Уравнения математической физики (стр. 19 из 19)

Тема. Теорема Гильберта-Шмидта.

Пусть

, A - самосопряженный, ограниченный оператор; H - унитарное, бесконечномерное полное сепарабельное пространство.

Лемма 1.

Пусть

- самосопряженный, линейный, ограниченный оператор, тогда все собственные значения - вещественные.

Доказательство.

Пусть

- собственное значение оператора A, соответствующее собственной функции x, тогда:

Лемма 2.

Пусть

- самосопряженный, линейный, ограниченный оператор, тогда собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство.

Пусть

- различные собственные значения оператора A, соответствующие различным собственным функциям

, тогда:

Значит, собственные функции ортогональны.

Дополнительные обозначения.

Рассмотрим квадратичную форму

- эрмитова и принимает только вещественные значения. Обозначим через

Лемма 3.

- норма оператора равняется супренуму от модуля квадратичной формы.

Пояснение:

т.е.

Доказательство.

1) докажем, что:

; отсюда:

2) докажем, что:

Лемма доказана.

Обозначим через

Лемма 4.

Пусть

- ограниченный, самосопряженный оператор в H, тогда: m и M принадлежат спектру оператора A:

Доказательство.

Вместо A рассмотрим A-mE (спектр сдвинется на m, и оператор станет неотрицательным):

Не ограничивая общности рассуждений: оператор A - неотрицательный.

- докажем.

, и последовательность

, что:

. Рассмотрим:

(т.к.

, то член ограничен:

)

Получено:

и норма образа

A-ME - не может иметь ограниченный обратный оператор.

Определение.

Подпространство

называется инвариантным подпространством оператора A, если из

следует

Лемма 5.

Пусть

- инвариантное подпространство ограниченного самосопряженного оператора A, тогда:

- ортогональное дополнение к этому подпространству - тоже инвариантное подпространство того же самого оператора A.

Доказательство.

Пусть

; докажем, что

Рассмотрим:

, где:

Лемма доказана.

Лемма 6.

Спектр компактного, самосопряженного оператора состоит из 0 и изолированных собственных значений конечной кратности.

Доказательство.

1. Докажем, что

всегда.

Пусть

, тогда существует ограниченный обратный оператор

Возьмем

переводит шар (не компактное множество) в себя. Получено противоречие.

2. Рассмотрим

Если

- собственное значение оператора A, то (2) - имеет нетривиальное решение, и (1) - всегда разрешимо. По теореме Банаха - оператор A имеет ограниченный обратный оператор.

Случай 1: (2) имеет нетривиальное решение, и (1) имеет решение не для всех правых частей, а только для тех, которые ортогональны решениям (2).

Случай 2:

; других ненулевых точек, кроме собственного значения, быть не может.

3. Докажем: все собственные значения ограничены.

Рассмотрим

, где:

- собственный вектор, соответствующий собственному значению

тогда:

Получено противоречие.

Комментарии:

- 0 может быть собственным значением бесконечной кратности, а остальная часть спектра - из конечного числа собственных значений.

- 0 может не быть собственным значением, но тогда он - точка непрерывного спектра.

Окончательно: спектр состоит из изолированных собственных значений конечной кратности и 0.

Теорема Гильберта-Шмидта.

Пусть

- компактный самосопряженный оператор, тогда существует ортонормированный базис

, состоящий из собственных функций оператора A.

Доказательство.

Оператор A - ненулевой, следовательно:

Значит,

можно определить как максимум, и m , M- собственные значения. Можно найти наибольшее по модулю собственное значение

. Оно имеет конечную кратность, ему соответствует некоторое количество собственных векторов.

Проведем процесс ортогонализации, и получим

- подпространство собственных векторов оператора A, соответствующих собственному значению

. Далее рассмотрим

- тоже инвариантное подпространство, и на нем A - компактный, самосопряженный. Если A на

не равен 0, на нем рассмотрим

. Найдем аналогично

и соответствующее ему

. Рассмотрим

и найдем собственное значение, если оператор - не 0. В результатет получены

Конец:

на каком-то ортогональном подпространстве оператор A обращается в 0, и получена конечная сумма , т.е.

иначе:

- ортогональная сумма подпространств совпадает с H , т.к. иначе на ортогональной сумме рассматривается ортогональное дополнение, и находится ещё одно собственное значение.

Возможны 2 случая:

1) ортонормированный базис из элементов подпространств ( в этом случае система собственных векторов дополнняется до ортонормированного базиса элементами ядра оператора A):

;

2) бесконечный ортонормированный базис :