14. Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений.
Этим способом можно решить лишь те системы, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Алгоритм: 1)Записать матрицу системы (А); 2) Найти обратную матрицу для матрицы системы (А-1); 3) Умножить А-1 на матрицу свободных коэффициентов (В) ¾X=A-1*B.
15. Однородная система линейных алгебраических уравнений.
Система m линейных ур-ий с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все свободные члены равны 0. Система линейных однородных ур-ий всегда совместна, т.к. она всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение. Система линейных однородных ур-ий имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при rangA<n. Всякая лин. комбинация решений системы лин. однородн. ур-ий также является решением этой системы. Система лин.независимых решений е1, е2,…,еk называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений. Теорема: если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы состоит из n-rрешений. Поэтому общее решение системы лин. однордн. ур-ий имеет вид: с1е1+с2е2+…+сkеk, где е1, е2,…, еk – любая фундаментальная система решений, с1, с2,…,сk – произвольные числа и k=n-r. Общее решение системы m линейных ур-ий с n переменными равно сумме общего решения соответствующей ей системы однородн. линейных ур-ий и произвольного частного решения этой системы.
1 (16). Скалярные и векторные величины. Основные определения.
В математике используется 2 вида величин: а) скалярные – величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений (длина, площадь, объём, масса и т.д.); б) векторные – величины, для полного определения которых помимо численного значения требуются ещё и направления в пространстве (изображаются при помощи векторов). Вектор – направленный отрезок на плоскости или в пространстве, имеющий определённую длину, у которого одна из точек принята за начало, а другая за конец. Координатами вектора `а являются координаты его конечной точки. Длиной вектора (нормой) или модулем называется число, равное длине отрезка, изображающего вектор [ïaï=Öx2+y2(+z2)]. Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается `0. ( направление `0 произвольно, не определено). Для каждого `а, отличного от 0, существует противоположный -`а, который имеет модуль, равный ïаï, коллиниарен с ним, но направлен в другую сторону. Два вектора `а и`в называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Два вектора называются равными, если они: 1)имеют равные модули; 2)коллиниарны; 3)направлены в одну сторону.
2 (17). Линейные операции над векторами. Свойства линейных операций.
1)Сложение 2-х векторов: (правило треугольников) суммой2-х векторов`а и`в называют вектор `с =`а +`в, начало которого совпадает с началом `а, а конец- с концом `в при условии, что начало `в совпадает с концом`а. 2) Сложение нескольких векторов: (правило многоугольника) сумма 4-х векторов `а,`в,`с,`d есть вектор`е =`а +`в +`с +`d, начало которого совпадает с началом `а, а конец- с концом`d. (правило параллелепипеда) сумма 3-х векторов`а,`в,`с определяется как `d =`а +`в +`с. 3)Вычитание 2-х векторов: разностью 2-х векторов`а и `в называется сумма `а и -`в (противоположного). 4) Суммой 2-х векторов одинаковой размерности n называется вектор, каждая компонента которого равна сумме соответствующих компонент слагаемых вектора: `S = `x +`y, Si=xi + yi"i. 5) Произведением`x на действительное число а называется `в = а`x, каждая компонента которого равна а×`xi. Cвойства лин. операций над векторами: 1)коммутативное св-во суммы (переместительное); 2)ассоциативное св-во суммы (сочетательное); 3)ассоциативное относительно числового множителя: a(b*`c)=(ab)`c; 4)дистрибьютивное (распределительное; 5)существование нулевого вектора, такого, что `c+0=`c"`c ; 6)для любого `c существует такой противоположный -`c , что `c+(-`c)=0"`c; 7)для любого `c справедливо: `c*1=`c.
3 (18). Векторное пространство, его размерность. Понятие Базиса.
N-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n-действительных чисел, записанных в виде `x=(x1,x2,xi,xn), где Xi-компонента `X. Два N-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты: `x =`y, если xi=yi"i. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее всем сво-вам суммы( коммутативное, ассоциативные), называется векторным пространством. Размерность векторного пространства равна количеству векторов в базисе этого пространства. Совокупность n-мерных векторов, рассматриваемая с определёнными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число, называется n-мерным координатным пространством. Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом Rn(R2-плоскость,R3-пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства. Теорема: для того, чтобы -- 1)2 вектора на плоскости (2)3-в пространстве) были линейно не зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были не 1) коллиниарны (2) компланарны). Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости. Два вектора `а и`в называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Теорема: если диагональная система является частью n-мерных векторов, то она же является базисом этой системы. Теорема: любой вектор системы векторов единственным образов разлагается по векторам её базиса.
4 (19). Базис на плоскости. Разложение вектора по базису R.
Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом Rn(R2-плоскость,R3-пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства.
5 (20). Базис в пространстве. Разложение вектора по базису R.
Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом Rn(R2-плоскость,R3-пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства.
6 (21). Линейные операции над векторами, заданные координатами.
7 (22). Проекция вектора а на вектор b. Направляющие косинусы вектора.
8 (23). Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения.
Скалярным произведением 2-х векторов`а и`в называется число, равное произведению модулей, перемноженных на cos угла между ними: а *`в=ï`а ï*ï`в ï*Cosj, где j-угол`а между`в. Скалярное произведение может быть найдено также по формуле: `а *`в =ï`а ï* пр.а`в =ï`вï* пр.в`а® скалярное произведение 2-х векторов равно произведению модуля одного из них на проекцию на него другого вектора. Свойства скалярного произведения: 1)Переместительное (`а*`в=`в *`а); 2)Сочетательное относительно числового множителя (l(`а *`в)=l`а *l`в); 3)Распорядительное ( (`а +`в )×`с=`а ×`с +`в×`с); 4)Если скалярное пр-е равно 0, то либо равен 0 один из перемножаемых векторов, любо Cos угла между ними, т.е. векторы перпендикулярны. Скалярное произведение само на себя равно квадрату его модуля.
9 (24). Скалярное произведение ортов. Скалярное произведение векторов, заданных координатами.
10 (25). Определение угла между двумя векторами.
11 (26). Условия параллельности и перпендикулярности двух векторов.
12 (27). Векторное произведение.
Векторным произведением вектора `а на вектор `в называется вектор `с, который определяется следующим образом: 1) модуль `с численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах как на сторонах úсú=úаú×úвú×Sinj. 2) вектор с перпендикулярен обоим перемножаемым векторам; 3) направление вектора с таково, что если смотреть из его конца вдоль вектора а к вектору в, осуществляется против часовой стрелки. Геометрич. смысл векторного произведения –модуль векторн.пр-я равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах. Если векторы заданы в координатной форме, то их векторн. Произведение находится по формуле: `а ×`в =úijkú