Шпаргалки на экзамен в ВУЗе (1 семестр, математика)
| 1)Основные понятиялинейной алгебры.Задачи о перевозках. Элементылинейной алгебры.Задачи о перевозках. На 2-х складахА1 и А2 сосредоточеноа1, а2 тон однородногогруза, которыенужно доставитьв 3-и пункта назадв В1, В2, В3, потребнпунктов назначения,равны в1, в2, в3тон. Известностоимостьперевозкиодной тонныгруза, из каждогопункта отправленияв каждый пунктназначения.Требуетсясоставитьтакой планперевозки,при которомобщая стоимостьперевозокбыла бы наименьшей. А1+А2=В1+В2+В3 Хij– груз(тон) Сij– цена 1т груза. С=  Т.озадача ставитсяк нахожд неизвестногоXи ijудовлетворсистеме Ур-ий  Причемнайден Ур-едолжны бытьтакими чтобыф-я приняламиним з-я. Дляреш сформирзадачи необходимоуметь решатьсистемы линУр-й , т.к. системаявл сист линУр-й относитxij.Сист mлин Ур-й с nнейзв x1,x2,…,Xnимеет вид а11x1+а12x2+…+a1nXn=b1;a21x1+a22x2+…+a2nXn=b2;…….;am1x1+am2x2+…amnxn=bm.Коэфициентыаijпри неизвестнxij(j=1,2,…n),для удобстваобозн однойбуквой с 2-яиндексамиi-номерУр-нии, j-неизвстного |
| 10)МетодГаусса.(КарлФридрих Гаусс(1777-1855) немецкийматематик)Вотличие отматричногометодаи методаКрамера,метод Гауссаможет бытьприменен ксистемам линейныхуравнений спроизвольнымчислом уравненийи неизвестных.Суть методазаключаетсяв последовательномисключениинеизвестных.Рассмотримсистему линейныхуравнений:  Разделимобе части 1–го уравненияна a110, затем:1) умножимна а21и вычтем извторого уравнения;2) умножим наа31и вычтем изтретьего уравненияи т.д.Получим:  , где d1j= 1j/a11, j= 2, 3, …, n+1 dij= aij– ai1d1j i= 2, 3, … , n; j= 2, 3, … , n+1.Далееповторяемэти же действиядля второгоуравнениясистемы, потом– для третьегои т.д.Пример.Решить системулинейных уравненийметодом Гаусса.  Составимрасширеннуюматрицу системы.*=  Такимобразом, исходнаясистема можетбыть представленав виде:  ,откуда получаем: x3= 2; x2= 5; x1= 1.Пример.Решить системуметодом Гаусса.  Составимрасширеннуюматрицу системы.  Такимобразом, исходнаясистема можетбыть представленав виде:  ,откуда получаем: z= 3; y= 2; x= 1.Полученныйответ совпадаетс ответом,полученнымдля даннойсистемы методомКрамера иматричнымметодом.Длясамостоятельногорешения:  Ответ:{1, 2, 3, 4}. |
| 11)Векторы,действия надними.Определение.Векторомназываетсянаправленныйотрезок (упорядоченнаяпара точек).К векторамотноситсятакже и нулевойвектор, началои конец которогосовпадают.Определение.Длиной(модулем)вектора называетсярасстояниемежду началоми концомвектора.  Определение.Векторы называютсяколлинеарными,если они расположенына одной илипараллельныхпрямых. Нулевойвектор коллинеаренлюбому вектору.Определение.Векторы называютсякомпланарными,если существуетплоскость,которой онипараллельны.Коллинеарныевекторы всегдакомпланарны,но не все компланарныевекторы коллинеарны.Определение.Векторы называютсяравными,если они коллинеарны,одинаковонаправленыи имеют одинаковыемодули.Всякиевекторы можнопривести кобщему началу,т.е. построитьвекторы, соответственноравные данными имеющие общееначало. Изопределенияравенствавекторов следует,что любой векторимеет бесконечномного векторов,равных ему.Определение.Линейнымиоперацияминад вектораминазываетсясложение иумножение начисло.Суммойвекторов являетсявектор -  Произведение-  ,при этом  коллинеарен  .Вектор сонаправленс вектором ( ),если > 0.Вектор противоположнонаправлен свектором ( ),если Линейныеоперации надвекторами вкоординатах.Пустьзаданы векторыв прямоугольнойсистеме координат  тогда  |
| 12)Скалярноепроизведениевекторов, егосв-ва и вычисления.Определение.Скалярнымпроизведениемвекторов и называетсячисло, равноепроизведениюдлин этих сторонна косинусугла междуними. = cos Свойстваскалярногопроизведения: = 2; = 0, если или =0 или = 0. = ; ( +  )= + ;(m ) = (m )= m( );Еслирассматриватьвекторы  вдекартовойпрямоугольнойсистеме координат,то = xaxb+ yayb+ zazb;Используяполученныеравенства,получаем формулудля вычисленияугла междувекторами:  ;Пример. Найти (5 + 3 )(2 - ),если  10 -5 +6 -3 = 10  ,т.к.  . |
| 13)Векторноепроизведениевекторов. Егосв-ва и вычисление.Определение.Векторнымпроизведениемвекторов и называетсявектор  ,удовлетворяющийследующимусловиям:1)  ,где - угол междувекторами и ,  2)вектор ортогоналенвекторам и 3  ) , и образуют правуютройку векторов.Обозначается:  или  .
Свойствавекторногопроизведениявекторов:1)  ;2)  ,если или =0 или =0;3) (m ) = (m )= m( );4) ( + )= + ;5)Если заданывекторы (xa,ya,za)и (xb,yb,zb)в декартовойпрямоугольнойсистеме координатс единичнымивекторами  ,то =  6)Геометрическимсмыслом векторногопроизведениявекторов являетсяплощадь параллелограмма,построенногона векторах и .Пример. Найти векторноепроизведениевекторов  и  . = (2, 5, 1); =(1, 2, -3)  . |
| 14)Смешенноепроизведениевекторов егосв-ва и вычисления.Определение.Смешаннымпроизведениемвекторов , и называетсячисло, равноескалярномупроизведениювектора на вектор, равныйвекторномупроизведениювекторов и .Обозначается  или( , , ).Смешанноепроизведение помодулю равнообъему параллелепипеда,построенногона векторах , и .  
Свойствасмешанногопроизведения: 1)Смешанноепроизведениеравно нулю,если: а)хотьодин из векторовравен нулю;б)дваиз векторовколлинеарны;в)векторыкомпланарны. 2)  3)  4)  5)Объем треугольнойпирамиды,образованнойвекторами , и ,равен  6)Если  ,  ,то  Пример.Доказать, чтоточки А(5; 7; 2), B(3;1; -1), C(9;4; -4), D(1;5; 0) лежат в однойплоскости.Найдемкоординатывекторов:  Найдемсмешанноепроизведениеполученных векторов:  ,Такимобразом, полученныевыше векторыкомпланарны,следовательноточки A,B,Cи Dлежат в однойплоскости.Пример.Найти объемпирамиды идлину высоты,опущенной награнь BCD,если вершиныимеют координатыA(0;0; 1), B(2;3; 5), C(6;2; 3), D(3;7; 2).Найдем координатывекторов:  Объемпирамиды  Длянахождениядлины высотыпирамиды найдемсначала площадьоснованияCD.   Sосн=  (ед2)Т.к.V=  ; (ед)  |
| 15)Общеевычислениепрямой наплоскостиОпределение.Любая прямаяна плоскостиможет бытьзадана уравнениемпервого порядкаАх+ Ву + С = 0,причемпостоянныеА, В не равнынулю одновременно,т.е. А2+ В20. Это уравнениепервого порядканазывают общимуравнениемпрямой.Взависимостиот значенийпостоянныхА,В и С возможныследующиечастные случаи:
Уравнениепрямой можетбыть представленов различномвиде в зависимостиот каких – либозаданных начальныхусловий. |
| Уравнениепрямой можетбыть рассмотренокак уравнениелинии пересечениядвух плоскостей.Какбыло рассмотреновыше, плоскостьв векторнойформе можетбыть заданауравнением:   +D= 0, где -нормаль плоскости; -радиус- векторпроизвольнойточки плоскости.Пустьв пространствезаданы двеплоскости:  +D1= 0 и  +D2= 0, векторы нормалиимеют координаты: (A1,B1,C1), (A2,B2,C2); (x,y,z).Тогдаобщие уравненияпрямой в векторнойформе:  Общиеуравненияпрямой в координатнойформе:  Практическаязадача частосостоит вприведенииуравненийпрямых в общемвиде к каноническомувиду.Для этогонадо найтипроизвольнуюточку прямойи числа m,n,p.Приэтом направляющийвектор прямойможет бытьнайден каквекторноепроизведениевекторов нормалик заданнымплоскостям.  Пример.Найти каноническоеуравнение,если прямаязадана в виде:  Длянахожденияпроизвольнойточки прямой,примем еекоординатух = 0, а затем подставимэто значениев заданнуюсистему уравнений.  ,т.е. А(0, 2, 1).Находимкомпонентынаправляющеговектора прямой.  Тогдаканоническиеуравненияпрямой:  Пример. Привести кканоническомувиду уравнениепрямой, заданноев виде:  Длянахожденияпроизвольнойточки прямой,являющейсялинией пересеченияуказанныхвыше плоскостей,примем z= 0. Тогда:  ;2x– 9x– 7 = 0; x= -1; y= 3; Получаем:A(-1;3; 0).Направляющийвектор прямой:  .Итого:  |
| 17)Взаимноерасположениедвух плоскостейхарактеризуетсядвумя возможностями.1).Две плоскостине имеют общихточек, и , в такомслучае, ониназываютсяпараллельными(на рис. 28  ||  ).  Двеплоскостиимеют хотябы одну общуюточку, и в такомслучае ониназываютсяпересекающимися.Если две плоскостиимеют общуюточку, то ониимеют общуюпрямую, на которойлежат обе общиеточки этихплоскостей(аксиома). Такимобразом, двеплоскостипересекаютсяпо прямой (нарис. 28 и  пересекаютсяпо прямой a, a и -по прямой b). Пересекающиесяплоскостиобразуют четыредвугранныхугла. Если одиниз них прямой,тогда и остальныеуглы тоже прямые,а плоскостиназываютсяперпендикулярными.В качествепараллельныхплоскостейна каждом шагувстречаемпараллельныеграни одногодома. Плоскостистен домовперпендикулярныплоскостиземли. |
| 18)Взаимноерасположениедвух прямыхна плоскости.Определение.Любая прямаяна плоскостиможет бытьзадана уравнениемпервого порядка Ах+ Ву + С = 0, причемпостоянныеА, В не равнынулю одновременно,т.е. А2+ В20. Это уравнениепервого порядканазывают общимуравнениемпрямой. Взависимостиот значенийпостоянныхА,В и С возможныследующиечастные случаи:
Уравнениепрямой можетбыть представленов различномвиде в зависимостиот каких – либозаданных начальныхусловий. |
| Взаимноерасположениедвух прямыхи пространствехарактеризуетсяследующимитремя возможностями.1)Прямыележат в однойплоскости ине имеют общихточек - параллельныепрямые. 2)Прямыележат и однойплоскости иимеют однуобщую точку- прямые пересекаются.3)В пространстведве прямыемогут бытьрасположеныеще так, чтоне лежат нив одной плоскости.Такие прямыеназываютсяскрещивающимися(не пересекаютсяи не параллельны).Теорема. Еслиодна из двухпрямых лежитв некоторойплоскости, адругая пересекаетэту плоскостьи точке, котораяне лежит напервой прямой,то эти прямыескрещиваются.На рис. 26 прямаяa лежит в плоскости  ,а прямая спересекает вточке N. Прямыеa и с - скрещивающиеся.Теорема.Через каждуюиз двух скрещивающихсяпрямых проходиттолько однаплоскость,параллельнаядругой прямой.  На рис.26 прямые a и bскрещиваются.Черен прямуюа проведенаплоскость ||b (в плоскости  указанапрямая a1|| b). Примерыскрещивающихсяпрямых: трамвайныйрельс и троллейбусныйпровод попересекающейсяулице, нeпересекающиесяи непараллельныеребра пирамидили призм ипр. Все три случаяможно видетьеще на примерепрямых, по которымвстречаютсястены и потолокили стены ипол комнаты. |
| 2)Матрицы,действиянад матрицами.Привестипример.Определение.Матрицей размераmn,где m-число строк,n-число столбцов,называетсятаблица чисел,расположенныхв определенномпорядке. Этичисла называютсяэлементамиматрицы.Местокаждого элементаоднозначноопределяетсяномером строкии столбца, напересечениикоторых оннаходится.Элементы матрицыобозначаютсяaij,где i-номер строки,а j-номер столбца.А =  Основные действиянад матрицами.Матрицаможет состоятькак из однойстроки, таки из одногостолбца. Вообщеговоря, матрицаможет состоятьдаже из одногоэлемента.Определение.Если числостолбцов матрицыравно числустрок (m=n), то матрицаназываетсяквадратной.Определение. Матрица вида:  =E,называетсяединичнойматрицей.Определение.Если amn= anm, томатрица называетсясимметрической.Пример.  -симметрическаяматрицаОпределение.Квадратнаяматрица вида  называетсядиагональнойматрицей.Сложениеи вычитаниематриц сводитсяк соответствующимоперациямнад их элементами.Самым главнымсвойствомэтих операцийявляется то,что они определенытолько дляматриц одинаковогоразмера. Такимобразом, возможноопределитьоперации сложенияи вычитанияматриц:Определение.Суммой(разностью)матриц являетсяматрица, элементамикоторой являютсясоответственносумма (разность)элементовисходныхматриц.cij= aijbijС = А+ В = В + А. Операцияумножения(деления)матрицы любогоразмера напроизвольноечисло сводитсяк умножению(делению) каждогоэлемента матрицына это число.  (А+В) =АВ А()= ААПример.Даны матрицыА =  ;B=  ,найти 2А + В.2А =  , 2А + В =  . |
| 20)Взаимноерасположениепрямой и плоскости.Длявыяснениявзаимногорасположенияпрямой (x=b1t+x0;y=b2t+y0;z=b3t+z0)b(b1,b2,b3)-направляющийвектор прямойAx+By+Cz+D=0Чтобы найтиточку пересеченияпрямой и плоскости,надо решитьсист Ур-ийA(b1t+x0)+B(b2t+y0)+C(b3t+z0)+D=0; Ab1t+Ax0+Bb2t+By0+Cb3t+Cz0+D=0; (Ab1+Bb2+Cb3)t=-(Ax0+By0+Cz0+D). 1Случай:Ab1+Bb2+Cb3=0,определяетединственноерешение, т.к.получаемконкретноезначение параметраt,подставивкоторое в исходноеУр-е прямойполучаем точкипересеч с даннойплоскостью 2Случай:Пусть выражениеAb1+Bb2+Cb3=0,Ax0+By0+Cz0+D=0,т.к. левая частьне может бытьравна правой,это говорито том что прямаяпараллельнаплоскости. 3Случай:Пусть Ab1+Bb2+Cb3=0,Ax0+By0+Cz0+D=0,Ур-ям удовлетворяютлюбые знач tслед прямаялежит в плоскости. |
| О  .Определение.Фокусаминазываютсятакие две точки,сумма расстоянийот которыхдо любой точкиэллипса естьпостояннаявеличина.М r1 r2
F1F2
F1,F2– фокусы. F1= (c;0); F2(-c;0) с– половинарасстояниямежду фокусами; a– большая полуось; b– малая полуось.Теорема.Фокусноерасстояниеи полуоси эллипсасвязаны соотношением:a2= b2+ c2.Доказательство: В случае, еслиточка М находитсяна пересеченииэллипса свертикальнойосью, r1+ r2= 2  (потеореме Пифагора).В случае, еслиточка М находитсяна пересеченииэллипса сгоризонтальнойосью, r1+ r2= a– c+ a+ c.Т.к. по определениюсумма r1+ r2– постояннаявеличина, то, приравнивая,получаем:a2= b2+ c2 r1+ r2= 2a. Определение.Форма эллипсаопределяетсяхарактеристикой,которая являетсяотношениемфокусногорасстоянияк большей осии называетсяэксцентриситетом.Е= с/a. Т.к. с Определение.Величина k= b/aназываетсякоэффициентомсжатия эллипса,а величина 1– k= (a– b)/aназываетсясжатиемэллипса.Коэффициентсжатия и эксцентриситетсвязаны соотношением:k2= 1 – e2.Еслиa= b(c= 0, e= 0, фокусы сливаются),то эллипспревращаетсяв окружность.Еслидля точки М(х1,у1)выполняетсяусловие:  ,то она находитсявнутри эллипса,а если  ,то точка находитсявне эллипса.Теорема.Дляпроизвольнойточки М(х, у),принадлежащейэллипсу вернысоотношения:r1= a– ex,r2= a+ ex. Доказательство. Выше былопоказано, чтоr1+ r2= 2a.Кроме того,из геометрическихсоображенийможно записать:   Послевозведенияв квадрат иприведенияподобныхслагаемых:    Аналогичнодоказывается,что r2= a+ ex. Теоремадоказана.Сэллипсом связаныдве прямые,называемыедиректрисами.Их уравнения:x= a/e; x= -a/e.Теорема.Длятого, чтобыточка лежалана эллипсе,необходимои достаточно,чтобы отношениерасстояниядо фокуса красстояниюдо соответствующейдиректрисыравнялосьэксцентриситетуе.Пример.Составитьуравнениепрямой, проходящейчерез левыйфокус и нижнюювершину эллипса,заданногоуравнением:  Координатынижней вершины:x= 0; y2= 16; y= -4. Координатылевого фокуса:c2= a2– b2= 25 – 16 = 9; c= 3; F2(-3;0). Уравнениепрямой, проходящейчерез две точки:  Пример.Составить уравнениеэллипса, еслиего фокусыF1(0;0), F2(1;1), большая осьравна 2.Уравнениеэллипса имеетвид: .Расстояниемежду фокусами:2c=  ,таким образом,a2– b2= c2= Ѕпо условию2а = 2, следовательноа = 1, b=  Итого:  . |
пределение.Эллипсом называетсялиния, заданнаяуравнением | 22)ГиперболаОпределение.Гиперболойназываетсямножествоточек плоскости,для которыхмодуль разностирасстоянийот двух данныхточек, называемыхфокусамиесть величинапостоянная,меньшая расстояниямежду фокусами.
 yM(x,y) b r1 r2 x F1 aF2 c По определениюr1– r2=2a. F1,F2– фокусы гиперболы.F1F2= 2c.Выберемна гиперболепроизвольнуюточку М(х, у).Тогда:          обозначимс2– а2= b2(геометрическиэта величина– меньшаяполуось)   Получиликаноническоеуравнениегиперболы.Гиперболасимметричнаотносительносередины отрезка,соединяющегофокусы и относительноосей координат.Ось2а называетсядействительнойосью гиперболы.Ось2bназываетсямнимой осьюгиперболы.Гиперболаимеет двеасимптоты,уравнениякоторых  Определение.Отношение  называется эксцентриситетомгиперболы,где с – половинарасстояниямежду фокусами,а – действительнаяполуось.С учетомтого, что с2– а2= b2:   Еслиа = b,e=  ,то гиперболаназываетсяравнобочной(равносторонней).Определение.Две прямые,перпендикулярныедействительнойоси гиперболыи расположенныесимметричноотносительноцентра нарасстоянииa/e от него, называютсядиректрисамигиперболы.Их уравнения:  .Теорема.Еслиr– расстояниеот произвольнойточки М гиперболыдо какого- либофокуса, d– расстояниеот той же точкидо соответствующейэтому фокусудиректрисы,то отношениеr/d– величинапостоянная,равная эксцентриситету. |
| 23)Парабола.Параболойназываетсямножествоточек плоскости,каждая из которыхнаходится наодинаковомрасстоянииот данной точки,называемойфокусом, и отданной прямой,называемойдиректрисойи не проходящейчерез фокус.Расположимначало координатпосерединемежду фокусоми директрисой.    А у М(х, у)
О F x   p/2 p/2 Величинар (расстояниеот фокуса додиректрисы)называетсяпараметромпараболы.Выведем каноническоеуравнениепараболы.Изгеометрическихсоотношений: AM= MF; AM= x+ p/2;MF2= y2+ (x– p/2)2 (x+ p/2)2= y2+ (x– p/2)2 x2+xp+ p2/4= y2+ x2– xp+ p2/4 y2= 2px Уравнениедиректрисы:x= -p/2. Пример.На параболеу2= 8х найти точку,расстояниекоторой отдиректрисыравно 4. Из уравненияпараболы получаем,что р = 4. r= x+ p/2= 4; следовательно:x= 2; y2= 16; y= 4. Искомые точки:M1(2;4), M2(2;-4).
|
| 25)Общееур-е линии второгопорядкаКривые2го порядкаописываютсяс помощью общегоур-я: Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,где  а)Каноническоеур-е эллипса  -Каноническоеур-е эллипсаЕслиa=b,то x2+b2=a2- ур-е окружности. б)Ур-е гиперболы:x2/a2-y2/b2=1  в)ур-е параболы:y2=2pxили y=ax2 г)ур-е сферы:x2+y2+z2=а2(r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2) д)ур-е эллипса:x2/a2-y2/b2+z2/c2=1 |
| О  ,где aи b– действительныечисла, i– мнимая единица,которая определяетсясоотношением:  Приэтом число aназываетсядействительнойчастьючисла z(a= Rez),а b-мнимойчастью(b= Imz).Еслиa=Rez=0, точисло zбудет чистомнимым, еслиb= Imz= 0, точисло zбудет действительным.Определение.Числа и  называютсякомплексно– сопряженными.Определение.Два комплексныхчисла  и  называютсяравными, еслисоответственноравны их действительныеи мнимыечасти:  Определение.Комплексноечисло равнонулю, еслисоответственноравны нулюдействительнаяи мнимая части.  Понятиекомплексногочисла имеетгеометрическоеистолкование.Множествокомплексныхчисел являетсярасширениеммножествадействительныхчисел за счетвключениямножествамнимых чисел.Комплексныечисла включаютв себя всемножествачисел, которыеизучалисьранее. Такнатуральные,целые, рациональные,иррациональные,действительныечисла являются,вообще говоря,частными случаямикомплексныхчисел.Еслилюбое действительноечисло можетбыть геометрическипредставленов виде точкина числовойпрямой, токомплексноечисло представляетсяточкой наплоскости,координатамикоторой будутсоответственнодействительнаяи мнимая частикомплексногочисла. При этомгоризонтальнаяось будет являтьсядействительнойчисловой осью,а вертикальная- мнимой осью. A(a,b)B a Такимобразом, наоси ОХ располагаютсядействительныечисла, а на осиОY– чисто мнимые.Спомощью подобногогеометрическогопредставленияможно представлятьчисла в такназываемойтригонометрическойформе. |
пределение.Комплекснымчислом zназываетсявыражение | Основныедействия скомплекснымичислами вытекаютиз действийс многочленами.1)Сложениеи вычитание.  ;  ;2)Умножение.   Втригонометрическойформе:  ,   Сслучае комплексно– сопряженныхчисел:  3)Деление.    Втригонометрическойформе:  4)Возведениев степень.Изоперации умножениякомплексныхчисел следует,что  Вобщем случаеполучим:  ,гдеn– целоеположительноечисло.ЭтовыражениеназываетсяформулойМуавра.(Абрахамде Муавр (1667 –1754) – английскийматематик)ФормулуМуавра можноиспользоватьдля нахождениятригонометрическихфункций двойного,тройного ит.д. углов.Пример.Найти формулыsin2и cos2.Рассмотримнекотороекомплексноечисло  Тогдас одной стороны  .Поформуле Муавра:  Приравнивая,получим  Т.к.два комплексныхчисла равны,если равныих действительныеи мнимые части,то   Получилиизвестныеформулы двойногоугла.5) Извлечениекорня из комплексногочисла. Возводяв степень,получим:  Отсюда:   Такимобразом, кореньn– ой степенииз комплексногочисла имеетnразличныхзначений. |
| 27)Комплексныечисла, тригонометрическаяформа записикомплексногочисла. Действиянад комплекснымичислами втригонометрическойформе.(продолжение26-1-2) Тригонометрическаяформа числа.Изгеометрическихсоображенийвидно, что  .Тогда комплексноечисло можнопредставитьв виде:  Такаяформа записиназываетсятригонометрическойформой записикомплексногочисла.Приэтом величинаrназываетсямодулемкомплексногочисла, а уголнаклона - аргументомкомплексногочисла.  .Изгеометрическихсоображенийвидно:  Очевидно,что комплексно– сопряженныечисла имеютодинаковыемодули и противоположныеаргументы.  |
| 28)Основныеэлементарныеф-ии.Функция- это зависимостьодной величиныот другой. Еслисуществуетвзаимооднозначноесоответствиемежду переменнойх одного множестваи переменнойу другогомножества,то она называетсяфункциональнойзависимостью.y=f(x). Определениеспособа задания: -аналитически(y=kx+b) -графический(график) -таблично |
-алгоритмически(с помощью ЭВМ)
Классификацияфункций:
Элементарные:- функции, которыеполучаютсяиз основныхэлементарныхф-ций с помощьюалгебраическихдействий(+,-,*,/,введениев степень).Основныеэлементарныеф-ции:
1. y=xn- степенная
2. y=ax- показательная
3. y=logax- логарифмическая
4. y=sinx,y=cosx- тригонометрические.
Сложные:
Y=f(U),где U=(x),Y=f[(x)]
Еслиф-ция у зависитот промежуточногоаргумента U,который зависитот независимойпеременнойх, то y=f[(x)]называетсясложным заданиемх.
| 29)Пределф-ии  f(x) A+ A A- a- a a+ x П  устьфункция f(x)определенав некоторойокрестноститочки х = а (т.е.в самой точкех = а функцияможет быть ине определена)Определение.Число А называетсяпределомфункции f(x)при ха,если для любого>0существуеттакое число>0,что для всехх таких, что0x- a верно неравенствоf(x)- A. То же определениеможет бытьзаписано вдругом виде:Если а - , xa,то верно неравенствоА - .Запись пределафункции в точке:  Определение.Если f(x)A1при х а только приx- называетсяпределомфункции f(x)в точке х = аслева,а если f(x)A2при х а только приx> a,то  называетсяпределомфункции f(x)в точке х = асправа. f(x)А2 А1 a Приведенноевыше определениеотносится кслучаю, когдафункция f(x)не определенав самой точкех = а, но определенав некоторойсколь угодномалой окрестностиэтой точки.Пределы А1и А2называютсятакже одностороннимипределамифункции f(x)в точке х = а.Также говорят,что А – конечныйпределфункции f(x). |
| 3)Обратнаяматрица, еевычисление.Привестипример.Определимоперацию деленияматриц какоперацию, обратнуюумножению.Определение.Еслисуществуютквадратныематрицы Х иА одного порядка,удовлетворяющиеусловию: XA= AX = E,где Е - единичнаяматрица тогоже самого порядка,что и матрицаА, то матрицаХ называетсяобратнойк матрицеА и обозначаетсяА-1.Каждаяквадратнаяматрица сопределителем,не равным нулюимеет обратнуюматрицу и притомтолько одну.Рассмотримобщий подходк нахождениюобратнойматрицы.Исходяиз определенияпроизведенияматриц, можнозаписать:AX= E  ,i=(1,n),j=(1,n),eij= 0, ij,eij= 1, i = j .Такимобразом, получаемсистему уравнений:  Решив эту систему,находим элементыматрицы Х.Пример.Дана матрицаА =  ,найти А-    Такимобразом, А-1=  .Однако,такой способне удобен принахожденииобратных матрицбольших порядков,поэтому обычноприменяютследующуюформулу:  ,гдеМji-дополнительныйминорэлемента аjiматрицы А.Пример.Дана матрицаА = ,найти А-1.detA= 4 - 6 = -2.M11=4; M12=3; M21=2; M22=1 x11=-2; x12=1; x21=3/2; x22=-1/2Таким образом,А-1= .Cвойстваобратныхматриц.Укажемследующиесвойства обратныхматриц:(A-1)-1= A; 2) (AB)-1= B-1A-1 3) (AT)-1= (A-1)T.Пример. Дана матрицаА =  ,найти А3.А2= АА = =  ;A3= =  .Отметим,что матрицы и являютсяперестановочными.Пример. Вычислитьопределитель  . =-   =-1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 –8 + 20 = 10.  =  =2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.  =  = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.Значениеопределителя:-10 + 6 – 40 = -44. |
| 30)Основныетеоремы определахТеорема1.  ,где С = const.Следующиетеоремы справедливыпри предположении,что функцииf(x)и g(x)имеют конечныепределы приха.Теорема2.  Доказательствоэтой теоремыбудет приведенониже.Теорема3.  Следствие.  Теорема4.  при  Теорема5. Еслиf(x)>0вблизи точких = а и ,то А>0.Аналогичноопределяетсязнак пределапри f(x)0, f(x)0.Теорема6. Еслиg(x)f(x)u(x)вблизи точких = а и  ,то и  .Определение.Функция f(x)называетсяограниченнойвблизиточки х = а, еслисуществуеттакое числоМ>0, что f(x) Доказательство.Пусть ,т.е.  ,тогда  или  ,.е.  гдеМ = + АТеоремадоказана. |
| 31)Первыйзамечательныйпредел  Доказательство:докажем для  справедливостьнеравенства  Всилу четностивходящих внеравенствоф-ий, докажемэто неравенствона промежутке  Из рисункавидно, что площадькруговогосектора   ,так как х>0,то  ,2.следовательно,что    
 |
| 32)Второй замечательныйпредел lim(n)(1+1/n)^n=e Док-во: x+n x:n=[x] => nx Посколькопри ув-нииоснования истепени упоказательнойф-ции, ф-циявозрастает,то можно записатьновое неравенство(1/(n+1))^n(1+1/n)^x(1+1/n)^(n+1)(4) Рассмотрим пос-ти стоящиесправа и слева.Покажем чтоих предел числое. Заметим (х+,n) lim(n)(1+1/(n+1))=lim(n)(1+1/(n+1))^n+1-1=lim(n)(1+1/(n+1))^n+1lim(n)1/(1+1/(n+1))=e lim(n)(1+1/n)^n+1=lim(n)(1+1/n)^nlim(n)(1+1/n)=e1=e |
| 33)Бесконечномалые величиныи их св-ваОпределение. Функция f(x)называетсябесконечномалойпри ха,где а можетбыть числомили одной извеличин ,+или -,если  .Бесконечномалой функцияможет бытьтолько еслиуказать к какомучислу стремитсяаргумент х.При различныхзначениях афункция можетбыть бесконечномалой илинет.Пример.Функция f(x)= xnявляетсябесконечномалой при х0и не являетсябесконечномалой при х1,т.к.  .Теорема.Длятого, чтобыфункция f(x)при хаимела предел,равный А, необходимои достаточно,чтобы вблизиточки х = а выполнялосьусловие f(x)= A+ (x),где(х)– бесконечномалая при ха ((х)0при х а). Свойствабесконечномалых функций:
Используяпонятие бесконечномалых функций,приведемдоказательствонекоторыхтеорем о пределах,приведенныхвыше.Доказательствотеоремы 2.Представимf(x)= A+ (x),g(x)= B+ (x),где  ,тогдаf(x)g(x)= (A+ B)+ (x)+ (x)A+ B= const, (х)+ (х)– бесконечномалая, значит  Теоремадоказана.Доказательствотеоремы 3.Представимf(x)= A+ (x),g(x)= B+ (x),где ,тогда  AB= const, (х)и (х)– бесконечномалые, значит  Теоремадоказана. |
| 34)Эквивалентныебесконечномалые величиныи их св-ваПусть(х),(х)и (х)– бесконечномалые функциипри х а. Будем обозначатьэти функции,и соответственно.Эти бесконечномалые функцииможно сравниватьпо быстротеих убывания,т.е. по быстротеих стремленияк нулю.Например,функция f(x)= x10стремится кнулю быстрее,чем функцияf(x)= x.Определение.Если  ,то функция называетсябесконечномалой болеевысокого порядка,чем функция.Определение.Если  ,то и называютсябесконечномалыми одногопорядка.Определение.Если  тофункции и называютсяэквивалентнымибесконечномалыми.Записывают~ .Пример. Сравним бесконечномалые при х0функции f(x)= x10и f(x)= x.  т.е.функция f(x)= x10– бесконечномалая болеевысокого порядка,чем f(x)= x.Определение.Бесконечномалая функцияназываетсябесконечномалой порядкаkотносительнобесконечномалой функции,если предел  конечен и отличенот нуля.Однакоследует отметить,что не всебесконечномалые функцииможно сравниватьмежду собой.Например, еслиотношение  не имеет предела,то функциинесравнимы.Пример.Если  ,то при х0  ,т.е. функция- бесконечномалая порядка2 относительнофункции .Пример.Если  ,то при х0  не существует,т.е. функцияи несравнимы.Свойстваэквивалентныхбесконечномалых.1)~ ,  2)Если ~ и ~ ,то ~ ,  3)Если ~ ,то ~ ,  4) Если ~ 1и ~ 1и  ,то и  или  .Следствие: а) если ~ 1 и ,то и  б) если ~ 1и ,то  Свойство4 особенно важнона практике,т.к. оно фактическиозначает, чтопредел отношениябесконечномалых не меняетсяпри заменеих на эквивалентныебесконечномалые. Этотфакт даетвозможностьпри нахождениипределов заменятьбесконечномалые на эквивалентныеим функции,что может сильноупроститьвычислениепределов.Пример.Найти предел  Таккак tg5x~ 5xи sin7x~ 7xпри х 0, то, заменивфункции эквивалентнымибесконечномалыми, получим:  Пример.Найти предел  .Таккак 1 – cosx=  при х0,то  .Пример.Найти предел  Еслии - бесконечномалые при ха,причем - бесконечномалая болеевысокого порядка,чем ,то = + - бесконечномалая, эквивалентная.Это можно доказатьследующимравенством  .Тогдаговорят, что- главнаячасть бесконечномалой функции.Пример. Функция х2+х – бесконечномалая при х0,х – главнаячасть этойфункции. Чтобыпоказать это,запишем = х2,= х, тогда  . |
| 3  5)Связьм\ж бесконечномалыми и бесконечнобольшимиф-миОпределение.Предел функцииf(x)при ха,где а- число,равенбесконечности,если для любогочисла М>0 существуеттакое число>0,что неравенствоf(x)>M выполняетсяпри всех х,удовлетворяющихусловию 0 x- a Записывается  .Собственно,если в приведенномвыше определениизаменить условиеf(x)>Mна f(x)>M,то получим:  а если заменитьна f(x)
Определение.Функция называетсябесконечнобольшой приха,где а – чослиили одна извеличин ,+или -,если ,где А – числоили одна извеличин ,+или -.Связьбесконечнобольших ибесконечномалых функцийосуществляетсяв соответствиисо следующейтеоремой.Теорема.Еслиf(x)0при ха(если х) и не обращаетсяв ноль, то  |
| 3  6)Непрерывностьф-ииОпределение.Функция f(x),определеннаяв окрестностинекоторойточки х0,называетсянепрерывнойв точке х0,если пределфункции и еезначение вэтой точкеравны, т.е.  Тотже факт можнозаписать иначе:  Определение.Если функцияf(x)определенав некоторойокрестноститочки х0,но не являетсянепрерывнойв самой точкех0,то она называетсяразрывнойфункцией, аточка х0– точкой разрыва.Примернепрерывнойфункции:f(x0)+ f(x0) f(x0)- x0- x0x0+  Примерразрывнойфункции: f(x0)+ f(x0) f(x0)- x0 Определение.Функция f(x)называетсянепрерывнойв точке х0,если для любогоположительногочисла >0существуеттакое число>0,что для любыхх, удовлетворяющихусловию  вернонеравенство  .Определение. Функция f(x)называетсянепрерывнойв точке х = х0,если приращениефункции в точкех0являетсябесконечномалой величиной.f(x)= f(x0)+ (x) где (х)– бесконечномалая при хх0. Свойстванепрерывныхфункций. 1)Сумма, разностьи произведениенепрерывныхв точке х0функций – естьфункция, непрерывнаяв точке х0. 2) Частное двухнепрерывныхфункций  –есть непрерывнаяфункция приусловии, чтоg(x)не равна нулюв точке х0.3)Суперпозициянепрерывныхфункций – естьнепрерывнаяфункция.Этосвойство можетбыть записаноследующимобразом:Еслиu= f(x), v= g(x)– непрерывныефункции в точкех = х0,то функция v= g(f(x))– тоже непрерывнаяфункцияв этой точке.Справедливостьприведенныхвыше свойствможно легкодоказать,используятеоремы определах. |
| 37)Св-вафункций непрерывныхна отрезке.Свойство1: (Перваятеорема Вейерштрасса(ВейерштрассКарл (1815-1897)- немецкийматематик)).Функция, непрерывнаяна отрезке,ограниченана этом отрезке,т.е. на отрезке[a,b]выполняетсяусловие –Mf(x)M.Доказательствоэтого свойстваосновано натом, что функция,непрерывнаяв точке х0,ограниченав некоторойее окрестности,а если разбиватьотрезок [a,b]на бесконечноеколичествоотрезков, которые“стягиваются”к точке х0,то образуетсянекотораяокрестностьточки х0.Свойство2: Функция,непрерывнаяна отрезке[a,b],принимает нанем наибольшееи наименьшеезначения.Т.е.существуюттакие значениях1и х2,что f(x1)= m, f(x2)= M,причем mf(x)MОтметим этинаибольшиеи наименьшиезначения функцияможет приниматьна отрезке инесколькораз (например– f(x)= sinx).Разность междунаибольшими наименьшимзначениемфункции наотрезке называетсяколебаниемфункциина отрезке.Свойство3: (Втораятеорема Больцано– Коши). Функция,непрерывнаяна отрезке[a,b],принимает наэтом отрезкевсе значениямежду двумяпроизвольнымивеличинами.Свойство4: Еслифункция f(x)непрерывнав точке х = х0,то существуетнекотораяокрестностьточки х0,в которой функциясохраняетзнак. Свойство5: (Перваятеорема Больцано(1781-1848) – Коши). Еслифункция f(x)-непрерывнаяна отрезке[a,b]и имеет на концахотрезка значенияпротивоположныхзнаков, тосуществуеттакая точкавнутри этогоотрезка, гдеf(x)= 0. Т.е.еслиsign(f(a)) sign(f(b)), тох0:f(x0)= 0. Определение.Функция f(x)называетсяравномернонепрерывнойна отрезке[a,b],если для любого>0существует>0такое, что длялюбых точекх1[a,b]и x2[a,b]таких, что х2– х1 верно неравенство f(x2)– f(x1) Отличие равномернойнепрерывностиот “обычной”в том, что длялюбого существуетсвое ,не зависящееот х, а при “обычной”непрерывностизависит от и х. Свойство6: ТеоремаКантора (КанторГеорг (1845-1918)- немецкийматематик).Функция, непрерывнаяна отрезке,равномернонепрерывнана нем.(Этосвойствосправедливотолько дляотрезков, ане для интервалови полуинтервалов.)Пример.   Ф  ункция непрерывнана интервале(0, а), но не являетсяна нем равномернонепрерывной,т.к. существуеттакое число>0такое, чтосуществуютзначения х1и х2такие, чтоf(x1)– f(x2)>,- любое числопри условии,что х1и х2близки к нулю.Свойство7: Еслифункция f(x)определена,монотонна инепрерывнана некоторомпромежутке,то и обратнаяей функция х= g(y)тоже однозначна,монотонна инепрерывна.Пример.Исследоватьна непрерывностьфункцию иопределитьтип точек разрыва,если они есть.    вточке х = -1 функциянепрерывна в точке х =1 точка разрыва1 – го рода Пример.Исследоватьна непрерывностьфункцию иопределитьтип точек разрыва,если они есть.     вточке х = 0 функциянепрерывна в точке х =1 точка разрыва1 – го рода |
| 3  8)Производнаяф-ииОпределение.Производнойфункции f(x)в точке х = х0называетсяпредел отношенияприращенияфункции в этойточке к приращениюаргумента,если он существует.  f(x)
f(x0+x) f P M f(x0) x x0 x0+ x
Пустьf(x)определенана некоторомпромежутке(a, b).Тогда  тангенс угланаклона секущейМР к графикуфункции. ,где- угол наклонакасательнойк графику функцииf(x)в точке (x0,f(x0)).Уголмежду кривымиможет бытьопределенкак угол междукасательными,проведеннымик этим кривымв какой- либоточке.Уравнениекасательнойк кривой:  Уравнениенормали к кривой:  .Фактическипроизводнаяфункции показываеткак бы скоростьизмененияфункции, какизменяетсяфункция приизменениипеременной.Физическийсмысл производнойфункции f(t),где t-время, а f(t)-закон движения(изменениякоординат) –мгновеннаяскоростьдвижения.Соответственно,вторая производнаяфункции- скоростьизмененияскорости, т.е.ускорение.Определение.Правой (левой)производнойфункции f(x)в точке х = х0называетсяправое (левое)значение пределаотношения  при условии,что это отношениесуществует.   Еслифункция f(x)имеетпроизводнуюв некоторойточке х = х0,то она имеетв этой точкеодносторонниепроизводные.Однако, обратноеутверждениеневерно. Во-первых функцияможет иметьразрыв в точкех0, а во- вторых,даже если функциянепрерывнав точке х0,она может бытьв ней недифференцируема.Например:f(x)= x-имеет в точкех = 0 и левую иправую производную,непрерывна в этой точке,однако, не имеетв ней производной.Теорема.(Необходимоеусловие существованияпроизводной)Еслифункция f(x)имеет производнуюв точке х0,то она непрерывнав этой точкеПонятно,что это условиене являетсядостаточным. |
| 1.  ,C=const. 2.  . 3.  . 4.  . 5.  .6.  .7.  . 8.  ,a О R. 9.   . 10.  ,гдеаОR+. 11.  . 12.  ,a О R, a № 1. 13.  . 14.  . 15.  . 16.  . 17.  .18.  .19.  .20.  .21.  .22.  =  23.  =  24. =  25.  =  26.  =  Доказательство.Докажемформулу  .Пусть аргументуxдано приращениеh;при этом функция  получаетприращение  ,а функция  --приращение  .Их сумма  получиттогда приращение  Значит,  Совершенноаналогичнодоказываетсяформула  . Докажем теперьформулу  .Пусть снова  и  --приращенияфункций, соответствующиеприращению  аргумента  .Тогда  ,  иприращениемпроизведениябудет  Поэтому,по свойствампределов,  Приэтом мы вынеслимножители и зазнак предела  какпостоянные,не зависящиеот переменного  ,к которомуотноситсябаза предела.Докажемтеперь формулу  .Заметим, что  Поэтому,согласно правиламвычисленияпределов,  |
| 4)Определители2-го порядка.Св-ва.Определители2-ого и 3-го порядковЛюбые 4 числа,расположенныев виде квадратнойтаблицы, называютсяквадратнойматрицей второгопорядка. Каждойквадратнойматрице 2-огопорядка можнопоставить всоответствиечисло, называемоееё определителеми обозначаемое D=|A|.Определителиn-ногопорядка.Определительn-огопорядка равенсумме произведенийэлементов1-ой строки наих алгебраическиедополнения(Aijсоответствующееэлементу aij и равно Aij= (-1)i+j*Mij)Результатразложенияне зависитот того, по какойстроке (столбцу)производитсяразложение: 2 -1 0 4 0 3 = (3 столбец)= -2 4 5 Свойство1.Важным свойствомопределителейявляется следующеесоотношение:detA= detAT; Свойство2.det( A B) = det A det B.Свойство3.det (AB) = detAdetB Свойство4. Если в квадратнойматрице поменятьместами какие-либодве строки(или столбца),то определительматрицы изменитзнак, не изменившисьпо абсолютнойвеличине.Свойство5. Приумножениистолбца (илистроки) матрицына число ееопределительумножаетсяна это число.Определение:Столбцы (строки)матрицы называютсялинейнозависимыми,если существуетих линейнаякомбинация,равная нулю,имеющая нетривиальные(не равные нулю)решения.Свойство6. Еслив матрице Астроки илистолбцы линейнозависимы, тоее определительравен нулю.Свойство7. Еслиматрица содержитнулевой столбецили нулевуюстроку, то ееопределительравен нулю.(Данное утверждениеочевидно, т.к.считать определительможно именнопо нулевойстроке илистолбцу.)Свойство8. Определительматрицы неизменится,если к элементамодной из егострок(столбца)прибавить(вычесть)элементы другойстроки(столбца),умноженныена какое-либочисло, не равноенулю.Свойство9. Еслидля элементовкакой- либостроки илистолбца матрицыверно соотношение:d= d1d2 , e= e1e2, f= f1f2, товерно:  |
| 40)Логарифмичдифференцирование.Производнаястепеннопоказф-ииРассмотримфункцию  .Тогда(lnx)=  ,т.к.  .Учитываяполученныйрезультат,можно записать  .Отношение  называетсялогарифмическойпроизводнойфункции f(x).Способлогарифмическогодифференцированиясостоитв том, что сначаланаходят логарифмическуюпроизводнуюфункции, а затемпроизводнуюсамой функциипо формуле  Способлогарифмическогодифференцированияудобно применятьдля нахожденияпроизводныхсложных, особеннопоказательныхфункций, длякоторых непосредственноевычислениепроизводнойс использованиемправил дифференцированияпредставляетсятрудоемким.Производнаяпоказательно-степеннойфункции.Функцияназываетсяпоказательной,если независимаяпеременнаявходит в показательстепени, истепенной,если переменнаяявляетсяоснованием.Если же и основаниеи показательстепени зависятот переменной,то такая функциябудет показательно– степенной.Пустьu= f(x)и v= g(x)– функции, имеющиепроизводныев точке х, f(x)>0.Найдемпроизводнуюфункции y= uv.Логарифмируя,получим:lny= vlnu    Пример.Найти производнуюфункции  .Пополученнойвыше формулеполучаем:  Производныеэтих функций:  Окончательно:  |
| 41)Производнаясложной ф-ииТеорема.Пустьy= f(x);u= g(x),причем областьзначений функцииuвходит в областьопределенияфункцииf.Тогда   (с учетом того,что если x0,то u0,т.к. u= g(x)– непрерывнаяфункция)Тогда  Теоремадоказана. |
Доказательство.| 42)Производнаяф-и задана неявнои параметрическиОпр. Функция z=f(x,y)наз. Заданнойнеявно, еслиона определенаравенством,неразрешеннымотносительноz.F(x,y,z)=0 x+y+z=ez- это равенствозадаем некоторуюфункцию z=f(x,y),которую нельзявыразить вполном виде.x2+y2+z2=0- не задаетникакой функции.Теорема:Если ф-я F(x,y,z)непрерывнав т. р0(x0,y0,z0)и ее производнаяпо z Fz(x,y,z)0,то равенствоF(x,y,z)=0однозначноопределяетв неявном видефункцию z=f(x,y),при этом этафункция дифференцируемаи ее производнаянаходится поформулам: z/x=Fx(x,y,z)/Fz(x,y,z) z/y=Fz(x,y,z)/Fy(x,y,z)Док-во:Найдем полныйдифференциалфункцииdF(x,y,z)=F/x*dx+F/y*dy+F/x*dz F(x0,y0,z0)=0dF=0F/x*dx+F/y*dy+F/x*dz=0 dz=(F/x)/(F/z)*dx(F/y)/(F/z)*dy (*) С другой стороны:z=f(x,y), dz=z/x*dx+z/y*dy (**) Сравнивая(*) и(**) z/x=Fx(x,y,z)/Fz(x,y,z)z/y=Fz(x,y,z)/Fy(x,y,z) Пустьдана функция  поопределениюпроизводнойимеем  Производнаяпараметрическизаданнойфункции.Пример:  ЛогарифмическоедифференцированиеЕсли дифференцируемаяфункция имеетсложный вид,а именно содержитстепени, произведения,частное, топеред дифференцированиемеё целесообразнопрологарифмировать,при этом функцияпримет линейныйили более простойвид, дифференцированиекоторой намногопроще. Дифференцированиестепенно-показательныхфункций проводитсятолько послепредварительногологарифмирования.Пример:y=xx ln(y)=xlnx y`=xx(lnx+1)  |
| 43)Диффиренциалф-ии, егосвойства.ОпределениеФункцияy=f(x)называетсядиф. в точкеx,если приращениефункции можнопредставитьв виде Df= Dx+o(Dx),A-constЕсли f(x)диф. в точкеx, то df=A·Dx–дифференциалфункции в точкеxФункция имеетв точке xпроизводнуюЫона дифференцируема.в этой точкеДок-во: $f’(x)= lim Df/DxЮDf/Dx=f’(x)+a Df=f’(x)Dx+aDxЮf-диф. Df= ADx+aDx Df/Dx=A+aЮ$limDf/Dx=A= f’(x)Следствие:для диф. функцииконстанта Aравна производнойфункции в точкеx Свойства: Пустьf(x)и g(x)-диф.
Доказательство:d(f*g)= (fg)’ dx= (gf’+fg’) dx = gf’ dx+fg’ dx= gdf+fdg Дифференциалпервого порядкаобладает свойствоминвариантностиформы при замененезависимойпеременной Доказательство:y=f(x) dy=f’(x)dx x=j(t) dx=j’(t)dt y=f(j(t)) dy=(f(j)))’dt=f’(j(t))*j(t)dt= f’(x)dx СмыслФизическийсмысл дифференциала: x=x(t) dx=x(t)dt=u(мгновенное) Физич. диф.- этопуть, которыйпрошла бы точка,если ее движениестало бы равномернымсо скоростью,взятой в моментвремени t Геометрическийсмысл дифференциала: Геометрическидифференциалравен приращениюординаты вдолькасательнойк графику функции, проведеннойв заданнойточке. |
| 44)Инвариантнаяформа записидифференциалапервого порядка.Пустьy= f(x),x= g(t),т.е у- сложнаяфункция.Тогдаdy= f(x)g(t)dt= f(x)dx.Видно,что форма записидифференциалаdyне зависитот того, будетли х независимойпеременнойили функциейкакой- то другойпеременной,в связи с чемэта форма записиназываетсяинвариантнойформой записидифференциала.Однако,если х- независимаяпеременная,то dx= x,но если х зависитот t,тохdx.Таким образомформа записиdy= f(x)xне являетсяинвариантной.Пример. Найти производнуюфункции  .Сначалапреобразуемданную функцию:   Пример. Найти производнуюфункции  . Пример.Найти производнуюфункции   Пример.Найти производнуюфункции   Пример.Найти производнуюфункции   |
| 45)Основныетеоремы одифференцируемыхф-яхТеорема:Если f(x)и g(x)дифферен. вточке х, то:  Теоремао произв. сложнойфункции:Еслиy(x)=f(u(x))и существуетf’(u)и u’(x),то существуетy’(x)=f(u(x))u’(x). Теоремао произв. обратнойфункции.  Таблицапроизводных:  |
| 46)ПравилоЛопиталя.Пример(Лопиталь(1661-1704) – французскийматематик)Кразрядунеопределенностейпринято относитьследующиесоотношения:  Теорема(правило Лопиталя).Еслифункции f(x)и g(x)дифференцируемыв вблизи точкиа, непрерывныв точке а, g(x)отлична отнуля вблизиа и f(a)= g(a)= 0, то пределотношенияфункций прихаравен пределуотношения ихпроизводных,если этот предел(конечный илибесконечный)существует.  Доказательство.Применив формулуКоши, получим:  где- точка, находящаясямежду а и х.Учитывая, чтоf(a)= g(a)= 0:  Пустьпри хаотношение  стремится кнекоторомупределу. Т.к.точка лежит междуточками а их, то при хаполучим а,а следовательнои отношение  стремится ктому же пределу.Таким образом,можно записать: .Теоремадоказана.Пример:Найти предел  .Каквидно, при попыткенепосредственноговычисленияпредела получаетсянеопределенностьвида  .Функции, входящиев числительи знаменательдроби удовлетворяюттребованиямтеоремы Лопиталя.f(x)= 2x+ ; g(x)= ex;  ; |
| 47)Экстремумф-ииОпределение.Функция f(x)имеет в точкех1максимум, еслиее значениев этой точкебольше значенийво всех точкахнекоторогоинтервала,содержащеготочку х1.Функция f(x)имеет в точкех2минимум, еслиf(x2+x)> f(x2)при любом х(хможет быть иотрицательным).Очевидно,что функция,определеннаяна отрезкеможет иметьмаксимум иминимум тольков точках, находящихсявнутри этогоотрезка. Нельзятакже путатьмаксимум иминимум функциис ее наибольшими наименьшимзначением наотрезке – этопонятия принципиальноразличные.Определение.Точки максимумаи минимумафункции называютсяточкамиэкстремума.Теорема.(необходимоеусловие существованияэкстремума)Еслифункция f(x)дифференцируемав точке х = х1и точка х1является точкойэкстремума,то производнаяфункции обращаетсяв нуль в этойточке.Доказательство.Предположим,что функцияf(x)имеет в точкех = х1максимум.Тогдапри достаточномалых положительныхх>0верно неравенство:  ,т.е.  Тогда   Поопределению:  Т.е. еслих0,но х(x1)0, а если х0,но х>0,то f(x1)0.А возможноэто только втом случае,если при х0 f(x1)= 0.Для случая,если функцияf(x)имеет в точкех2минимум теоремадоказываетсяаналогично.Теоремадоказана.Следствие.Обратноеутверждениеневерно. Еслипроизводнаяфункции внекоторойточке равнанулю, то этоеще не значит,что в этой точкефункция имеетэкстремум.Красноречивыйпример этого– функция у= х3,производнаякоторой в точкех = 0 равна нулю,однако в этойточке функцияимеет толькоперегиб, а немаксимум илиминимум.Определение.Критическимиточкамифункции называютсяточки, в которыхпроизводнаяфункции несуществуетили равнанулю.Рассмотреннаявыше теоремадает нам необходимыеусловия существованияэкстремума,но этогонедостаточно.Пример:f(x)= x Пример:f(x)=  
Вточке х = 0 функцияимеет минимум,но В точкех = 0 функция неимеет ни неимеет производной. максимума,ни минимума,ни производной. Вообщеговоря, функцияf(x)может иметьэкстремум вточках, гдепроизводнаяне существуетили равнанулю.Теорема.(Достаточныеусловия существованияэкстремума)Пустьфункция f(x)непрерывнав интервале(a,b),который содержиткритическуюточку х1,и дифференцируемаво всех точкахэтого интервала(кроме, можетбыть, самойточки х1)Еслипри переходечерез точкух1слева направопроизводнаяфункции f(x)меняет знакс “+” на “-“, тов точке х = х1функция f(x)имеет максимум,а если производнаяменяет знакс “-“ на “+”- тофункция имеетминимум.Доказательство. Пусть  Потеореме Лагранжа: f(x)– f(x1)= f()(x– x1), где x1.Тогда:1) Если х 1,то 1; f()>0;f()(x– x1)1)1).2)Если х > x1,то > x1f()()(x– x1)1)1).Т. к. ответысовпадают,то можно сказать,что f(x)1)в любых точкахвблизи х1,т.е. х1– точка максимума.Доказательствотеоремы дляточки минимумапроизводитсяаналогично.Теоремадоказана. |
| 4  8)Точкиперегиба графф-ии.ПримерОпределение.Кривая обращенавыпуклостьювверхна интервале(а, b),если все ееточки лежатниже любойее касательнойна этом интервале.Кривая, обращеннаявыпуклостьювверх, называетсявыпуклой,а кривая, обращеннаявыпуклостьювниз – называетсявогнутой.
Теорема1. Есливо всех точкахинтервала(a,b)вторая производнаяфункции f(x)отрицательна,то кривая y= f(x)обращенавыпуклостьювверх (выпукла).Доказательство.Пусть х0(a,b).Проведемкасательнуюк кривой в этойточке.Уравнениекривой: y= f(x);Уравнениекасательной:  Следуетдоказать, что  .Потеореме Лагранжадля f(x)– f(x0):  ,x0  Пустьх > x0тогда x010> 0 и c– x0> 0, и кроме тогопо условию  , следовательно,  .Пустьx0тогда x10и x– x00  то .Аналогичнодоказывается,что если f(x)> 0 на интервале(a,b),то кривая y=f(x)вогнута наинтервале(a,b).Теоремадоказана.Определение.Точка, отделяющаявыпуклую частькривой отвогнутой,называетсяточкойперегиба.Очевидно,что в точкеперегибакасательнаяпересекаеткривую.Теорема2. Пустькривая определяетсяуравнениемy= f(x).Если втораяпроизводнаяf(a)= 0 или f(a)не существуети при переходечерез точкух = а f(x)меняет знак,то точка кривойс абсциссойх = а являетсяточкойперегиба.Доказательство.1) Пусть f(x)(x)> 0 при x> a.Тогда при x aкривая вогнута,т.е. точка х = а– точка перегиба.Пустьf(x)> 0 при x(x) b– выпуклостьювверх. Тогдаx= b– точка перегиба.Теоремадоказана. |
| 49)АсимтотыПриисследованиифункций частобывает, чтопри удалениикоординатых точки кривойв бесконечностькривая неограниченноприближаетсяк некоторойпрямой.Определение.Прямая называетсяасимптотойкривой,если расстояниеот переменнойточки кривойдо этой прямойпри удаленииточки в бесконечностьстремится кнулю.Следуетотметить, чтоне любая криваяимеет асимптоту.Асимптотымогут бытьпрямые и наклонные.Исследованиефункций наналичие асимптотимеет большоезначение ипозволяетболее точноопределитьхарактер функциии поведениеграфика кривой.Вообщеговоря, кривая,неограниченноприближаяськ своей асимптоте,может и пересекатьее, причем нев одной точке,как показанона приведенномниже графикефункции  .Ее наклоннаяасимптота у= х.  Вертикальныеасимптоты.Изопределенияасимптотыследует, чтоесли  или  или ,то прямая х= а – асимптотакривой y= f(x).Например,для функции  прямая х = 5 являетсявертикальнойасимптотой.Наклонныеасимптоты.Предположим,что кривая y= f(x)имеет наклоннуюасимптоту y= kx+ b.  Обозначимточку пересечениякривой и перпендикулярак асимптоте– М, Р – точкапересеченияэтого перпендикулярасасимптотой.Угол междуасимптотойи осью Ох обозначим.ПерпендикулярМQк оси Ох пересекаетасимптоту вточке N.ТогдаMQ= y– ординататочки кривой,NQ=  - ордината точкиN на асимптоте.Поусловию:  , NMP= ,  .Угол- постоянныйи не равный900,тогда   Тогда  .Итак,прямая y= kx+ b– асимптотакривой. Дляточного определенияэтой прямойнеобходимонайти способвычислениякоэффициентовkи b.Вполученномвыражениивыносим заскобки х:  Т.к.х,то  ,т.к. b= const,то  .Тогда  , следовательно,  .Т.к.  ,то  ,следовательно,  Отметим,что горизонтальныеасимптотыявляются частнымслучаем наклонныхасимптот приk=0. Пример.Найти асимптотыи построитьграфик функции  .1)Вертикальныеасимптоты:y+ x0-0: y- x0+0,следовательно,х = 0- вертикальнаяасимптота.2)Наклонныеасимптоты:   Такимобразом, прямаяу = х + 2 являетсянаклоннойасимптотой.Построимграфик функции:  |
| 5)Определители3-го порядка.Св-ва.9 элементовaij,где i-номерстрока, а j-номерстолбца, располагаютсяв квадратнуютаблицу, называемуюквадратнойматрицей третьегопорядка. Ейможно поставитьв соответствиечисло, котороеназываетсяопределителем3-го порядка.Свойство1.Важным свойствомопределителейявляется следующеесоотношение:detA= detAT; Свойство2.det( AB)= detAdetB.Свойство3. det(AB)= detAdetB Свойство4. Если в квадратнойматрице поменятьместами какие-либодве строки(или столбца),то определительматрицы изменитзнак, не изменившисьпо абсолютнойвеличине.Свойство5. Приумножениистолбца (илистроки) матрицына число ееопределительумножаетсяна это число.Определение:Столбцы (строки)матрицы называютсялинейнозависимыми,если существуетих линейнаякомбинация,равная нулю,имеющая нетривиальные(не равные нулю)решения.Свойство6. Еслив матрице Астроки илистолбцы линейнозависимы, тоее определительравен нулю.Свойство7. Еслиматрица содержитнулевой столбецили нулевуюстроку, то ееопределительравен нулю.(Данное утверждениеочевидно, т.к.считать определительможно именнопо нулевойстроке илистолбцу.)Свойство8. Определительматрицы неизменится,если к элементамодной из егострок(столбца)прибавить(вычесть)элементы другойстроки(столбца),умноженныена какое-либочисло, не равноенулю.Свойство9. Еслидля элементовкакой- либостроки илистолбца матрицыверно соотношение:d= d1d2 , e= e1e2, f= f1f2, товерно: |
| 50)Общаясхема исследованияф-ии.Процессисследованияфункции состоитиз несколькихэтапов:1)Областьсуществованияфункции.Этопонятие включаетв себя и областьзначений иобласть определенияфункции.2)Точкиразрыва. (Еслиони имеются).3)Интервалывозрастанияи убывания.4)Точкимаксимума иминимума.5)Максимальноеи минимальноезначение функциина ее областиопределения.6)Областивыпуклостии вогнутости.7)Точкиперегиба.(Еслиони имеются).8)Асимптоты.(Еслиони имеются).9)Построениеграфика.Применениеэтой схемырассмотримна примере.Пример.Исследоватьфункцию  ипостроить ееграфик.Находимобласть существованияфункции. Очевидно,что областьюопределенияфункции являетсяобласть (-;-1) (-1; 1) (1; ).В свою очередь,видно, что прямые х = 1, х = -1 являютсявертикальнымиасимптотамикривой.Областьюзначений даннойфункции являетсяинтервал (-;).Точкамиразрывафункции являютсяточки х = 1, х = -1.Находим критическиеточки.Найдемпроизводнуюфункции  Критическиеточки: x= 0; x= -  ;x= ; x= -1; x= 1. Найдем вторуюпроизводнуюфункции      .Определимвыпуклостьи вогнутостькривой напромежутках.-> 0, кривая вогнутая 0 ,y> 0, кривая вогнутая Находим промежуткивозрастанияиубыванияфункции. Дляэтого определяемзнаки производнойфункции напромежутках.-,y> 0, функциявозрастаетВидно, что точках = - является точкоймаксимума,а точка х = является точкойминимума.Значения функциив этих точкахравны соответственно3 /2и -3 /2.Про вертикальныеасимптотыбыло уже сказановыше.Теперьнайдем наклонныеасимптоты.   Итого,уравнениенаклоннойасимптоты– y= x. Построим графикфункции: |
| 6)Системылинейных уравнений(n=2,3)ТеоремаКрамера.(ГабриельКрамер (1704-1752) швейцарскийматематик)Данныйметод такжеприменим тольков случае системлинейныхуравнений,где числопеременныхсовпадает счислом уравнений.Кроме того,необходимоввести ограниченияна коэффициентысистемы. Необходимо,чтобы всеуравнениябыли линейнонезависимы,т.е. ни одноуравнение неявлялось былинейнойкомбинациейостальных.Дляэтого необходимо,чтобы определительматрицы системыне равнялся0.detA0;Действительно,если какое-либо уравнениесистемы естьлинейнаякомбинацияостальных,то если к элементамкакой- либостроки прибавитьэлементы другой,умноженныена какое- либочисло, с помощьюлинейныхпреобразованийможно получитьнулевую строку.Определительв этом случаебудет равеннулю.Теорема.Система из nуравнений сnнеизвестными  вслучае, еслиопределительматрицы системыне равен нулю,имеет единственноерешение и эторешение находитсяпо формулам:xi= i/,где = detA, а i– определительматрицы, получаемойиз матрицысистемы заменойстолбца iстолбцом свободныхчленов bi.i=  Пример.  A=  ; 1=  ; 2=  ; 3=  ;x1= 1/detA; x2= 2/detA; x3= 3/detA;Пример. Найти решениесистемы уравнений:  =  = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 –10 + 5 = -30;1= = (  28– 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30. x1= 1/= 1;2=  = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.x2= 2/= 2;3=  = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.x3= 3/= 3.Как видно,результатсовпадает срезультатом,полученнымвышематричнымметодом.Еслисистема однородна,т.е. bi= 0, то при 0система имеетединственноенулевое решениеx1= x2= … = xn= 0.При = 0 система имеетбесконечноемножестворешений. |
| 7)СистемалинейныхУр-ий.ТеоремаКронекра-Капели.(Леопольд Кронекер(1823-1891) немецкийматематик)Теорема:Системасовместна(имеет хотябы одно решение)тогда и толькотогда, когдарангматрицы системыравен рангурасширеннойматрицы.RgA= RgA*.Очевидно,что система(1) может бытьзаписана ввиде:x1  +… + xn  Доказательство.1)Если решениесуществует,то столбецсвободныхчленов естьлинейнаякомбинациятолбцов матрицыА, а значитдобавлениеэтого столбцав матрицу, т.е.переход АА*не изменяютранга.2) ЕслиRgA= RgA*,то это означает,что они имеютодин и тот жеСтолбец свободныхчленов – линейнаякомбинациястолбцов базисногоминора, те верназапись, приведеннаявышеПример.Определитьсовместностьсистемы линейныхуравнений:  A=  ~  .  RgA= 2.A*=  RgA*= 3.Системанесовместна.Пример.Определитьсовместностьсистемы линейныхуравнений.  А =  ;  = 2 + 7)Продолжение. +12= 14 0; RgA= 2;A*=   RgA*= 2.Система совместна.Решения: x1= 1; x2=1/2. |
+ x2| 8)Рангматрицы и еговычисление.Привестипример.Рангомматрицы А назнаивысший изпорядков миноровэтой матрицыне равныхнулю.А=(аij)=(a11a12… a1n;a21a22… a2n;…; am1am2… amn)m*x Возьмем и выделимкакой-нибудьминор порядкаА (а11 а12; а21 а22). Еслиэтот минорне равен нулюто его строки(столбцы)линейно независимы,тогда первые2-е строки этойматрицы линейнонезавис. Рангматрицы А будетне меньше 2-х.При нахожденииранга матрицыпользуютсяметодом окомляющихминоров. Этотметод состоитв том что минорвторого порядкаокомляют однойстрокой и однимстолбцом, т.естроят минор3-го порядка.Если же миноры3-его порядкаокомляющиеданный минор2-го порядкаравны нулю,то матрица Ане содержитминоров порядкабольшего 2-х,не равных нулюи ее ранг равен2-м.Если же естьхотя бы одинминор 3-го порядкакоторый неравен нулю,то ранг матрицыне менее 3-х ипроцедуруокомления3-порядка продолжают,в итоге будетнайден минор4-го порядкане равный нулю.Для котороговсе окомляющиеминоры n+1-гопорядка равнынулю. Тогдаранг матрицыА равен n.Разность матрицыобозн. R(A).Замечания:1)Ранг нулевойматрицы равеннулю; 2)рангматрицы равенmaxчислу его линейнонезависимыхстрок.Найдитеранг матрицы  .Решение.Первую строкуоставляембез изменений.Чтобы избежатьпоявлениядробей, умножимвторую, третьюи четвертуюстроки на 2:  Первуюстроку умножимна  иприбавим ковторой. Получимстроку  .Первую строкуумножим на  иприбавим ктретьей. Получимстроку  .Первую строкуумножим на иприбавим кчетвертой.Получим строку  .Витоге имеемматрицу  Вторуюстроку оставляембез изменений.К третьей строкеприбавляемвторую, умноженнуюна 2. Получимстроку  Кчетвертойстроке прибавляемвторую. Получимнулевую строку.Преобразованнаяматрица имеетвид  Поменяемместами третийи четвертыйстолбцы:  Базисныйминор матрицы  стоитв первых трехстолбцах ипервых трехстроках,  .Следовательно,  |
| 9)Систлин уравненийОпределение.Система mуравнений сnнеизвестнымив общем видезаписываетсяследующимобразом: , где aij– коэффициенты,а bi– постоянные.Решениямисистемы являютсяnчисел, которыепри подстановкев системупревращаюткаждое ееуравнение втождество.Определение.Если системаимеет хотябы одно решение,то она называетсясовместной.Если системане имеет ниодного решения,то она называетсянесовместной.Определение.Система называетсяопределенной,если она имееттолько однорешение инеопределенной,если болееодного.Определение.Для системылинейных уравненийматрицаА =  называетсяматрицей системы,а матрицаА*=  называетсярасширеннойматрицейсистемыОпределение.Если b1,b2,…,bm= 0, то системаназываетсяоднородной.однороднаясистема всегдасовместна,т.к. всегда имеетнулевое решение. |