Численное интегрирование определённых интегралов (стр. 3 из 3)
Раскроем скобки:
Это и есть «большая формула Симпсона». Её точность, также как и у всех формул рассмотренных выше, тем выше, чем больше n. Эта формула совпадает с формулой (7), выведенной с помощью парабол. Для оценки погрешности формулы Симпсона используется формула:
Качество этой формулы лучше, чем формулы трапеции и прямоугольников, так как при одном и том же n она даёт большую точность.
ПРАКТИКА
Общий вид интеграла, решение которого, будет рассмотрено в этом разделе:
Заданные значения:
a=0; c=0,3; m=2; b=3; k=7.
Подставим заданные значения:
.Сначала, решим искомый интеграл напрямую, основываясь на полученные ранее знания.
Применим метод замены:
Разделим отрезок [0;3] на n=10 равных частей и найдём шаг деления:
Найдём значение подынтегральной функции:
| X | Y |
| 0 | 0 |
| 0,3 | 0,289 |
| 0,6 | 1,007 |
| 0,9 | 2,199 |
| 1,2 | 3,866 |
| 1,5 | 6,009 |
| 1,8 | 8,628 |
| 2,1 | 11,724 |
| 2,4 | 15,296 |
| 2,7 | 19,344 |
| 3 | 23,868 |
ФОРМУЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ:
1.Входящих
2.Выходящих
3.Средних
| X | Y |
| 0,15 | 0,101458 |
| 0,45 | 0,58974 |
| 0,75 | 1,543889 |
| 1,05 | 2,973095 |
| 1,35 | 4,878247 |
| 1,65 | 7,259531 |
| 1,95 | 10,11701 |
| 2,25 | 13,45069 |
| 2,55 | 17,2606 |
| 2,85 | 21,54674 |
Определим погрешность метода прямоугольников:
Pnp=
М2 – максимальное значение второй производной на данном промежутке.
ФОРМУЛА ТРАПЕЦИЙ
Определим погрешность метода трапеции: 
М2 – максимальное значение второй производной на данном промежутке.
ФОРМУЛА СИМПСОНА
Определить погрешность метода Симпсона:
М4 – максимальное значение четвёртой производной на данном промежутке.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В завершении работы, хочется отметить ряд особенностей применения рассмотренных выше методов. Каждый способ приближённого решения определённого интеграла имеет свои преимущества и недостатки, в зависимости от поставленной задачи следует использовать конкретные методы. Если необходимо быстро получить решение, но нет необходимости в большой точности ответа, следует воспользоваться одним из методов прямоугольника. Если же необходимо получить наиболее точный результат, идеально подходит метод Симпсона. Метод трапеций даёт ответ более точный, чем метод прямоугольников, но методу Симпсона он сильно уступает, этот метод можно назвать «золотой серединой» между двумя другими.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. И.П. Натансон : Краткий курс высшей математики
2. И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигун : Математика для техникумов
3. И.А. Сахарников : Высшая математика
4. П.П. Коровнин : Математический анализ
5. Л.И.Лихтарников, А.Н. Поволоцкий : основы математического анализа