В общем случае элементы цепной дроби

и

,
k>1 могут принимать произвольные, отличные от 0 рациональные значения, а

может также быть равно нулю.
При помощи цепных дробей общего вида одно и то же рациональное число можно представить различными способами. Например,

.
В цепной дроби (1), которую записывают также иначе, например,

(

) или

(

) числа

и

(
k=2, 3, …) называют звеньями,

и

– членами
k–го звена, из них

– частным числителем, а

– частным знаменателем.
Чтобы получить разложение рационального числа

в конечную цепную дробь (1), можно все

и

, за исключением одного, выбрать произвольно.
Можно, например, найти разложение

; для этого следует положить

. Можно цепную дробь преобразовать так, чтобы все

были равны 1, то есть, чтобы (1) приняло вид

(2).
Так, например,

. Дроби вида (2) называют
обыкновенными цепными дробями, а

,

, …,

– их неполными частными. Правильные цепные дроби можно поэтому определить как обыкновенные цепные дроби с целыми положительными неполными частными, начиная с

, причем

может быть любым целым числом.
Правильные цепные дроби являются наиболее простыми и наиболее изученными среди цепных дробей общего вида, однако и другие цепные дроби играют большую роль и имеют важные применения, например, в приближенном анализе, где при их помощи без сложных выкладок получают дробно-рациональные приближения функций.
Рассмотрим обзорно некоторые свойства цепных дробей общего вида.
Происхождение таких цепных дробей связано с обобщенным алгоритмом Евклида.
Если мы имеем систему равенств

,

,

, … с произвольными рациональными числами, то при
b,
c,
d 
0, из них следуют равенства

,

,

, …, так что, подставляя по цепочке, получаем

.

k-я подходящая дробь

определяется для

по формуле

при условии, что

,

,

,

.
Пользуясь ею, найдем, например, подходящие дроби для разложения

. Имеем

=

,

,

,

,

,

. Заметим, что получаемые в процессе рекуррентного вычисления подходящие дроби могут быть сократимыми, но сокращать их можно лишь при определенных условиях.
Свойства подходящих дробей цепных дробей общего вида с положительными элементами и правильных цепных дробей вполне аналогичны.
Бесконечная цепная дробь (1) называется сходящейся, если существует конечный предел

; в таком случае

принимается за значение этой дроби. Не всегда общие бесконечные цепные дроби являются сходящимися, даже тогда, когда они имеют лишь положительные элементы.
Существует ряд признаков сходимости цепных дробей:
Пусть дана непрерывная дробь вида

, где

,

1) Пусть

, все члены последовательностей

,

действительные числа и

для всех

, начиная с некоторого. Если для таких
k выполняется неравенство

, то цепная дробь сходится.
2) Пусть

и все члены последовательности

, начиная с
k=2 положительны. Тогда цепная дробь сходится тогда и только тогда, когда ряд

расходится (теорема Зейделя).
Интересной особенностью цепных дробей общего вида является то, что даже рациональные числа могут ими разлагаться в бесконечные цепные дроби. Например, имеется разложение

=

,

,

,

,

, …
0,3; 0,42; 0,45; 0,467; …
Примечательно то, что квадратические иррациональности разлагаются и в непериодические цепные дроби общего вида.
Например, имеется разложение

=

,

,

,

,

,

,

, …