Уравнения математической физики (стр. 18 из 19)
Подынтегральная функция ограничена .
Так как :
, то : 
Замена :
. 
, а интеграл 
- сходящийся.Сделано ограничение интегрируемой функцией.
Можно применять теорему Лебега о предельном переходе.
Теория Фредгольма.
(в Гильбертовом или Банаховом пространстве).
Рассмотрим компактный оператор
гильбертово пространство.Изучаем уравнение :
(1)однородное уравнение
(2)однородное сопряженное уравнение
(3)Теорема Фредгольма.
Теорема.
1. Если однородное уравнение (2) имеет единственное тривиальное решение, то неоднородное уравнение (1) имеет единственное решение для любой правой части из гильбертова пространства H.
2. Если уравнение (2) имеет нетривиальное решение, то тогда неоднородное уравнение (1) разрешимо тогда и только тогда, когда правая часть уравнения (1) ортогональна всем решениям уравнения (3) :
.3. Размерность ядра оператора
равна размерности оператора 
и конечна. 
.Введём :
, тогда 
.Лемма 1.
, 
.Доказательство.
Предположим противное :
.Ядро - замыкает линейное подпространство.
Следовательно единичный шар отображается на себя (в некомпактное множество), а оператор компактный.
Ядро - замыкание бесконечномерного подпространства Гильбертова пространства.
Имеем противоречие, доказывающее теорему.
Лемма 2.
, 
- замкнуты в подпространстве.Доказательство.
Пусть
. Докажем, что 
. 
.Разложим
на ортогональные составляющие. 
, где 
.Значит :
.1).
- ограниченная последовательность, следовательно можно выбрать подпоследовательность 
такую, что 
- сходящаяся.Тогда :
. В этом случае сходится в H. 
.2).
- неограниченная. Можно выбрать подпоследовательность 
такую, что: 
, тогда : 
, 
. 
, 
, 
Из сходимости следует, что ненулевые элементы принадлежат ядру и ортогональному дополнению :
.Лемма 3.
Доказательство.(первая часть)
Пусть
, тогда : 
.Получили :
.Пусть
, тогда : 
. 
.Значит :
.Введём обозначения :
Лемма 4.
.Доказательство.
Предположим противное : пусть такого k не существует.
.Возьмём n<m и рассмотрим
.При этом
. 
.Из подпоследовательности
нельзя выбрать фундаментальную подпоследовательность : 
- фундаментальна.Получили противоречие.
Лемма 5.
Пусть
, тогда 
.Доказательство. (совпадает с доказательством 1-ой части теоремы).
Предположим противное :
.Предположили :
, т.е. :Для
.Одновременно : для
.Пусть
По индукции :
.Получено противоречие. Лемма 5 доказана.
Лемма 6.
.Доказательство.
Предположим противное, т.е.
.Обозначим через
- ортонормированный базис в 
. 
. 
.Если докажем, что оператор S имеет тривиальное ядро, то по лемме 5 получим :
.Пусть
. По лемме 3 получаем 
.Если x ортогонален
для любого i , то : 
.Можно выбрать
.Умножим левую и правую части равенства на
: 
Значит : n=m.
Доказательство теоремы Фредгольма.
1) доказано по лемме 5 ;
2) доказано по лемме 6 и по лемме 3;
3) доказано по лемме 1 и 6.
Теорема доказана.