Шар и сфера

Оглавление:

1. Вступление…………………………………………………………………………………..2

2. Шар и сфера…………………………………………………………………………………3

   1. Шар и шароваяповерхность……………………………………………………...3

   2. Взаимноерасположениешара и плоскости……………………………………..3

   3. Принцип Кавальери.Нахождениеобъёмов телс помощью принципаКавальери…………………………………………………………………………..6

   4. Интегральноеисчисление.Понятиеинтеграла…………………………………9

   5. Вычислениеобъёмов телс помощьюинтеграла………………………………10

   6. Объёмшара………………………………………………………………………12

   7. Шаровой сегмент.Объём шаровогосегмента…………………………………12

   8. Шаровой слой. Объём шаровогослоя…………………………………………14

   9. Шаровой сектор.Объём шаровогосектора……………………………………14

   10. Площадь поверхностишара…………………………………………………17

   11. Площадь поверхностисекторашара……………………………………….18

   12. Площадь поверхностишаровогопояса…………………………………….18

3.Задачи………………………………………………………………………………………20

3.1 Задачи наповерхности…………………………………………………………..20

3.2 Задачи наобъёмытел……………………………………………………………23

4.Заключение…………………………………………………………………………………25

5.Литература………………………………………………………………………………....26

1

2. Шар исфера.

2.1. Шар ишаровая поверхность.

Ш

аровойилисферическойповерхностьюназываетсягеометрическоеместо точекпространства,удаленных отданной точкиО (центра)на заданноерасстояниеR(радиус).Все пространствопо отношениюк данной шаровойповерхностиразбиваетсяна внутреннююобласть (кудаможно присоединитьи точки самойповерхности)и внешнюю.Первая из этихобластей называетсяшаром.Итак,шар — геометрическоеместо всехточек, удаленныхотзаданной точкиО (центра)на расстояние,не превышающееданной величиныR (радиуса).Шаровая поверхностьявляетсяграницей, отделяющейшар от окружающегопространства.

Шаровуюповерхностьи шар можнополучить также,вращая окружность(круг) вокругодного из диаметров.

Рассмотримокружностьс центром Ои радиусомR(рис.1), лежащую вплоскостиЯ. Будем вращатьее вокруг диаметраАВ.Тогдакаждая из точекокружности,например М,в своюочередьопишет привращении окружность,имеющую своимцентром точкуМ₀—проекциювращающейсяточки Мнаось вращенияАВ.Плоскостьэтой окружностиперпендикулярнак оси вращения.Радиус ОМ,ведущийиз центра исходнойокружностив точкуМ, будетсохранять своювеличину вовсе время вращения,и потому точкаМ всевремя будетнаходитьсяна сферическойповерхностис центром Ои радиусомR.Шароваяповерхностьможет бытьполучена вращениемокружностивокруг любогоиз ее диаметров.

Сам шаркак тело получаетсявращениемкруга; ясно,что дляполучения всегошара достаточновращать полукругоколо ограничивающегоего диаметра.

2.2. Взаимноерасположениешара и плоскости.

И

сследуемвопрос о взаимномрасположениишара и плоскости.Для этого, имеянекоторый шари плоскость ,опустимиз центрашара перпендикулярна плоскость.Если основаниеэтого перпендикуляраМ₀окажетсявне шара (рис. 2), то остальныеточкиплоскости иподавно будутлежать внешара, так какони еще большеудалены отцентра, чемоснованиеперпендикуляра.В этомслучае плоскостьне имеет общихточек с шаром,она егоне пересекает.Если основаниеперпендикуляраокажется нашаровой поверхности(рис. 3), то остальныеточки плоскости,как и в предыдущемслучае, будутлежать внешара. Плоскостьбудетиметь однуобщую точкус

поверхностью;такая плоскостьназываетсякасательнойк шару.Радиус, проведенныйв точкукасания, перпендикуляренк касательнойплоскости.

Д

ействительно,если плоскостьимеетс поверхностьюшара единственнуюобщую течку,то эта точкаближайшая кцентру шарапосравнению состальнымиточкамиплоскости ипотому служитоснованиемперпендикуляра,опущенногоиз центра шарана плоскость.

Е

сли,наконец, основаниеперпендикуляраМ₀окажетсявнутришара (рис. 4), топлоскость будетпересекатьповерхностьшара,так как частьее окажетсявнутри шара,а часть — вне.Исследуемлинию пересечениятакой плоскостис шаровойповерхностью.Пусть расстояниеее от центрашара равно d,dR.Тогдаоказывается,что линия пересеченияплоскости споверхностьюшара являетсяокружностьюс центром вточке М₀ирадиусом,равным

.Для доказательствапроведем черезМ₀произвольныйлуч М₀М,лежащийв секущей плоскости.Выходя из внутреннейобласти шараво внешнюю, онпересечетповерхностьшара в некоторойточке М.РассмотримтреугольникОМ₀Мс прямымуглом при вершинеМ₀.КатетМ₀Мпотеореме Пифагорабудет равен

.Впрочем,постоянстводлины отрезканезависимоот направлениялуча М₀Мвданнойплоскости виднои без применениятеоремы Пифагора(пользуемсяравенствомпрямоугольныхтреугольников,имеющих общиекатеты и равныегипотенузы).Теперь видно,что все точкипересеченияплоскости

,с поверхностьюшара лежат наоднойокружностис центром М₀ирадиусом, равным

.Напротив,любая точкаэтой окружностиудалена отцентра шарана расстояние,равное

,и потому лежитна поверхностишара (равно каки в плоскости

)и, значит,принадлежитрассматриваемойлинии пересечения.Из этоговидно, что линияпересечения- полная окружность,а не какая-либочасть ее.

Итак, еслидлина перпендикуляра,опущенногоиз центра Ошарарадиуса Rнаданную плоскость,равна d,то:

1. при d>Rплоскость непересекаетшара;

2. при d= Rплоскостькасается шарав одной точке,радиус,
   проведенныйв точку касания,перпендикуляренк плоскости;

3. при dRплоскостьпересекаетшар по окружности,цент
   ромкоторой служитоснованиеперпендикуляра,опущенного из

центрашара на плоскость,а радиус равен

.

В частности,плоскость,проходящаячерез центршара, пересекаетего по окружностимаксимальновозможногорадиуса, равногорадиусу шараR.Такиесечения шараплоскостями,проходящимичерез его центр,называютсябольшимикругами шара.

Для наглядностивышеизложенногоматериала япредлагаюрешить двенебольшиезадачи.

Задача1. Два сеченияшара радиуса10 смпараллельнымиплоскостямиимеют радиусы,равные 6 еж и 8см.Найтирасстояниемежду секущимиплоскостями.

Решение.Находим расстояниекаждой изпараллельныхплоскостейдо центра шара:

в зависимостиот того, лежитли центр шарамежду плоскостямиилинет, получаемдва различныхответа к задаче:

Задача2. Расстояниемежду центрамидвух шаровравно d;радиусыих R₁и R₂.Найтирадиус окружности,по которой онипересекаются.

Р

ешение.Искомый радиусслужит высотойтреугольникаOMO₁(рис. 5). ПлощадьSтреугольникаОМО₂находитсяпо тремсторонам 00₁= d,R₁R₂и искомыйрадиус равенr=2S/d.Прямаялиния такжеможет заниматьпо отношениюк шару трисущественноразличныхположения.Именно, онаможет пересечьповерхностьшара в двухразличныхточках, непересекатьее или иметьс ней одну общуюточку. В последнемслучаеона будет называтьсякасательнойк шару.

2.3. ПринципКавальери.Нахождениеобъёма шарас помощью принципаКавальери.

ВЕвропе XVII-ХVIII векови, прежде всего,в экономическиразвитыхгосударствах,укреплялсяновый общественныйстрой - капитализм.Составнойчастью этогопроцесса былатехническаяреволюция -переход отмануфактурнойпромышленностик фабричнойи, как следствие,серия изобретений,среди которых- создание паровоймашины. Стремительноеразвитие математикив эту эпохубыло обусловленотакже усовершенствованиеммашин дляпредприятий,изобретениемогнестрельногооружия и книгопечатания,постройкойсудов для океанскогоплавания. Возникланеобходимостьтеоретическогои научногоизучения движения,изменениявообще.

Открытияв астрономии,связанные сименами Н. Коперникаи И. Кеплера,позволилипо-новому взглянутьна место человекаво Вселеннойи его умениерациональнымобразом объяснитьастрономическиеявления. Законынебесной механикидали возможностьдополнитьзаконы Земли.

И. Кеплерпрактическивсю свою жизньпосвятил изучению,развитию ипропагандегелиоцентрическойсистемы Коперника.Анализируяогромный материаластрономическихнаблюдений,он в 1609-1619 гг. открылтри законадвижения планет,носящие егоимя, среди которыхзакон, связанныйс площадьюсектора.

Задача вычислениясекториальныхплощадей требовалаумения пользоватьсябесконечномалыми величинами.Этих знанийнедоставалои для решениядругих задачпрактическогохарактера.Круг, в представленииКеплера, состоялиз бесконечнобольшого числатреугольниковс общей вершинойв центре, а шар- из бесконечнобольшого числаутончающихсяпирамид с вершинамив его центре.Книга ученого«Стереометриявинных бочек»(1615 г.) произвелабольшое впечатлениена читателей,так как в нейбыл описандоступный методопределенияобъема 93 различныхтел вращения(бочек). Каждомуиз них он далоригинальноеназвание: лимон,груша, чалмаи т. п. Кеплерзаменял неизвестныйобъем известнымпутем деленияданного телана сколь угодномалые частии образованияиз них новоготела (быть может,путем деформации),объем которогоможно найти.Доказательствабыли нестрогими,и это вызываломного спорову математиков.Как видим, Кеплерполучил новыйрезультатвесьма простымприемом. «Стереометриявинных бочек»- первая работатого времени,вводящая вгеометриюбесконечномалые величиныи принципыинтегральногоисчисления,хотя, как говорилсам ученый вовведении к этойкниге, поводоми целью написаниятруда первоначальноявился частныйи практическийвопрос об измеренииобъема винныхбочек с помощьюодного промераих поперечнойдлины. Интересматематиковсосредотачивалсяглавным образомна общих принципахопределенияобъемов телвращения спомощью бесконечномалых величин.

Среди такихматематиковбыл итальянскиймонах БонавентураКавальери(1598-1647). Он занималкафедру математикив Болонскомуниверситете.В перепискес астрономоми математикомГ. Галилеем ониобсуждалиразнообразныемеханическиеи математическиепроблемы, и вчастности метод«неделимых».Галилей собирался,но так и не написалкнигу об этомметоде, затоу Кавальерив 1635 г. вышла книга«Геометрия,изложеннаяновым способомпри помощинеделимыхчастей непрерывныхвеличин». Привычисленииплощадеймногоугольниковбывает полезнопреобразовыватьфигуры, не меняяих площадей,например, разрезатьна части и составлятьновые (так называемыеравносоставленныефигуры). Такможно преобразоватьдруг в другатреугольникис равными основаниямии высотами.Можно ли аналогичнымобразом преобразовыватькриволинейныефигуры? Кавальерипредставляетих себе состоящимииз бесконечнотонких параллельныхплоских слоев- «неделимых»или «нитей»и утверждает,что площадьне меняетсяпри сдвигахэтих слоев друготносительнодруга. Иначе,принцип Кавальерисостоит в том,что если пересечьфигуру семействомвсех прямых,параллельныхзаданной, тодлины пересеченийполностью определят площадь фигуры.В частности,если у двухфигур эти длинысовпадают, тоони равновелики.Строгого обоснованиясвоего принципаКавальери недал, но рассмотрелего многочисленныеприменения.Например, наоснове этогопринципа легкополучаетсяравновеликостьтреугольниковс равными основаниямии высотами.

Одно из самыхудивительныхпримененийпринципа КавальерипринадлежитфранцузскомуматематикуЖ. Робервалю(1602-1675), который нашелплощадь сегмента,ограниченногоодной аркойциклоиды.

Ещеболее эффективенпринцип Кавальерипри нахожденииобъемов тел.Он состоит втом, что объемтела определяетсяплощадями егопересечений«всеми плоскостями»,параллельныминекоторойзаданной.

Однако интегральноеисчислениесодержит общиеметоды длявычисленияплощадей иобъемов, причемтам, где применениепринципа Кавальеритребовалонестандартныхпостроений,к успеху приводятстандартныевычисления,и постепеннопринцип Кавальериотошел в областьистории. Нопоскольку попринципу Кавальерилегко вычисляютсявсе «школьные»объемы и площади,неоднократнопредлагалосьпринять принципКавальери вшкольной геометрииза аксиому.

Видныйсоветскийученый, историкматематики,профессор Д.Д. Мордухай-Болтовский(1876—1952), которомупринадлежитсамый совершенныйрусский перевод«Начал» Евклидас обстоятельнымикомментариями,дал интересныйвывод формулыобъемашара на основепринципа Кавальери.

Вот этодоказательство.

П

оместиммежду двумяпараллельнымиплоскостямиполусферуАВСи цилиндрA'B'C'D'(рис.6) с основаниемтого же радиусаR,чтои шар, и с высотой,равной радиусу,с входящим внего конусомC'D'O',которыйимеетсвоим основаниемверхнее основаниецилиндра, авершиной— центр нижнегооснования.

Н

аоснованиипринципа Кавальеримы вправе сделать заключение,что объем шараравен объемутела, получаемоговырезываниемконуса из цилиндра.В самом деле,легко видеть,что кругab,полученныйв сечении сферыплоскостью ,равновеликс кольцом a'c'd'b',получаемымв сечениивышеуказанноготела той жесамой плоскостью.Действительно,наоснованиитеоремы Пифагорав полусфере

,где , (2.3.1)

и,следовательно,площадь сеченияabравна

; (2.3.2)

с другойстороны, площадькруга а'b'

(2.3.3)

а так как,очевидно, радиускруга c'd'равенk,топлощадь кругаc'd'

(2.3.4)

Следовательно,площадь кольцаa'c'd'b' равна

(2.3.5)

Замечаядалее, что объемцилиндра равен

,а объемконуса ,мы получаемдля объема полусферывеличину , а для объема всей сферы

(2.3.6)

2.4. Интегральноеисчисление.Понятие интеграла.

Мы с вамипознакомилисьс принципомКавальери,который довольноблизок к другомуметоду нахожденияобъёмов тел– методу интегрирования.Этот методосновывается,как уже можнобыло догадаться,на интегральномисчислении.

Интегральноеисчислениевозникло изпотребностисоздать общийметод разысканияплощадей, объемови центров тяжести.

В зародышевойформе такойметод применялсяеще Архимедом.Систематическоеразвитие онполучилв 17-мвекев работах Кавальери,Торричелли,Ферма, Паскаляи других ученых.В 1659 г. Барроуустановилсвязь междузадачей о разысканииплощади и задачейо разысканиикасательной.Ньютон и Лейбницв 70-хгодах 17-го векаотвлекли этусвязь от упомянутыхчастныхгеометрическихзадач. Тем самымбыла установленасвязьмежду интегральными дифференциальнымисчислением.

Эта связьбыла использованаНьютоном, Лейбницеми ихучениками дляразвития техникиинтегрирования.Своегонынешнегосостоянияметоды интегрированияв основномдостигли вработах Л. Эйлера.Труды М.В. Остроградскогои П. Л. Чебышевазавершилиразвитие этихметодов.

С моей точкизрения будетполезно ввестипонятие интеграла,так как длярассмотрениятакого вопроса,как объём тела,не только шараили сферы, оченьчасто используетсяинтеграл.

П

онятиеоб интеграле.

Пустьлиния MN(рис.7)дана уравнением

,

и надонайти площадь«криволинейнойтрапеции» aABb.

Разделимотрезок abна nчастей (равных илинеравных) ипостроим ступенчатуюфигуру, показаннуюштриховкойна рис.7. Её площадьравна

(2.4.1)

Есливвести обозначения

(2.4.2)

то формула1 имеет вид

(2.4.3)

Искомаяплощадь естьпредел суммы(3) при бесконечнобольшёмn.Лейбниц ввелдля этого пределаобозначение

(2.4.4)

в котором

(курсивное s)— начальнаябуква словаsumma(сумма), а выражениеуdxуказываеттипичную формуотдельныхслагаемых.

Выражение

Лейбницстал называтьинтегралом— от латинскогослова integralis— целостный»)Фурье усовершенствовалобозначениеЛейбница, придавему вид

(2.4.5)

Здесьявно указаныначальное иконечное значенияx.Теперь понятно,что интегралиспользуетсядля того, чтобыосвободитьнас от некоторыхгромоздкихвычислений(порой, как вданном примере,весьма и весьмаоднообразных,а также требующихогромноговнимания, т.к.даже малейшаянеточностьможет повлечьза собой существенныерасхожденияс правильнымответом), а также по ряду другихпричин, углублятьсяв которые сейчаснет никакогосмысла.

2.5. Вычислениеобъёмов телс помощью интеграла.

Рассмотримспособ вычисленияобъемов тел,основанныйнапонятии интеграла,которое известноиз курса алгебрыи началанализа.

П

устьтело Т,объемкоторого нужновычислить,заключено междудвумя параллельнымиплоскостями и (рис. 8). Введемсистему координаттак, чтобы осьОхбылаперпендикулярнак плоскостям и ,и обозначимбуквами аи Ьабсциссыточекпересеченияоси Охс этимиплоскостями(аb).Будемсчитать,что тело таково,что его сечениеФ(х)плоскостью,проходящейчерез точкус абсциссойх иперпендикулярнойк оси Ох,являетсялибо кругом,либо многоугольникомдля любого

(прих = аи х= b сечениеможет вырождатьсяв точку, как,например, (прих=анарисунке 8). О

бозначимплощадь фигурыФ(х)черезS(х)ипредположим,что S(х)—непрерывнаяфункция начисловом отрезке[а; b].Разобьемчисловой отрезок[а;b]на правныхотрезков точками

и черезточки с а

бсциссами

проведемплоскости,

перпендикулярныек оси Ох(рис.9). Эти плоскостиразбивают телоТ нап тел:

.Еслисечение — круг,то объем тела (заштрихованногона рисунке 9)приближенноравен объемуцилиндра соснованием ивысотой .Если — многоугольник,то объем тела приближенноравен объемупрямой призмыс основанием и высотой .И в том и в другомслучае объемтела приближенноравен ,а объемVвсеготела Tможно приближенновычислить поформуле

(2.5.1)

Приближенноезначение

объематела Ттемточнее, чембольше пи,следовательно,меньше .Примем бездоказательства,что равенобъему тела,т.е. .С другойстороны,

суммаV_nявляетсяинтегральнойсуммой длянепрерывнойфункцииS(х)начисловом отрезке[а;b],поэтому

.

Таким образом,мы получилиформулу длявычисленияобъема

тела с помощьюинтеграла:

. (2.5.2)

Назовемее основнойформулой длявычисленияобъемов тел.

2.6. Объём шара.

После стольдлительныхподготовок,мы, основываясьна теоретическихзнаниях изложенныхвыше, можемприступитьк доказательствутеоремы о вычисленииобъёма шарас помощьюопределённогоинтеграла.

Теорема.Объёмшара радиусаRравен

.

Д

оказательство.Рассмотримшар радиусаRсцентромв точкеО ивыберем осьОхпроизвольнымобразом (рис.10). Сечениешара плоскостью,перпендикулярнойк оси Охипроходящейчерез точкуМ этойоси, являетсякругом с центромв точке М.Обозначимрадиус этогокруга черезr,а егоплощадь черезS(х),гдех —абсцисса точкиМ. ВыразимS(х)черезх иR.ИзпрямоугольноготреугольникаОМСнаходим:

. (2.6.1)

Так как

,то

. (2.6.2)

Заметим,что эта формулаверна для любогоположения точкиМ надиаметре АВ,т. е.Для всех х,удовлетворяющихусловию

.Применяя основнуюформулу длявычисленияобъемовтел при ,

,получим

. (2.6.3)

Теоремадоказана.

2.7. Шаровойсегмент. Объёмшарового сегмента.

Ш

аровымсегментомназываетсячасть шара,отсеченнаяот него плоскостью(рис. 11). Всякаяплоскость,пересекающаяшар, разбиваетего на два сегмента.Объем шаровогосегмента находитсяпри помощи техже рассужденийиз рис. 11, стоитлишьвеять не всетело («цилиндрбез конуса»),а его часть,отсеченнуюплоскостью,параллельнойоснованию.Рассмотрим,например, шаровойсегмент, лежащийвыше секущейплоскости,проведеннойна высоте хотплоскостиоснованияполушара, т.е.нарасстоянии отверхней точкиполушара. Величинаhназываетсястрелкойсегмента.Искомый объембудет равенразностиобъемов цилиндрарадиуса Rс высотойhиусеченногоконуса;так как радиусмалого основанияконуса равен ,тополучаем дляобъема сегмента

. (2.7.1)

Раскрываяскобки и упрощаявыражение,приведем егок виду

. (2.7.2)

Эта формулавыведена для сегмента, стрелкакоторого непревосходитрадиуса шара. Она остаетсяверна и длясегмента cлюбой стрелкой

.Пусть сегментсо стрелкой - дополнительныйк сегменту сострелкой .Вычислим егообъём как разностьобъёмов шараи сегмента сострелкой h:

. (2.7.3)

Заменимздесь hчерез2R-h₁:

. (2.7.4)

Раскрываяскобки и производяупрощения,получим

, (2.7.5)

т.е. такую жеформулу, чтои раньше.

Интересенвывод формулыобъёма шаровогосегмента спомощью определённогоинтеграла.

Е

слирадиус шараравен R,а высотасегмента равнаh( нарисунке 12 h=AB),то Vшаровогосегмента вычисляетсяпо формуле

. (2.7.6)

Действительно,проведём осьOxперпендикулярнок плоскости (рис.12). Тогда площадьS(x)произвольногосечения шаровогосегмента плоскостью,перпендикулярнойк оси Ox, выражаетсяформулой (1) при .Применяя основнуюформулу длявычисленияобъёмов телпри ,получим

. (2.7.7)

Каквидите, вычислениеобъёмов телс помощью интеграладаёт большойвыигрыш вовремени.

2.8.Шаровойслой. Объёмшарового слоя.

Шаровымслоем называетсячасть шара,заключённаямежду двумяпараллельнымисекущимиплоскостями(рис.13). Объём шаровогослоя можнонайти как разностьобъёмов двухшаровых сегментов,и запоминатьотдельнуюформулу дляего вычислениянет надобности.

2.9. Шаровойсектор. Объёмшарового сектора.

Рассмотримконус вращенияс вершиной вцентре шара(рис. 14). Частьшара, лежащаявнутри такогоконуса, называетсяшаровым сектором.Шаровой секторразлагаетсяна два тела:шаровой сегментвысоты hи конус высотыR-h.Шаровая поверхностьпересекаетсяс конусом поокружности.Ее радиус равен

. (2.8.1)

П

лоскостьэтой окружностии разбиваетсектор на двеуказанныечасти. Для объёмасектора находим,пользуясьформулами,выражающимиобъёмы сегментаи конуса:

Если -угол между осьюи образующейконуса, то

(2.8.3)

и формуладля объёмасектора приметвид

. (2.8.4)

Предлагаетсярешить паруинтересныхзадач на изложенныйвыше материал.

Задача 1.Найти объёмсегмента, отсекаемогоот шара радиусаR граньювписанногов шар куба (приеё продолжении).

Р

ешение.Диагональ куба,вписанногов шар, являетсядиаметром шара.Отсюда имеемдля ребра куба

, (рис. 15). Стрелкасегмента, объёмкоторого мыдолжны определить,равна

и по формуледля объёмасегмента находим

.

Ответ: V_сегм=

.

Задача 2.Найти объемшара, вписанногов правильнуютреугольнуюпирамиду сребром основания,равным а, и плоскимуглом при вершине,равным а (рис. 16).

Р

ешение.В этой, как и вдругих аналогичныхзадачах, полезноиспользоватьобщее замечание,относящеесяк вычислениюрадиуса шара,вписанногов выпуклыймногогранник(т. е. касающегосякаждой из граней).Представимсебе, что в центрешара мы поместимвершину рядапирамид, основаниямикоторых будутграни многогранника.Радиус шарабудет служитьвысотой каждойиз этих пирамид.Тогда объеммногогранникаV можно вычислитькак сумму объемовуказанныхпирамид; объемкаждой из нихбудет равенодной третипроизведенияее высоты (т.е. радиуса вписанногов многогранникшара) на площадьее основания(т. е. на площадьсоответствующейграни многогранника).Сумма объемовпирамид будетравна однойтрети произведениярадиуса вписанногошара на полнуюповерхностьмногогранника:

.В нашем случаеплощадь основанияпирамиды (рис.16)

;

площадь однойиз боковыхграней

;

полная площадьповерхностипирамиды

.

Высота пирамидыMM₀, каккатет треугольникаMM₀K,равна

.

Объём пирамиды

.

Для радиусавписанногошара находим

; .

Ответ:

.

2.10. Площадьповерхностишара.

З

десьдаётся оченьпростой, хотяи не совсемстрогий выводформулы дляплощади сферическойповерхности;по своей идееон очень близокк методаминтегральногоисчисления.Итак, пусть даннекоторыйшар радиусаR. Выделим наего поверхностикакую-либомалую область(рис. 17) и рассмотримпирамиду иликонус с вершинойв центре шараО, имеющие этуобласть своимоснованием;строго говоря,мы лишь условноговорим о конусеили пирамиде,так как основаниене п лоское,а сферическое.Но при малыхразмерах основанияпо сравнениюс радиусом шараоно будет весьмамало отличатьсяот плоского(так, на пример,при измерениине очень большогоземельногоучастка пренебрегаюттем, что он лежитне на плоскости,а на сфере). Тогда,обозначая через площадь этогоучастка—основание«пирамиды»,найдем ее объемкак произведениеодной третивысоты наплощадь основания(высотой служитрадиус шара):

. (2.10.1)

Если теперьвсю поверхностьшара разложитьна очень большоечисло N такихмалых областей

,тем самым объемшара—на N объемов«пирамид»,имеющих этиобласти своимиоснованиями,то весь объемпредставитсясуммой

, (2.10.2)

где последняясумма равнаполной поверхностишара:

. (2.10.3)

Итак, объемшара равенодной третипроизведенияего радиусана площадьповерхности.Отсюда дляплощади поверхностиимеем формулу

,(1.10.4) или .(2.10.5)

Последнийрезультатформулируетсятак:

Площадьповерхностишара равнаучетвереннойплощади егобольшого круга.

2.11. Площадьповерхностисектора шара.

Приведенныйвывод пригодени для площадиповерхностисектора шара(имеем в видутолько основание,т. е. Сферическуюповерхность,или «шапочки»;см. рис. 14). И в этомслучае объемсектора равенодной третипроизведениярадиуса шарана площадь егосферическогооснования:

, (2.11.1)

откуда находимдля площадишапочки формулу

. (2.11.2)

2.12. Площадьповерхностишарового пояса.

Шаровым поясом(см. рис. 13) называютсферическуюповерхностьшарового слоя.Чтобы вычислитьплощадь поверхностишарового пояса,находим разностьповерхностейдвух сферическихшапочек:

, (2.12.1)

или

, (2.12.2)

где h—высотаслоя. Итак, площадьповерхностишарового поясадля данногошара зависиттолько от высотысоответствующегослоя, но не отего положенияна шаре.

Как ипри изучениипредыдущегоматериала, яхочу показатьодну задачуна данную тему.

З

адача.Боковая поверхностьконуса, описанноговокруг шара,имеет площадь,равную полуторнойплощади поверхностишара. Найтивысоту конуса,если

радиус шараравен

.

Решение.Введем дляудобства угола между высотойи образующейконуса (рис.18). Найдем длявысоты, радиусаоснования иобразующейконуса выражения

, ,

.

Площадьбоковой поверхностиконуса равна

.

По условиюзадачи имеемуравнение

,

откуда для

получаетсяквадратноеуравнение

; ;

решая его,имеем для

два значения:

, ,

которымотвечают дваусловия поставленнойзадачи:

, .

Ответ:

, .

3.Задачи.

3.1 Задачи наповерхности.

Задача №1.

Вправильнойтреугольнойпирамиде сторонаоснования равнаa, а боковоеребро равно2a. Найдитерадиусы вписаннойи описаннойсфер.

Решение:

SO – высотапирамиды; SO=h.

П

устьO – центроснованияпирамиды, M– середина BC,AM – высотав .

.

Центры обеихсфер лежат напрямой SO,SO

плоскости ABC.Найдём R– радиус описаннойсферы. ПродолжимSO до пересеченияс описаннойсферой в точкеD. SD –диаметр шара, .Из подобиятреугольников и :

.

,

.

Проведёмотрезок SM.

Из

.

,поэтому из :

Найдём радиусr вписаннойсферы.

Пусть Q– центр вписанногошара, тогда в

QM – биссектриса .

.

По свойствубиссектрисывнутреннегоугла треугольника:

, .

,

Ответ:

.

Задача №2.

Вправильнойчетырёхугольнойпирамиде радиусывписанной иописанной сферравны 2 см и 5 см.Найдите сторонуоснования ивысоту пирамиды.

Решение:

П

родолжимвысоту пирамидыPH до пересечениясо сферой вточке Q. PQ– диаметр, центрописанной сферылежит на высотеPH, или на еёпродолженииза точку H.Соединим отрезкомточку A сточкой H.Рассмотримсечение плоскостьюAPQ.

как опирающийсяна диаметр,

Пусть a– сторона основания,тогда

.

Т

огда .

Проведём

,отрезок PL. ,плоскость плоскости .Пусть O –центр вписаннойсферы, - биссектриса .

.

Пусть

.

;

.

Из

.

Решимсистему:

Разделимобе части на

.

Ответ:

см; 8 см или 6 см, см.

3

.2Задачи на объёмытел.

Задача №3

Вшар вписанапирамида, основаниемкоторой являетсяпрямоугольникс диагональю10 см. Какое боковоеребро составляетс основаниемугол .Найдите площадьповерхностии объём шара.

Решение:

П

роведёмвысоту пирамидыMF; проведёмотрезки

FA, FB, FC, FD.

,так как онипрямоугольные,MF – общийкатет, - по условию.Таким образом,FA=FC=FB=FD,точка Fравноудаленаот вершин основания,то есть являетсяцентром описаннойоколо основанияокружности.Нарисуем сечениепирамиды и шараплоскостьюAMC. Точка O– центр шара, .По теоремесинусов в :

,где R – радиусшара.

.

Площадьповерхностишара:

(см²).

Объём шара:

(см³).

Ответ:

.

Задача №4

Цистернаимеет формуцилиндра ,коснованиямкоторой присоединеныравные шаровыесегменты. Радиусцилиндра равен1,5 м, а высотасегмента равна0,5 м. Какой длиныдолжна бытьобразующаяцилиндра, чтобывместимостьцистерны равнялась50 м³?

Дано:

. .

- шаровые сегменты.

Р

ешение:

,где

Ответ:

м.

4.Заключение.

Итак, припрочтении иизучении данногоматериала вы,надеюсь, узналио шаре и сференесколькобольше чемранее. Проделаннемалый путь:вы ознакомилисьс понятиямишара и сферы,увидели доказательстваважных теорем,а также пронаблюдалирешения некоторыхинтересныхзадач. Авторуреферата будеточень приятноесли эти знаниясмогут вампомочь в дальнейшейдеятельности.При написанииэтой работыя узнал весьмаинтересныесведения: болееширокое понятиешара и сферы,принцип Кавальери.Также мои знанияукрепилисьв области работыс интегральнымисчислением.Несомненно,были трудностипри подбореи изучениинекоторыхзадач. При освещенииданной проблемымне очень помоглиследующиекниги: ГильбертД. Кон-ФоссенС. Нагляднаягеометрия: Пер.с нем. – 3-е изд.– М.: Наука, 1981.- 344 с., Энциклопедияэлементарнойматематикикн. IV, V./Под ред. В. И.Битюукова,И. Е, Морозовой,М.: Наука, 1966.- 624 с.,Александров.А.Д.и др.Геометриядля 10-11 классов6Учебное пособиедля учащихсяшкол и классовс углубленнымизучениемматематики./А.Д.Александров,А.Л.Вернер,В.И.Рыжик. - 3-еизд., перераб.-М.:Просвещение,1992.- 464с.

5.Литература.

1. АдамарЖ. Элементарнаягеометрия. –Ч.2.: Стереометрия: Пособие – 3-еизд. – М.: Учпедгиз,1958.- 760 с.

2. АбрамовА.М,Виленкин Н.Я,ДорофеевГ.В,и др Избранныевопросы маиематики10кл.: Факультативныйкурс./Под ред.ФирсоваВ.В/--М.: Просвещение1980.

3. Александров.А.Д.и др.Геометриядля 10-11 классов6Учебное пособиедля учащихсяшкол и классовс углубленнымизучениемматематики./А.Д.Александров,А.Л.Вернер,В.И.Рыжик. - 3-еизд., перераб.-М.:Просвещение,1992.- 464с.

4. АтанасянЛ.С. Геометрия:учебник для10-11 классов среднейшколы.-М: Просвещение,1992.- 208.

5. ГильбертД. Кон-ФоссенС. Нагляднаягеометрия:Пер. с нем. – 3-еизд. – М.: Наука,1981.- 344 с.

6. ГлаголевН. А. Проективнаягеометрия:Учеб. Пособие.– 2 –ое изд. испр.и доп. – М.: высш.школа, 1963. – 344 с.

7. ДавидовА. Начала тригонометрии:3-е изд., 1885 г.

8. КлайнМ. Математика.Поиск истины:Пер. с англ / Подред. И с предсл.В. И. Аршинова,Ю. В. Сачкова.– М.: Мир, 1988. – 295 с.,ил.

9. ПерепелкинД. И. Курс элементарнойгеометрии. ЧII.Геометрия впространстве:учеб. для пед.инст-ов. –М. Л.:гос. изд-вотехн-теоретич.литер. 1949 г. – 333 с.

10. ТрайнинЯ. А. Основаниягеометрии:Пособие дляпед. институтов/Под ред. Ю. И.Сорокина. –М.: гос. учеб.под-ое изд-вомин. просв. РСФСР1961.-326 с.

11. СаранцевГ.И. Упражненияв обученииматематике.-М.:Просвещение,1995.-240 с.:

12. Энциклопедияэлементарнойматематикикн. IV,V./Под ред. В. И.Битюукова,И. Е, Морозовой,М.: Наука, 1966.- 624 с.

26

МинистерствообразованияРоссийскойФедерации

Средняя школа№20

РЕФЕРАТ

ТЕМА: «Шари сфера»

Выполнил:ученик 11 классаА

ПлехановАлександр

Владимир,2003

1. Оглавление.

1. Вступление.

2. Шар и сфера.

   1. Шар и шароваяповерхность.

   2. Взаимноерасположениешара и плоскости.

   3. ПринципКавальери.Нахождениеобъёмов телс помощью принципаКавальери.

   4. Интегральноеисчисление.Понятие интеграла.

   5. Вычислениеобъёмов телс помощьюинтеграла.

   6. Объём шара.

   7. Шаровойсегмент. Объёмшарового сегмента.

   8. Шаровойслой. Объёмшарового слоя.

   9. Шаровойсектор. Объёмшарового сектора.

   10. Площадьповерхностишара.

   11. Площадьповерхностисектора шара.

   12. Площадьповерхностишарового пояса.

3.Задачи.

3.1 Задачина поверхности.

3.2 Задачина объёмы тел.

4.Заключение.

5.Литература.

1.Вступление.

На протяжениимногих вековчеловечествоне переставалопополнять своинаучные знанияв той или инойобласти науки.Стереометрия,как наука офигурах впространстве,неотъемлемосвязана сомногими изнаучных дисциплин.К таким дисциплинамотносятся:математика,физика, информатикаи программирование,а также химияи биология. Впоследних стоитпроблема изучениямикромира,который представляетсобой сложнейшуюкомбинациюразличныхчастиц в пространствеотносительнодруг друга. Вархитектурепостоянноиспользуютсятеоремы и следствияиз стереометрии.

Множествоучёных геометров,да и простыхлюдей, интересовалисьтакой фигуройкак шар и его«оболочкой»,носящей названиесфера. Удивительно,но шар являетсяединственнымтелом, обладающимбольшей площадьюповерхностипри объёме,равном объёмудругих сравниваемыхтел, таких каккуб, призма илипрочие всевозможныемногогранники.С шарами мыимеем делоежедневно. Кпримеру, почтикаждый человекпользуетсяшариковыйручкой в конецстержня которойвмонтированметаллическийшар, вращающийсяпод действиемсил трениямежду ним ибумагой и впроцессе поворотана своей поверхностишар «выносит»очереднуюпорцию чернил.В автомобильнойпромышленностиизготавливаютсяшаровые опоры,являющиесяочень важнойдеталью в автомобилеи обеспечивающейправильныйповорот колёси устойчивостьмашины на дороге.Элементы машин,самолётов,ракет, мотоциклов,снарядов,плавательныхсудов, подвергающиесяпостояннымвоздействиямводы или воздуха,преимущественноимеют какиелибо сферическиеповерхности,называемыеобтекателями.

Всвоём рефератея дал понятиешара и сферы,привёл некоторыесвойства этихтел. Был рассмотренпринцип Кавальери,позволяющийболее простовычислятьобъёмы тел. Спомощью принципаКавальери мноюприведенодоказательствоформулы объёмашара. По каждомувопросу я постаралсяпривести несколькопоказательныхзадач. В рефератеимеются некоторыеисторическиесведения, также по каждойиз рассмотренныхтем. При написанииэтой работы,на каждом этапе разработки,одной из главныхмоих задачявлялось преданиеопределённогоуровня читабельноститексту, потомучто анализчужой работы– дело нелёгкоеи ответственное.

Основнымиэтапами работынад даннойтемой явились:подборкасоответствующейлитературы,изучение нужногодля работыматериала,систематизацияматериала(план), применениек конкретнымзадачам, а такжепрактическоеприменение.