Численное интегрирование определённых интегралов (стр. 2 из 3)
2.Формула трапеций.
Возьмём определённый интеграл∫f(x)dx, где f(x)- непрерывная подынтегральная функция, которую мы для наглядности будем предполагать положительной. При вычислении интеграла с помощью формулы трапеций подынтегральная функция fзаменяется функцией, график которой представляет собой ломанную линию (на рисунке 2 красным цветом), звенья которой соединяют концы ординат yi-1 и yi (i=1,2,…,n).
Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b, y=0, y=f(x), а значит (следуя из геометрического смысла), и значение нужного нам интеграла, приблизительно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями yi-1 и yiи высотой h=(b-a)/n, так как (если более привычно выражать для нас) hэто Δx,aΔx=(b-a)/n при делении отрезка на nравных отрезков при помощи точек x0=a<x1<…<xn=b. Прямые x=xkразбивают криволинейную трапецию на nполосок. Принимая каждую из этих полосок за обыкновенную трапецию, получаем, что площадь криволинейной трапеции приблизительно равна сумме обыкновенных трапеций. 
Площадь крайней полоски слева, как помниться из школьного курса геометрии, равна произведению полусуммы основания на высоту.S=
Итак, запишем сказанное выше в математическом виде:
(4)Формула (4) и есть формула трапеций
Для определения погрешности интеграла вычисленного с помощью формулы трапеций используется формула:
где 
3.Формула Симпсона (формула парабол).
Существует два подхода к формуле Симпсона. В одном используется парабола в другом нет.
А) с использованием параболы.
Разделим отрезок [a;b] на чётное число равных частей n=2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0,x1], [x1,x2] и ограниченной заданной кривой y=f(x), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки M0[x0,y0], M1[x1,y1], M2[x2,y2] и имеющей ось, параллельную оси Oy (рис). Такую криволинейную трапецию будем называть параболической трапецией.
Уравнение параболы с осью, параллельной оси Oy, имеет вид:
.Коэффициенты A, Bи C однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строятся и для других пар отрезков. Сумма параболических трапеций и даст приближённое значение интеграла. Сначала вычислим площадь одной параболической трапеции. Для этого докажем лемму.
Лемма: если криволинейная трапеция ограничена параболой , осью Ox и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h, то её площадь равна: 
(5), где y0 и y2- крайние ординаты, а y1- ордината кривой в середине отрезка.Доказательство:
Расположим вспомогательную систему координат так, как показано на рис. Коэффициент в уравнение параболы определяются из следующих уравнений:Если x0=-h, то
Если x1=0, то
(6)Если x2=-h, то
Считая коэффициенты A. B, C известными определим площадь параболической трапеции с помощью определённого интеграла:
из равенства (6) следует, что
следовательно:
ч.т.д. пользуясь формулой (5), можно написать приближённые равенства, учитывая, что 
складывая левые и правые части, получим слева искомый интеграл, справа его приближённое значение:
или
(7)
Это и есть формула Симпсона. Здесь число точек деления произвольно, но чем это число больше, тем точнее сумма в правой части равенства (6) даёт значение интеграла. Формула Симпсона даёт самое точное значение интеграла (из классических формул приближённого интегрирования), погрешность для этого метода находится по формуле:
где 
Б) Без использования парабол
В тех случаях, когда линия y=f(x) между x=aи x=b мало изогнута, интеграл
приближенно выражается достаточно простой формулой. 
Будем считать f(x) положительной и искать площадь криволинейной трапеции aABb. Для этого разделим отрезок [a;b] точкой 
пополам и в точке c(c,f(c))проведём касательную к линии y=f(x). После этого разделим [a,b] точками p и gна 3 равные части и проведём через них прямые x=pи x=q. Pи Q – точки пересечения прямых с касательной. Соединив APи BQ, получим 3 прямолинейные трапеции aAPp, pPQq, qQBb. Сумма площадей этих трапеций равна будет примерно равна площади криволинейной трапеции aABb:Обозначим: Aa, Pp, qQ, bB– основания трапеций;
- высота трапеций, в данном случае число n строго задано n=3 
Получаем:
(8)Обозначим, что: aA=f(a)=ya, bB=f(b)=yb. Отрезки pPи qQне являются ординатами точек линии y=f(x), так как Pи Qлежат на касательной. Но нам нужна сумма этих отрезков, которая выражается через среднюю линию трапеции и равна полусумме её оснований, откуда
. Значит 
. Формула (8) принимает вид: 
(9). Эта формула называется малой формулой Симпсона. 
Малая формула Симпсона пригодна, когда график подынтегральной функции мало изогнут, например для случая, изображённого на рисунке, применять малую формулу уже нельзя, так как она даёт значение 0 на [a,b]. Но если отрезок [a,b] разбить на части [a,c] и [c,b] и к каждому из них применить формулу (9), то получится приемлемый результат.Эта идея лежит в основе вывода «большой» формулы Симпсона.
Для вычисления интеграла
выберем какое-либо чётное число и разложим [a,b] на n равных частей точками 
. Интеграл представим в виде суммы 
. К каждому слагаемому справа применим малую формулу Симпсона. Учитывая, что в каждом интеграле длина промежутка интегрирования 
, и положить 
, то получим: