Формула Шлетца (стр. 1 из 3)

КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ.

КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ.

§1. Пространство R(p₁,p₂).

А₁- аффинная прямая. Отнесем прямую А₁к подвижному реперу r ={a,`e}, где аи`eсоответственно точка и вектор.

Деривационные формулы репера r имеют вид:

d a= q`e , d`e= W`e (1),

причем формы Пфаффа q и Wподчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства :

D q = qÙW , DW=WÙW=0.

Пусть e* - относительная длина вектора e* =`e + d`e + 1/2d²`e + 1/6d<sup>3</sup>`e +... по отношению к вектору `е. Тогда `e*=e*`e. Из (1) получаем :e* =1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора `e*, близкого к `e , по отношению к `e.

Пусть R(p₁,p₂) – пространство всех пар (p₁,p₂)точек p₁,p₂ прямой А_1. Поместим начало а репера rв середину Qотрезка р₁р₂, а конец вектора `е – в точку р<sub>1</sub>; при этом р<sub>2</sub>совместится с концом вектора -`е.

Условия стационарности точек р₁ и р₂ в таком репере имеют соответственно вид: W+q=0, -W+q=0.

Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р₁,р₂) являются формы Пфаффа : W+q , -W+q.

Очевидно, что dim R(p₁,p₂)=2. Заметим ,что в репере rформа 2W является дифференциалом относительной длины отрезка р₁*р₂*, близкого к р₁р₂,по отношению к р₁р₂.

§ 2. Отображение f.

А₂ – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R={p,`e<sub>j</sub>}. Деривационные формулы репера Rи уравнения структуры плоскости А<sub>2</sub> имеют соответственно вид :dp=W<sup>j</sup>e<sub>j</sub> ; d`e_j=W_j ^k;

DW^j=W^k^W_k^j ; DW^j=W_j^y^W_y^k .

Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение fплоскости А₂ в пространстве R(p₁,p₂):f:A₂®R(p₁,p₂).

Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f=2 (1)

Поместим начало Р репера R в точку f^-1(p₁,p₂). Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде :

Q+W=l_jW^j; Q-W=m_jW^j (2)

Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f^-1: R(p₁,p₂)®A₂обратное к f.В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f^-1имеют вид :

W^j=l^j(Q+W)+m^j(Q-W) (3)

Из (2) и (3) получаем :

l^kl_j+m^km_j=d_j^k

l^jl_j=1

m^jm_j=1 (*)

l^jm_j=0

m^jl_j=0

Указанную пару {r;R} реперов пространств А₁ и А₂ будем называть репером нулевого порядка отображения f.

§3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f.

Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f.

D(λ_jW^j-W-Q)=0,

получаем :

dλ_j=λ_kW_j^k+1&bsol;4(λ_jμ_k-λ_kμ_j)W^k+λ_jkW^k

D(μ_jW^j+W-Q)=0

получаем :

dμ_j=μ_kW_j^k+1&bsol;4(λ_jμ_k-λ_kμ_j)W^k+μ_jkW^k

Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид :

Q+W=λ_jW^j

Q-W=μ_jW^j

dλ_j=λ_kW_j^k+1&bsol;4(λ_jμ_k-λ_kμ_j)W^k+λ_jkW^k

dμ_j=μ_kW_j^k+1&bsol;4(λ_jμ_k-λ_kμ_j)W^k+μ_jkW^j

Из этих уравнений вытекает, что система величин Г₁={λ_j,μ_j} является геометрическим объектом.Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы (2) :

dλ_k^W_j^k+λ_kdW_j^k+1&bsol;4(λjμ_k-λ_kμ_j)^W^k+1&bsol;4(λ_jμ_k-λ_kμ_j)dW^k+dλ_jk^W^k+λ_jkdW^k=0.

получим:

(dλ_jt-λ_ktW_j^k-λ_jkW_t^k+1&bsol;4(λ_kμ_jt-μ_kλ_jk)W^k+1&bsol;16λ_tμ_k(λ_j-μ_j)W^k)^W^t=0

dμ_k^W_j^k+μ_kdW_j^k+1&bsol;4d(λ_jμ_k-λ_kμ_j)^W^k+1&bsol;4(λ_jμ_k-λ_kμ_j)dW^k+dμ_jk^W^k+μ_jkdW^k=0

получим:

(dμ_jt-μ_ktW_j^k-μ_jtW_t^k+1&bsol;4(λ_kμ_jt-μ_kλ_jt)W^k+1&bsol;16λ_tμ_k(λ_j-μ_j)W^k)^W^t=0

обозначим:

λ_j=dλ_j-λ_tW_j^t

μ_j=dμ_j-μ_tW_j^t

λ_jk=dλ_jk-λ_tkW_k^t-λ_jtW_k^t

μ_jk=dμ_tkW_j^t-μ_jtW_k^t

Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения fпримет вид:

Q+W=λ_jW^j

Q-W=μ_jW^j

dλ_j=λ_kW_j^k+1&bsol;4(λ_jμ_k-λ_kμ_j)W^k+λ_jkW^k

dμ_j=μ_kW_j^k+1&bsol;4(λ_jμ_k-λ_kμ_j)W^k+μ_jkW^k (4)

λ_jk=(1&bsol;4(μ_αλ_jk-λ_αμ_jk)+1&bsol;16λ_kμ_α(μ_j-λ_j)+λ_jkα)W^α

μ_jk=(1&bsol;4(μ_αλ_jk-λ_αμ_jk)+1&bsol;16λ_kμ_α(μ_j-λ_j)+μ_jkα)W^α

Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г₂={λ_j,μ_j,λ_jk,μ_jk}образует геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2) приведет к фундаментальному геометрическому объекту Г_Р порядка р :

Г_Р={λ_j,μ_j,λ_j1j2,μ_j1j2,...,λ_j1j2...jp,μ_j1j2...jp}.

§ 4. Векторы и ковекторы первого порядка.

Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин {λ_j},{μ_j}образует подобъекты геометрического объекта Г₁. Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые:

λ_jX^j=1 ; μ_jX^j=1 (6)

не инцидентные точке Р. Из условия rang f=2и уравнения (2)вытекает, что прямые (6) не параллельны. Условия (*)показывают, что величины {λ^j,μ^j}являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом , величины {λ^j,μ^j}охватываются объектом Г₁.

Из (*) получаем:

dλ^j=-λ^kW_k^j-1&bsol;4(λ^j+μ^j)μ_tW^t-λ_ktλ^kλ^tW^t-μ_ktW^t^λ^kμ^j

dμ^j=-μ^kW_k^j-λ_ktμ^kλ^jW^t-μ_ktμ^kμ^jW^t+1&bsol;4λ_t(λ^j+μ^j)W^t

Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом Г₁. Будем называть их основными векторами 1-го порядка.

Предположение 1.Конец вектора v₁=λ^je_j(вектора v₂=μ^je_j) лежит на прямой (6). Доказательство вытекает из формул (*),(2). Прямые, параллельные прямым (6), инцидентные точке Р, определяются соответственно уравнениями:

λ_jX^j=0 , μ_jX^j= 0 (7).

Предположение 2. Основные векторы {λ^j}и {μ^j}параллельны прямым (6) соответственно. Доказательство вытекает из формул (*) и (7). Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке:

λ_jX^j=1

V₂

V₁μ_jX^j=1

Система величин ρ_j=λ_j-μ_jобразует ковектор: dρ_j=ρ_kW_j^k+(μ_jk-λ_jk)W^k.