Цепные дроби (стр. 10 из 17)
Такими дробями являются, например, все подходящие дроби для
.Возникает вопрос: При каких меньших значенияхc (чем c=1) существует для любого действительного иррационального
бесконечное множество (несократимых) рациональных приближений 
, погрешность которых 
.Теорема: Для любого действительного иррационального числа
существует при 
бесконечное множество несократимых рациональных дробей таких, что 
( 
). Такими рациональными дробями могут быть только подходящие дроби к .Доказательство: Докажем первую часть теоремы. Рассмотрим две последующие подходящие дроби к
и 
. Допустим, что ни одна из этих дробей не удовлетворяет неравенству ( ). Тогда имеем: 
, 
. Отсюда 
.Но так как
лежит между 
и 
, то 
, вследствие чего 
, или 
, а это дляk>1 невозможно. Мы пришли к противоречию, значит наше допущение неверно, а верно то, что требуется доказать.Для доказательства второй части теоремы докажем достаточный признак подходящей дроби к действительному числу
: если , где Q>0, несократимая дробь и для действительного имеет место неравенство ( ), то является подходящей дробью к .Доказательство: Покажем, что если
=( 
)= 
( удовлетворяет условию теоремы) подходящая дробь к , то соответствующее остаточное число 
разложения данного в цепную дробь окажется >1. Действительно, 
, откуда следует 
, так как 
.Теорема доказана полностью.
Достаточный признак подходящей дроби не является ее необходимым признаком; могут существовать подходящие дроби для
, которые ему не удовлетворяют.Крайнюю возможность уменьшенияc в указанном раньше смысле выражает теорема Гурвица-Бореля:
Теорема: Для любого действительного иррационального числа
существует при 
бесконечное множество несократимых рациональных дробей таких, что выполняется неравенство (1), то есть неравенство 
, ( 
)если же
, то существуют такие действительные иррациональные , для которых неравенство (1) имеет не более конечного числа рациональных решений .Доказательство: Докажем первую часть. Разложим
в цепную дробь. Мы докажем, что из трех любых соседних подходящих дробей 
, i=k, k+1, k+2 по крайней мере одна удовлетворяет условию 
.Доказательство этого утверждения будем вести методом от противного. Предположим, что для каких-либо трех соседних подходящих дробей выполняются неравенства: 
, 
, 
(2) и 
расположены по разные стороны от и поэтому при нечетномk из (2) следует 
,а при четном:
, так что и в том, и в другом случае имеем: 
, или, умножая на
и перенося все члены в одну сторону 
, то есть 
, 
, или, поскольку 
и 
целые, 
. (3)Так как
и 
также расположены по разные стороны от , из (2) аналогично получаем: 
. (4)Пользуясь еще тем, что
из (3) и (4) получаем: 
.