Численное интегрирование определённых интегралов (стр. 1 из 3)

АННОТАЦИЯ

В данной работе будут рассмотрены три метода приближённого интегрирования определённого интеграла: метод прямоугольников, метод трапеций и метод Симпсона. Все эти методы будут подробно выведены с оценкой погрешности каждого из них. Для более полного восприятия материала в работу помещён раздел, в котором подробно расписано решение, всеми тремя методами, определённого интеграла. В материале имеются иллюстрации, с помощью которых, можно более глубоко вникнуть в суть рассматриваемой темы.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………3

Основная часть………………………………………………....4

-формула прямоугольников………………………………....6

-формула трапеций…………………………………………..8

-формула Симпсона…………………………………………10

Практика……………………………………………………….15

Заключение…………………………………………………….19

Список литературы…………………………………………….20

ВВЕДЕНИЕ

Цель данной курсовой работы – изучение методов приближённого интегрирования. Для некоторых подынтегральных функций

интеграл можно вычислить аналитически или найти в справочниках. Однако в общем случае первообразная может быть не определена: либо первообразные не выражаются через элементарные функции, либо сами подынтегральные функции не являются элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов. Наиболее общеупотребительными приближенными методами вычисления одномерных определенных интегралов являются, так называемые, "классические" методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (основанные на суммировании элементарных площадей, на которые разбивается вся площадь под функцией ). Хотя эти методы обычно предпочтительней в случае малых размерностей, они практически не годятся для вычисления многомерных интегралов, для их вычисления используются другие методы, однако в этой работе они рассмотрены не будут.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

I.Определение интеграла и его геометрический смысл.

В начале узнаем, что такое определённый интеграл. Возможны два различных подхода к определению определённого интеграла.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1: приращение F(b)-F(a) любой из преобразованных функций F(x)+c при изменении аргумента от x=a до x=b называют определённым интегралом от a до b функции f и обозначается

.

Причём функция F является первообразной для функции f на некотором промежутке D, а числа а и b принадлежат этому промежутку. Это можно записать следующим образом:

(1)

это формула Ньютона-Лейбница.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2:

Если при любой последовательности разбиений отрезка [a;b] таких, что δ=maxΔx_i→0 (n→∞) и при любом выборе точек интегральная сумма σ_k= f(ε_i) Δx_i стремится к одному и тому же конечному пределу А, то это число А и есть определённый интеграл, т.е. lim_n→∞σ_k = lim_δ→0 f (ε_i) Δx_i=A(2).

Где Δх_i=x_i-x_i-1 (i=1,2,…,n) ε=maxΔx_i – начало разбиения

произвольная точка из отрезка[x_i-1;x_i]
сумма всех произведений f(ε_i)Δx_i(i=1,…,n). Простыми словами, определенный интеграл есть предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ:

Всякая непрерывная на отрезке [a,b] функция f интегрируема на отрезке [a,b], функция f неотрицательна, но определённый интеграл

численно равен S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f, осью абсцисс и прямыми x=a и x=b, S= f(x)dx.

II.Приближённые методы вычисления.

Как мы уже отметили, если функция f непрерывна на промежутке, то на этом промежутке существует функция F такая, что F’=f, то есть существует первообразная для функции f, но не всякая элементарная функция f имеет элементарную первообразную F. Объясним понятие элементарной функции.

Функции: степенная, показательная, тригонометрическая, логарифмическая, обратные тригонометрическим называются основными элементарными функциями. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и суперпозиций основных элементарных.

Например следующие интегралы: ∫e^-xdx; ∫

; ∫dx/ln│x│; ∫(e^x/x)dx; ∫sinx²dx; ∫ln│x│sinxdx существуют, но не выражаются в конечном виде через элементарные функции, то есть относятся к числу интегралов, «не берущихся» в элементарных функциях.

Бывает, что на практике сталкиваются с вычислением интегралов от функций, которые заданы табличными и графическими способами, или интегралы от функций, первообразные которых выражаются через элементарные функции очень сложно, что не удобно, долго и не рационально. В этих случаях вычисление определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница (1) сводит вычисление определённого интеграла от какой-либо функции к нахождению её первообразной. Значит, если первообразная не элементарна, надо вычислить определённый интеграл как-то по другому, поэтому прибегают к различным методам приближённого интегрирования.

В основе приближённых методов интегрирования лежит геометрический смысл определённого интеграла, который рассмотрен выше.

Формул приближённого интегрирования существует много. В данной курсовой работе будет рассмотрено три метода приближённого интегрирования: метод трапеций, метод прямоугольников и метод Симпсона.

1.Формула прямоугольников

Теперь рассмотрим первый вид приближённого вычисления:
требуется вычислить определённый интеграл:

.

Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y=f(x). Разделим отрезок [a,b], аналогично как в формуле трапеций: точками a=x₀,x_1,x₂,…,x_n=bна nравных частей длины Δх, где Δх=(b-a)/n.

Обозначим через y₀,y₁,y₂,…,y_n-1,y_nзначение функции f(x) в точках x₀, x₁, x₂…,x_n, то есть, если записать в наглядной формуле:

Y₀=f(x₀), y₁=f(x₁), y₂=f(x₂)…y_n,=f(x_n).

В данном способе подынтегральную функцию заменяем функцией, которая имеет ступенчатый вид (на рис. выделена).

Составим суммы: y₀Δx+ y₁Δx₁+ y₂Δx₂…+y_n-1Δx; Y₁Δx+ y₂Δx+…+y_nΔx

Каждое слагаемое этих сумм выражает площадь, полученных прямоугольников с основанием Δх, которое является шириной прямоугольника, и длиной выраженной через y_i: S_пр=a*b=y_iΔx.

Каждая из этих сумм является интегральной суммой для f(x) на отрезке [a,b], и равна площади ступенчатых фигур, а значит приближённо выражает интеграл. Вынесем Δx=(b-a)/n из каждой суммы, получим:

f(x)dx≈Δx(y₀+y₁+…+y_n-1);

f(x)dx≈Δx(y₁+y₂+…+y_n).

Выразив x, получим окончательно:

f(x)dx≈((b-a)/n)(y₀+y₁+…+y_n-1);(3)

f(x)dx≈((b-a)/n)(y₁+y₂+…+y_n);(3*)

Это и есть формулы прямоугольников. Их две, так как можно использовать два способа замены подынтегральной функции. Если f(x)- положительная и возрастающая функция, то формула (3) выражает Sфигуры, расположенной под графиком, составленной из входящих прямоугольников, а формула (3*)- площадь ступенчатой фигуры, расположенной под графиком функции составленной из выходящих треугольников.

Ошибка, совершаемая при вычислении интегралов по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число n (то есть чем меньше шаг деления)

. Для вычисления погрешности этого метода используется формула:P_np= , где Результат полученный по формуле (3) заведомо даёт большую площадь прямоугольника, так же по формуле (3*) даёт заведомо меньшую площадь, для получения среднего результата используется формула средних прямоугольников: (3**)