Цепные дроби (стр. 16 из 17)

;

.

Мы получили, что

, следовательно, неполные частные, начиная с будут повторяться и =(2, (4)).

Составим таблицу подходящих дробей:

2	4	4	4	…
	2	9	38
	1	4	17	72

Нам необходимо найти такую подходящую дробь

, чтобы . Очевидно, что это , так как 17·72>1000.

Ответ:

.

b)

= ; =5

;

;

;

;

;

.

Мы получили

неполные частные, начиная с будут повторяться и =(5, (1, 1, 1, 10)).

5	1	1	1	10	1	…
	5	6	11	17	181	198
	1	1	2	3	32	35

, так как 32·35>1000. Ответ: .

c)

=(3, 2, 5, 2, 7, 2);

3	2	5	2	7	2
	3	7	38	83	619	1321
	1	2	11	24	179	382

, так как 24·179>1000.

Ответ:

.

d)

= ; =1

;

;

;

=((1, 2))

1	2	1	2	1	2	1	2	1
	1	3	4	11	15	41	56	153
	1	2	3	8	11	30	41	102

, так как 30·41>1000.

Ответ:

.

7. Найти действительные числа, которые обращаются в данные цепные дроби:

a) (4, (3, 2, 1)); b) ((2, 1))

Решение:

a) (4, (3, 2, 1)) - смешанная периодическая дробь.

, то есть , где

x=((3, 2, 1)) - чисто периодическая цепная дробь. Так как выражение, начинающееся с четвертого неполного частного 3, имеет тот же вид:

, то мы можем записать x=(3, 2, 1, x)= = , после чего приходим к квадратному уравнению относительно x:

D=64+12·7=148

.

Положительное решение и есть x.

. Найдем .

=4+ =

Ответ:

.

b) ((2, 1))=

=(2, 1, )

Сейчас мы можем найти таким же путем, как и в задаче a), но можно решить задачу легче. Составим таблицу подходящих дробей:

2	1
	2	3	3 +2
	1	1	+1

=

D=4+4·2=12

Положительное решение и есть искомое

.

Ответ:

.

8. Решить в целых числах уравнения:

a) 143x+169y=5; b) 2x+5y=7; c) 23x+49y=53.

Решение:

a) 143x+169y=5 - диофантово уравнение.

(143, 169)=13(НОД находим с помощью алгоритма Евклида)

уравнение решений не имеет.

Ответ:

.

b) 2x+5y=7

(2, 5)=1

уравнение имеет решение в целых числах.

Разложим

в цепную дробь. =(0, 2, 2). Составим все подходящие дроби. ; ;

На основании свойства подходящих дробей

получим

2·2-1·5 =(-1)³или 2·2+5(-1)=-1

2·(-14)+5·7=7, то есть

– частное решение.