Цепные дроби (стр. 2 из 17)
Теорема доказана.
Вместе с тем мы установили, что при соблюдении условия
между рациональными числами и конечными цепными дробями существует взаимнооднозначное соответствие.Замечания:
1. В случае разложения правильной положительной дроби первый элемент
, например, 
.2. При разложении отрицательной дроби (отрицательный знак дроби всегда относится к числителю) первый элемент будет отрицательным, остальные положительными, так как целая часть отрицательной дроби является целым отрицательным числом, а ее дробная часть, как всегда, положительна.
Пример:
, а так как 
, то 
.3. Всякое целое число можно рассматривать как непрерывную дробь, состоящую из одного элемента.
Пример: 5=(5);
.§2. Подходящие дроби. Их свойства.
Задаче разложения обыкновенной дроби в непрерывную дробь противостоит обратная задача – обращения или свертывания цепной дроби
в простую дробь 
.При этом основную роль играют дроби вида:
или 
которые называются подходящими дробями данной непрерывной дроби или соответствующего ей числа .Заметим, что
= = 
. Считается, что подходящая дробь 
имеет порядок k.Прежде чем приступить к вычислению подходящих дробей заметим, что
переходит в 
, если в первой заменить выражением 
.Имеем
, 
, 
, …,при этом принимается, что
, 
, 
, 
, 
, 
и так далее.Закономерность, которую мы замечаем в построении формулы для
(ее числителя 
и знаменателя 
), сохраняется при переходе к 
и сохранится также при переходе отk к (k+1).Поэтому, на основании принципа математической индукции, для любого k, где
, имеем 
(1),причем
(2) 
(3)Далее, говоря о подходящих дробях
(в свернутом виде), мы будем иметь в виду их форму 
.Соотношения (1) являются рекуррентными формулами для вычисления подходящих дробей, а также их числителей и знаменателей. Из формул для числителя и знаменателя сразу видно, что при увеличенииk они возрастают. Последовательное вычисление числителей
и знаменателей 
подходящих дробей по формулам (2) и (3) удобно располагать по схеме:  |  | … |  |  |  | … |  | ||
| | |  | | … |  |  | | … |  |
| |  |  | | … |  |  | | … |  |
Пример: Найти подходящие дроби к цепной дроби (2, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3).
| 2 | 2 | 1 | 3 | 1 | 1 | 4 | 3 | |
| | 2 | 5 | 7 | 26 | 33 | 59 | 269 | 866 |
| | 1 | 2 | 3 | 11 | 14 | 25 | 114 | 367 |
Подходящие дроби
( 
)равны соответственно 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.