Формула Шлетца (стр. 2 из 3)

Определяемая им прямая ρ_jX^j=0 (8) проходит через точку Р и точку пересечения прямых (6).

Пусть W-однородное подмногообразие в R(p₁,p₂)содержащее элементы (р₁,р₂) определяемое условием: (р₁^*,р₂^*)∈W↔p₁^*p₂^*=p₁p₂.

Теорема 1.Прямая (8) является касательной в точке Рк прообразу f^-1(W)многообразия Wпри отображении f.

Доказательство:

] (p₁^*,p₂^*)∈W и p₁^*=p₁+dp₁+1\2d²p₁+... ,

p₂^*=p₂+dp₂+1\2d²p₂+... .

Тогда в репере Г: p₁^*p₂^*=e p₁p₂, где e=1+2W+...является относительной длиной отрезка р₁^*р₂^* по отношению к р₁р₂. Таким образом, (р₁^*р₁^*)∈W↔W=0.

Из (2) получим: W=ρ₁W^j

Следовательно, (р₁^*р₂^*)∈W равносильно ρ_jW^j=0(9)

Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения.

При фиксации элемента (р₁,р₂)∈R(p₁p₂) определяется функция h:(p₁^*p₂^*)∈h(p₁p₂)→e∈R, так, что р₁^*р₂^*=е р₁р₂

В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о., линия f^-1(W)является линией уровня функцииh. Заметим, что (9) является дифференциальным уравнением линииf^-1(W).

]W₁,W₂- одномерные многообразия вR(p₁p₂), содержащие элемент (р₁р₂) и определяемые соответственно уравнениями:

(p₁^*,p₂^*)єW₁↔p₂^*=p₂.

(p₁^*,p₂^*)єW₂↔p₁^*=p₁.

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.

Теорема 2. Прямая (7) является касательной в точке P к прообразу многообразияW₂ (многообразияW₁) при отображенииf.

Дифференциальные уравнения линииf^-1(W₁)и f^-1(W₂) имеют соответственно вид:

λ_jW^j=0

μ_jW^j=0.

Пусть W₀- одномерное подмногообразиев R(p₁p₂), содержащее (р₁р₂) и определяемое условием: (p₁^*p₂^*)єW₀↔Q*=Q ,где Q*– середина отрезка р₁^*р₂^*. Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1.

Предложение 3. Прямая(λ_j+μ_j)X^-j=0 (10) является касательной в точке Р к прообразу f^-1(W₀) многообразияW₀ при отображенииf. Дифференциальное уравнение линииf^-1(W₀) имеет вид:(λ_j+μ_j)W^j=0.

Теорема 3.Прямые, касательные в точке Р к многообразиямf^-1(W₁), f^-1(W₂), f^-1(W), f^-1(W₀) составляют гармоническую четверку.

Доказательство вытекает из (7),(8),(10).

§5. Точечные отображения, индуцируемые отображением f.

Рассмотрим отображения:

П₁: (р₁,р₂)∊R(p₁,p₂)→p₁∊A₁ (5.1)

П₂: (р₁,р₂)∊R(p₁,p₂)→p₂∊A₁ (5.2)

Отображение f: A₂→R(p₁,p₂)порождает точечные отображения:

φ₁=П₁∘f: A₂→A₁ (5.3)

φ₂=П₂∘f: A₂→A₁ (5.4)

В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений φ₁ и φ₂ меют соответственно вид (2.5 а) и (2.5 б). Подобъекты Г_1,2={λ_j,λ_jk} и Г_2,2={μ_j,μ_jk} объекта Г₂ являются фундаментальными объектами второго порядка отображений φ₁ и φ₂.

В работе <4> доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет соответственно вид:

x=1+λ_jX^j+1/2λ_jkX^jX^k+1/4λ_yρ_kX^jX^k+<3>, (5.5)

y=-1+μ_jX^j+1/2μ_jkX^jX^k+1/4μ_yρ_kX^jX^k+<3>, (5.6)

Введем системы величин:

Λ_jk=λ_jk+1/4(λ_jρ_k+λ_kρ_j),

Μ_jk=μ_jk+1/4(μ_jρ_k+μ_kρ_j)

Тогда формулы (5.5) и (5.6) примут соответственно вид:

x=1+λ_jX^j+1/2Λ_jkX^jX^k+<3> (5.7)

y=-1+μ_jX^j+1/2Μ_jkX^jX^k+<3> (5.8)

В <4> доказано, что существует репер плоскости А₂, в котором выполняется:

λ₁ λ₂ 1 0

=

μ₁ μ₂ 0 1

Этот репер является каноническим.

Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f является единичной матрицей.

Формулы (5.7) и (5.8) в каноническом репере примут вид:

x=1+X¹+1/2Λ_jkX^jX^k+<3> (5.9),

y=-1+X²+1/2Μ_jkX^jX^k+<3> (5.10).

§6. Инвариантная псевдориманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

G_jk=1/2(λ_jμ_k+λ_kμ_j)

Из (3.1) получим:

dG_jk=1/2(dλ_jμ_k+λ_jμ_k+dλ_kμ_j+λ_kdμ_j)=1/2(μ_kλ_tW_j^t+1/4λ_jμ_kμ_tW^t-1&bsol;4μ_kμ_tλ_tW^t+μ_kλ_jtW^t+λ_jμ_tW_k^t+

+1/4λ_jλ_kμ_tW^t-1/4μ_jλ_kμ_tW^t-1/4μ_jλ_tμ_kW^t+μ_jλ_ktW^t+λ_kμ_tW_j^t+1/4λ_kλ_jμ_tW^t-1/4λ_kλ_tμ_jW^t+

+λ_kμ_jtW^t),

dG_jk=1/2(μ_kλ_t+λ_kμ_t)W_j^t+1/2(λ_jμ_t+λ_tμ_j)W_k^t+G_jktW^t,

где G_jkt=1/2(μ_kλ_jt+λ_yμ_kt+μ_jλ_kt+λ_kμ_jt-1/2μ_jμ_kλ^t+1/2λ_jλ_kμ_t-1/4λ_jμ_kλ_t+1/4λ_jμ_kμ_t+1/4μ_jλ_kμ_t-

-1/4μ_jλ_kλ_t) (6.3).

Таким образом, система величин {G_jk}образует двухвалентный тензор. Он задает в А₂ инвариантную метрику G:

dS²=G_jkW^jW^k (6.4)

Из (6.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) соответствует при отображении f метрике dS²=θ²-W² (6.5)в R(p₁,p₂).

Из (6.5) вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой.

Асимптотические направления определяются уравнением G_jkW^jW^k=0или

λ_jW^jμ_kW^k=0 (6.6)

Предложение: Основные векторы V₁и V₂определяют асимптотические направления метрики G.

Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар. На проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек (x,U) и (y,U^’)расстояние между ними определяется как двойное отношение W=(xy,UU^’)

Теорема: Метрика dS²=θ²-W²совпадает с метрикой Розенфельда .

Доказательство: В репере rимеем для координат точек p₁,p₂,p₁+dp₁,p₂+dp₂

Соответственно: 1,-1,1+θ+W,-1+θ-W.

Подставляя их в формулу (4.2) на стр. 344 (§7), получаем

dS²=θ²-W²

Следствие: Метрика Gсохраняется при расширении фундаментальной группы ее проективных преобразований.

В работе <3> был построен охват объекта

Г^l_jk=1/2G^tl(G_tkj+G_jtk-G_jkt)

псевдоримановой связности Gфундаментальным объектом Г₂={λ_j,μ_j,λ_jk,μ_jk}.

Онопределяется формулой: Г^l_jk=λ^jΛ_jk+μ^lΜ_jk-λ^lλ_tλ_k+μ^lμ_tμ_k.

§7. Инвариантная риманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

g_jk=λ_jλ_k+μ_jμ_k (7.1)

Из (3.1) получаем:

dg_jk=dλ_jλ_k+dλ_kλ_j+dμ_jμ_k+dμ_kμ_j=λ_kλ_tW_j^t+1/4λ_kλ_jμ_tW^t-1/4λ_jλ_tμ_jW^t+λ_kλ_jtW^t+λ_jλ_tW_k^t+

+1/4λ_jλ_kμ_tW^t-1/4λ_jλ_tμ_kW^t+λ_jλ_ktW^t+μ_kμ_tW_j^t+1/4μ_kλ_jμ_tW^t-1/4μ_kλ_tμ_jW^t+μ_kμ_jtW^t+