Цепные дроби (стр. 3 из 17)
Практически нахождение неполных частных и подходящих дробей удобно объединить в одну краткую схему, которую приведем для
=(2, 3, 1, 4, 2) 
.А сейчас рассмотрим ряд свойств подходящих дробей.
1. Теорема: При k=1, 2, …, nвыполняется равенство
Доказательство: Проведем индукцию по k:
При k=1 равенство справедливо, так как
.Пусть это равенство верно при некотором k=n (
).Докажем справедливость равенства при k=n+1.
, то есть равенство верно при k=n+1.
Согласно принципу полной математической индукции равенство верно для всех k(
).2. Теорема: Числитель и знаменатель любой подходящей дроби – взаимно простые числа, то есть всякая k–подходящая дробь несократима.
Доказательство: Докажем это свойство методом от противного. По предыдущему свойству имеем
.Пусть
, то есть 
, тогда из равенства 
следует, что 
делится на 
без остатка, что невозможно. Значит, наше допущение неверно, а верно то, что требовалось доказать, то есть 
.3. Теорема: При
1)
( 
)2)
( 
)Доказательство: Первое соотношение можно получить из равенства
, доказанного выше, путем деления обеих частей на 
. Получаем 
, что и требовалось доказать.Докажем второе соотношение.
.Теорема доказана полностью.
4. Теорема: Знаменатели подходящих дробей к цепной дроби, начиная с первого, образуют монотонно возрастающую последовательность, то есть 1=
.Доказательство:
, 
, так что 
и 
положительны.Соотношение
( 
) (*) показывает, что и все следующие знаменатели 
, 
, …, 
положительны. При , поскольку тогда 
, из (*) получаем 
, что и требовалось доказать.5. Теорема: Нечетные подходящие дроби образуют возрастающую, а четные подходящие дроби – убывающую последовательность:
; 
.Две подходящие дроби
и , у которых номер отличается на единицу, будем называть соседними.6. Теорема: Из двух соседних подходящих дробей четная дробь всегда больше нечетной.
Доказательство: По уже доказанному выше свойству имеем:
.Если k –четное, то
Если k –нечетное, то
Значит, из двух соседних дробей
и четная всегда больше нечетной, что и требовалось доказать.7. Теорема: Расстояние между двумя соседними подходящими дробями
.Доказательство: Так как
, то 
, что и требовалось доказать.Глава II. Бесконечные цепные дроби.
§1. Представление действительных иррациональных чисел правильными бесконечными цепными дробями.
1.1 Разложение действительного иррационального числа в правильную бесконечную цепную дробь.
В предыдущей главе мы рассмотрели, как в процессе последовательного выделения целой части и перевертывания дробной рациональная дробь
разлагается в конечную непрерывную дробь. 
=( 
) 
(1) 
и, наоборот, свертывание такой непрерывной дроби приводит к рациональной дроби.
Процесс выделения целой части и перевертывания дробной можно применить к любому действительному числу.
Для иррационального числа
указанный процесс должен быть бесконечным, так как конечная цепная дробь равна рациональному числу.Выражение
(где 
, 
) (2) возникающее в таком процессе или заданное формально, мы будем называть правильной бесконечной цепной, или непрерывной дробью, или дробью бесконечной длины и обозначать кратко через (
), а числа 
– ее элементами или неполными частными.