Уравнения математической физики (стр. 2 из 19)

(13)

(14.1)

(14.2)

(14.3)

(12) (13) (14.1) - первая, вторая и третья смешанные задачи

(14.2) для уравнения

(14.3) теплопроводности.

(14.1) - на границе задана температура;

(14.2) - задан тепловой поток;

(14.3) - задан теплообмен с окружающей средой.

§ 4. Решение смешанных задач для волнового уравнения методом Фурье (разделением переменных).

Первая смешанная задача.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Собственные значения (5) - (6) вещественны, имеют конечную кратность.

- изолир. .

- ортонормированный базис в .

В симметричной матрице собственные вектора, соответствующие разным собственным значениям, попарно ортогональны.

Пусть функции

- разложены по базису

тогда и u(t,x) можно разложить по базису

:

Почленно дифференцируем ряд 2 раза:

(7)

Путём разложения решения в ряды по собственным функциям задачи алгебраизуем задачу, получаем счётное число обыкновенных дифференциальных уравнений.

(8)

(9)

(7) (8) (9) - задача.

Решим однородное уравнение для (7):

- общее решение однородного уравнения (7)

(10)

В результате:

- частное решение неоднородного уравнения (7).

- общее решение уравнения (7).

Подставим (8) и (9) в решение:

т.е.

.

Замечание: не обоснована сходимость рядов.

§ 5.Решение смешанных задач уравнения теплопроводности методом Фурье (разделения переменных).

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

- собственные векторы и собственные значения.

(6)

- общее решение однородного уравнения (6)

- частное решение неоднородного уравнения (6)

- общее решение уравнения (6).

Рассмотрим функцию:

- бесконечно дифференцируема при .

Если

из , то:

, и при функция склеивается как бесконечно гладкая.

-финитная :

- замыкание множества, где отлична от 0.

.

Введём

- функция n переменных.

Свойства

:

1)

- бесконечно дифференцируемая, финитная:

.

2)

- замкнутый шар радиуса h с центром в O.

.

3)

Доказательство.

, С находится из условия .

4)

.

Обозначим:

Интеграл по x бесконечно дифференцируем.

Если

, то:

Носитель функции принадлежит области интегрирования, и:

.

Если

, то : .

Свойства функции

:

- срезающая функция.

Пространство

.

Определение.

Пусть

. Назовём множество функций , пространством , если: