Цепные дроби (стр. 8 из 17)
2.3. Теорема Дирихле.
Выше мы нашли оценку погрешности, возникающей при замене любого действительного числа
рациональными дробями определенного типа, а именно: подходящими дробями.А сейчас рассмотрим некоторые сравнительно простые результаты, показывающие как обстоит дело с приближением действительных чисел рациональными числами, не предрешая заранее, что эти рациональные числа будут подходящими дробями.
Пусть
– произвольное действительное число. Из теории десятичных дробей следует существование рационального числа 
такого, что 
. поставим вопрос о возможности таких приближений рациональными числами , при которых точность приближения будет оценена не величиной 
, а величиной, в 
раз меньшей, то есть вопрос о нахождении рациональных чисел таких, что 
, где – любое заранее положительное число.Например, можно поставить задачу нахождения такого рационального приближения к
, чтобы точность приближения была в 1000 или в 1000000 раз лучшей, чем величина, обратная знаменателю. Это соответствует выбору =1000 или =1000000. оказывается, что как бы велико ни было , можно найти рациональную дробь , приближающую с точностью до 
, причем и это является самым интересным, дробь мы можем выбрать так, что 
.Теорема Дирихле: Пусть
и 
– действительные числа; существует несократимая дробь , для которой , 
(или: существует такая пара взаимно простых целых чиселa и b, что
, ).Доказательство: Теорему легко доказать с помощью аппарата цепных дробей.
Пусть
подходящая дробь числа ; выберем наибольший из знаменателей 
, не превышающий , то есть наибольшее k, чтобы 
и положим = . Рассмотрим два случая:1)
не является последним знаменателем, то есть существует 
такое, что < . Тогда при a= 
и b= имеем: 
2)
– знаменатель последней подходящей дроби разложения , то есть = . Тогда при a= , b= , имеем: 
.Теорема доказана.
Сам Дирихле дал другое доказательство, использовав в нем принцип, который носит теперь имя Дирихле: при распределенииN объектов междуN-1 ящиками хотя бы в одном ящике должно находиться 2 объекта. Приведем это доказательство.
Пусть
, рассмотрим совокупностьt+2 чисел, состоящую из 1 и значений дробных частей 
для x=0, 1, …, t(причем = 
- 
, 
). Очевидно, каждое из чисел этой совокупности принадлежит точно одному изt+1 промежутков 
, 
, …, 
, из которых первыеt являются полусегментами, а последний сегментом.————
———— ———— —————————————— ———— ——0
1Так как чисел у нас t+2, то (согласно принципу Дирихле) обязательно найдется такой промежуток, который содержит 2 числа из совокупности
и 1. Разность этих двух чисел не превосходит длину содержащего их промежутка, то есть 
.1. Если такими числами являются
и 
, то 
. Пусть 
и 
, 
. Так как 
, то , ).2. Если
и 1 принадлежат одному промежутку, то 
Пусть в таком случае
, 
. Очевидно, и здесь , так что , ).