Цепные дроби (стр. 14 из 17)

1; 1,5; 1,38; 1,44; 1,40; …

Но самое интересное и важное это то, что в то время как до настоящего времени неизвестно разложение в правильную цепную дробь ни одной алгебраической иррациональности степени выше второй (другими словами, неизвестны общие свойства неполных частных таких разложений, разложения сами по себе со сколь угодной точностью можно практически найти), при помощи общих цепных дробей такие разложения находятся довольно легко. Отметим, например, некоторые разложения и соответствующие подходящие дроби для

, …

1,33; 1,22; 1,284.

, …

1,17; 1,25; 1,258; 1,2596; …

Приведем еще несколько примеров разложений других иррациональностей в цепные дроби общего вида:

, …

Эта цепная дробь для

была найдена еще более 300 лет назад английским математиком Брункером.

В 1776 году И. Ламберт нашел разложениеtg x в цепную дробь:tg x=

А. Лежандр в предположении, что эта цепная дробь сходится, показал, что ее значение для рациональных значенийx иррационально. Принято считать, что тем самым была доказана иррациональность числа

Л. Эйлер нашел, что:

=(1; 6, 10, 14, …). Также Эйлер нашел разложение в цепную дробь числа e. e=(2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, …), то есть элементы

разложенияe в цепную дробь имеют вид:

Швейцарский математик Иоганн Генрих Ламберт (1728-1777) нашел разложение числа

в виде цепной дроби.

Первые 25 неполные частные разложения числа

в правильную цепную дробь есть числа:

3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1.

Решение задач

1. Записать в виде конечной цепной дроби

; b)

; c)

2,98976; d)

Решение:

=(0, 2, 15);

=(3, 7, 15, 1, 292);

c)2,98976=

=(2, 1, 96, 1, 1, 1, 10);

=–(2, 1, 30, 2)=(-2, 1, 30, 2)

2. Разложить простую дробь в цепную дробь и найти ее подходящие дроби.

; b)

; c)

; d)

Решение:

=(3, 2, 1, 24);

Находим подходящие дроби:

3	2	1	24
	1	3	7	10	247
	0	1	2	3	74

;

=(3, 3, 33);

3	3	33
	1	3	10	333
	0	1	3	100

;

=(3, 7, 15, 1, 292);

3	7	15	1	292
	1	3	22	333	355	103993
	0	1	7	106	113	33102

;

=(0, 2, 2, 3);

0	2	2	3
	1	0	1	2	7
	0	1	2	5	17

;