Формула Пуассона:

Можно найти решение задачи Коши для уравнения теплопроводности:

Рассматривается задача:

(1)

(2)

Если решение из рассматриваемого класса существует, то оно представляется формулой:

В рассматриваемом классе решений задача Коши для уравнения теплопроводности может иметь не более 1 решения.

Применим теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла

(необходимо, чтобы все элементы последовательности были ограничены интегральной функцией).

где :