Уравнения математической физики (стр. 7 из 19)

1. Продолжим функции

финитным образом в более широкую область , .

.

Оператор продолжения ограничен, и :

.

Т. к. множество финитных, бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно в пространстве функций

с компактными носителями, то без ограничения общности рассуждений можно считать, что все функции - бесконечно дифференцируемы в .

- из неё будем выбирать сходящуюся подпоследовательность.

Используем преобразование Фурье :

.

.

В силу финитности :

Оценим по неравенству Коши-Буняковского:

Свойство.

В гильбертовом пространстве из ограниченной последовательности можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность.

- слабо сходящаяся в .

- сходящаяся для любой непрерывной линейной функции .

В качестве

возьмём функции :

- сходится

Докажем, что

- фундаментальна в

Так как последовательность

сходится для любых и ограничена, то для интеграла применяем теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, получаем :

, где - радиус шара.

исходя из теоремы Планшереля (в обратную сторону) и свойств преобразования Фурье :

Выбором R, интеграл

можносделать сколь угодно малым, т.е. : .

Если

и k,m - выбрать , то : , и последовательность

- фундаментальна.

Формула интегрирования по частям

(1)

- ограничена, .

(2)

В уравнении (2) перейдем к пределу при

, получаем уравнение (1).

Пространство

Определение.

Назовём пространством

замыкание пространства финитных непрерывно дифференцируемых функций в .

- замыкание в .

Если есть

, то :

.

Если

, то . Справедливо и обратное утверждение.

Теорема.

. - ограничена, .

Определение.

Эквивалентные нормы.

Пусть H - гильбертово пространство со скалярным произведением ( . , . ).

Скалярное произведение

. , . называется эквивалентным ( . , . ) , если :

.

Из эквивалентности скалярных произведений можно пользоваться любым.

Теорема 2.

В пространстве

можно ввести скалярное произведение по формуле :

(3)

Доказательство.

Надо доказать :

(4)

Доказательство от противного.

Будем считать, что

, а это значит :

(по теореме Реллиха-Гординга)

Имеем противоречие.Теорема доказана.

Обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

Пусть

- решение задачи (1)-(2). Возьмем и умножим (1) на , проинтегрируем и получим :

. Если - гладкая, то :