Уравнения математической физики (стр. 8 из 19)
(3)Определение.
Функция
называется обобщенным решением задачи (1)-(2), если для любой функции 
выполняется тождество (3).При исследовании обобщенных решений
.Лемма.
Существует линейный ограниченный оператор
, такой, что 
.При этом
-компактный самосопряжённый положительный оператор.По определению :
. 
- антилинейный по 
. 
.f -ограничен, следовательно применим теорему Рисса :
F - линейно зависит от u.
.Компактность очевидна по теореме Реллиха-Гординга.
Самосопряженность доказана.
Теорема.
Для любой функции
cуществует единственный краевой задачи (1) (2). При этом 
(4)Задача Дирихле для уравнения Пуассона корректна, т.е. существует единственное решение непрерывно зависящее от правой части.
Доказательство.
Собственные значения и собственные функции оператора Лапласа.
Определение.
Функция
называется обобщенной собственной функцией оператора - с условиями Дирихле, соответствующей обобщенному собственному значению , если она удовлетворяет следующему интегральному тождеству : 
(3)Теорема.
1. Собственные значения задачи (1) (2), являются вещественными, положительными, изолированными, имеют конечную кратность, и :
2.Существует ортонормированный базис в
состоящий из собственных функций задачи (1) (2) 
.3.
составляет ортонормированный базис в 
с эквивалентным скалярным произведением : 
(4)Доказательство.
Интегральное тождество (3) можно записать в виде :
, 
, 
.Эквивалентная задача :
Теорема 1.
Если
- линейный ограниченный самосопряженный оператор, тогда спектр 
- вещественный, и : 
Теорема 2.
Пусть
- компактный, самосопряженный оператор, тогда состоит из {0} и некоторого (конечного или счетного) множества изолированных собственных значений конечной кратности : 
{0} всегда принадлежит спектру компактного оператора.
Теорема 3.
Пусть
- копактный, самосопряженный оператор, тогда существует ортонормированный базис в пространстве 
, состоящий из собственных функций этого оператора : 
.Для удобства
, 
.Значит :
- ортонормированная система в .Так как
всюду плотно в , то образует ортонормированный базис в . 
Значит :
образует ортонормированный базис в .Рассмотрим задачу :
(1)где
Краевые условия :
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
(6) 
(7) 
(8) 
(9)Теорема 1.
Если однородная краевая задача имеет единственное тривиальное решение, то неоднородное неоднородная краевая задача (1) (2) имеет единственное решение для
.2. Если (3) (4) имеет нетривиальное решение , то (1) (2) разрешима тогда и только тогда, когда
для любого w, являющегося решением (5) (6)3. Задачи (3) (4) и (5) (6) имеют одинаковое число линейно независимых решений.
Теорема Фредгольма.
Рассмотрим уравнения
(10) 
(11) 
(12)где I - единичный оператор в H, C - компактный оператор в H.
1. Если однородное уравнение (11) имеет единственное тривиальное решение, то для
существует единственное решение уравнения (10).