Уравнения математической физики (стр. 4 из 19)

Доказательство.

Выберем h так, чтобы

Подсказка: если функция финитна, то её носитель - внутри области.

Если функцию умножить на срезающую, то ничего не изменится.

Теорема 4.

Утверждение.

Пусть

, то

Пусть

- открытый компакт, то для

Теорема 5.

Пусть

. имеет обобщённые производные и , то

существует обобщённая производная

.

Пространство Соболева.

Определение.

, такая, что называется пространством Соболева порядка k.

Обозначения:

, или .

Введём

.

Утверждение.

- гильбертово(унитарное, сепарабельное).

Теорема 1.

- полное пространство.

Доказательство.

- фундаментальная в

.

- мультииндекс

- может быть равен 0.

в .

в .

Интегральное тождество для

:

Из сильной сходимости следует слабая:

Вывод: пространство полное.

Свойства пространств Соболева.

1.

для .

2.Если

, то .

3.Если

, то .

4.Если

, то

если

, то .

5.

- невырожденное, k раз непрерывно дифференцируемое преобразование, отображающее в .

и пусть .

Пусть

.

Пусть

, то .

Утверждение.

Невырожденная, гладкая замена переменных сохраняет принадлежность функции пространству Соболева.

6.Обозначим

- куб со стороной 2a с центром в начале координат.

Множество бесконечно дифференцируемых функций замыкания куба является всюду плотным в

.

.

Доказательство.

Раздвинем область, возьмём

и будем её аппроксимировать последовательностью бесконечно гладких функций.

(определена в растянутом кубе)

Оценим:

Выберем

и рассмотрим

Разбиение единицы.

Теорема.

Пусть

- ограниченная область, пусть - покрытие замыкания Q, - может равняться бесконечности.

- открытые, тогда: существует конечный набор - финитные, бесконечно дифференцируемые в , неотрицательные функции, такие, что:

Используется для локализации свойства: U имеет свойство на

, расширяем D на путём домножения на .

Доказательство.

Возьмём

. Для - y покрывается множеством .

Для каждой выбранной y построим:

покрывается . Из бесконечного покрытия выберем конечное подпокрытие:

.

Обозначим:

. Обозначим: .

Определим:

: