Уравнения математической физики (стр. 1 из 19)
§ 1.Тема. Некоторые определения и обозначения.
Определение.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то это обыкновенное дифференциальное уравнение, иначе - уравнение в частных производных.
Определение.
Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение, называется порядком уравнения.
Определение.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если производные и сама неизвестная функция входят в уравнение линейным образом.
(1)Пусть выбран любой
, где 
, и его норма: 
- дифференциальный оператор. 
- запись линейного диф. уравнения с помощью диф. оператора. (2)Определение.
Открытое, связное множество
называется областью.По умолчанию будем считать область ограниченной.
Через
или 
будем обозначать границу области.Определение.
- (n-1)-мерное многообразие S в 
принадлежит классу 
( 
), еслидля
и 
такие, что: 
, где 
однозначно проектируется на плоскость 
, при этом:D - проекция данного множества на плоскость
, 
- k раз непрерывно дифференцируема в D по всем переменным. 
Можно разбить поверхность на части, в каждой части можно одну координату выразить через другие непрерывно дифференцируемой функцией.
- множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в Q. 
- множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в 
. 
, аналогично 
. 
- множество финитных k раз непрерывно дифференцируемых функций.Аналогично:
.§ 2. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка.
. 
- матрица квадратичной формы. 
- n вещественных собственных значений матрицы A 
- количество положительных собственных значений.
- количество отрицательных собственных значений.
- количество нулевых собственных значений с учетом кратности.
1.Если = n или = n, то это эллиптическое уравнение.
Ex: Уравнение Пуассона
.2.Если = n - 1, = 1, или = 1, = n - 1, то уравнение гиперболическое.
Ex:
- волновое уравнение.Для уравнения Лапласа:
Для волнового уравнения:
3.Если
, а 
, то ультрагиперболическое уравнение.Ex:
.4.Если
, то параболическое уравнение.Ex:
, и - уравнение теплопроводности. 
Определение.
Каноническим видом линейного дифференциального уравнения в частных производных называется такой вид, когда матрица A является диагональной.
Приведение к каноническому виду.
1) y=y(x), то:
Уравнение (1) в новой системе координат:
(1')Матрица Якоби:
.В результате:
 |
Ex:
гиперболическое уравнение.
- канонический вид волнового уравнения.Замечание: тип уравнения может быть различный в различных точках.
§ 3.Постановка начальных и краевых задач для уравнений в частных производных.
Задача Коши для волнового уравнения:
Уравнение теплопроводности
Уравнение Пуассона
Определение.
Если малые изменения правой части уравнения приводят к большим изменениям в решении, то задача считается некорректной.
(6) 
(7.1) 
(7.2) 
(7.3)(6)(7.1) - первая краевая задача, задача Дирихле.
(6)(7.2) - вторая краевая задача, задача Неймана.
(6)(7.3) - третья краевая задача.
Волновое уравнение.
(8) 
(9) 
(10) 
(11.1) 
(11.2) 
(11.3)(8) (9) (10) (11.1) - смешанные
(11.2) задачи
(11.3) (краевые задачи)
- единичный вектор внешней нормали к поверхности.На
задаются начальные условия.На боковой поверхности - краевые задачи.
Параболическое уравнение.
(12)