Экзаменационнаяпрограмма
Покурсу математическогоанализа длястудентов групп03-112 - 116.
1. Понятиеn-мерного арифметическогопространстваRn.Метрика. Метрическиепространства.Открытые изамкнутыемножества вRn.
2. Общееопределениефункции. Сложная,неявно и параметрическизаданная функции,обратнаяфункция.
3. Пределчисловойпоследовательности.Теорема оединственностипредела числовойпоследовательности.Ограниченностьсходящейсяпоследовательности.
4. Бесконечномалые и бесконечнобольшие последовательностии их свойства.Свойства пределов,связанные сарифметическимиоперацияминад последовательностями.Переход кпределу внеравенствах.
5. Понятиепредела функции.Односторонниепределы. Теоремао единственностипреЯсла. Теоремаоб ограниченности(на некоторойокрестноститочки а }функции f(х),имеющей конечныйпредел при ха. Бесконечномалые и бесконечнобольшие функциии их свойства.
6. Связь функциис ее пределом.Арифметическиеоперации надпределамифункций. Предельныйпереход внеравенствах.
7. Теоремао пределе сложнойфункции.
8. Сравнениефункций. Эквивалентныефункции. Сравнениебесконечномалых функций.
9. Непрерывностьфункций в точкеке.Односторонняянепрерывность.Точки разрывафункции ихклассификация.Теорема о сохранении-знака непрерырывнойфункции.
10. Свойстванепрерывныхфункций напромежутках.Равномернаянепрерывность.
11. Теоремао непрерывностисложной функции.
12. Теоремао непрерывностиобратной функции.
13. Непрерывностьэлементарныхфункций.
14. Понятиечислового ряда.частичныесуммы, определениесходимостиряда. КритерийКоши сходимостиряда. Необходимоеусловие сходимостиряда. Исследованиена сходимостьряда
15. Свойствасходящихсярядов.
16. Ряды снеотрицательнымичленами. Признаксравнения ипредельныйпризнак сравнения.
17. ПризнакиДаламбера иКоши.
18. Знакопеременныечисловые рядыТеорема Лейбницадля знакочередующегосяряда. Оценкаостатка ряда.
19. Абсолютнаяи условнаясходимость.Теорема о связимежду сходимостьюрядов и
. Свойстваабсолютносходящихсярядов. ПризнакиДаламбера иКоши для знакопеременныхрядов.
20. Ряды скомплекснымичленами.
21. Производнаяи дифференциалфункции. Необходимоеусловие существованияпроизводной.Необходимоеи достаточноеусловие дифференцируемостифункции в точке.
22. Геометрическийсмысл производнойи дифференциала.Уравнениекасательнойи нормали кграфику функции.
23. Правилавычисленияпроизводных,связанные сарифметическимидействияминад функциями.
24. Производнаясложной функции.
25. Производнаяобратной функции.
26. Логарифмическаяпроизводная.Производныеосновных элементарныхфункций.
27. Производыеи дифференциалывысших порядков.Формула Лейбница.
28. Параметрическоедифференцирование.
29. ТеоремаФерма. Геометрическаяннтерпритадия.
30. ТеоремаРолля. Геометрическаяинтерпрнтация.
31. ТеоремаЛагранжа.Геометрическаяинтерпретация.
32. Теорема Коши.
33. ПравилоЛопиталя.
34. ФормулаТейлора с остаточнымчленом в формеЛагранжа иПеано.
35. Разложениеосновных элементарныхфункции поформуле Маклорена.
36. Признакмонотонностифункции.
37. Необходимоеусловие экстремумафункции. Достагочноеусловие экстремумафункции.
38. Выпуклостьи точки перегиба.
39. Асимптоты.
40. Первообразнаяи ее свойства.
41. Неопределенныйинтеграл и егосвойства.
42. Метод заменыпеременнойв неопределенноминтеграле.Интегрированиепо частям.
43. Основныесвойства изалгебры многочленов.Интегрированиерациональныхдробей.
44. Интегрированиеиррациональностей.
45. Интегрированиетригонометрическихвыражений.
46. Определенныйинтеграл.Ограниченностьинтегрируемойфункции
47. Свойстваопределенногоинтеграла,
48. Теоремао среднем.
49. Определенныйинтеграл спеременнымверхним пределом.Его непрерывностьи дифференцируемость.
50. ФормулаНьютона -Лейбница
51. Формулызамены переменнойв определенноминтеграле иинтегрированиепо частям.
52. Площадьплоской фигуры.
53.Несобственныеинтефалы. Основныеопределенияи свойства.
54. Несобственныеинтегралы отнеотрицательныхфункций. Признаксравнения ипредельныйпризнак сравнения.
55. Абсолютнаяи условнаясходимость.Главное значениенесобственногоинтеграла.
#1{пространство}Множвсех упорядоченныхнаборов nдейств чиселс определеннымина этом мн-вефункциямиp(x,y)называется n-мернымарифметическимпространствоми обозн Rn.{Открытыеи замкнутыемнож в прос-веR''}Множ xR''назыв открытымесли весь Хлежит в Rто для любойточки xX >0 такая чтоU(x,)принадл Х любоеоткрытое множсодерж даннуюточку называетсяего окрестностью.Точка х принадлпространствуR''назыв точкойприкосновенияХ содержащейсяв R''если любаяокрестностьэтой точкисодержит точкимнож-ва Х Множ-восодерж все своиточки прикосновенияназываетсязамкнутым {Метрическоепр-во.} Метрическим пространствомназываетсяпара (x,)состоящая измн-ва Х и действитне отриц функцииопред на множХ и удовл следсв-вам 1 (x,y)=0x=y1;2) p(x,y)=p(y,x)x,yX;3) p(x,y)x,y,zX в этом случаефункция метрикой числор(х,у)- расст м/уточками х и у
#2Есликаждому значениюперем величиных принадл мн-вуЕ соотв однои только однозначение величиныу то у называетсяф-ей от оси хили зависимойпеременнойопределеннойна множ Е, хназываетсяаргументомили независпеременной.Если кажд значх принадл некоторомумн-ву Е соотводно или несколькознач переменноойвеличины у тото у называетсямногозначнойфункцией. {}Ф-ияу от х заданнаяцепью равенству=f(u) u=(x) и т.п. назыв сложнойф-ией или композициейф-ий f и u{}Ф-ия заданнаяур-нием неразрешеннымотносит зависперееменнойназыв неявнойпример: х*х*х+у*у*у=1 у – неявнаяф-ия от х {}пустьна множ Т заданы2 ф-ии х=(t) у=(t):TX :TYпричем дляфункции ф существуетобратная t=(x) :XTтогда на множХ опред ф-ияf:XYследующимравенствомf(x)=((x))ф-ия fназыв параметричзаданной ф-иями(t)(t){}обр ф-ия пустьf:ХYвзаимно однозначноеотображениемнож Х на множYтогда опредотображение g:YX yY g(y)=x где хХ такой что f(x)=y такое отображназываетсяобратным к f и обознач f(в степ -1)
#3ПустьХ какое либомн-во всякоеотобр f:N®Xназываетсяпослед эл-товХ элемент f(n)n-ыйчлен последовательностии обозн хncамапослед f:N®Xобозн {Xn}или Хn n=1,2,3… число а назывпределом послед{Xn}и обозн А=lim(n®Ґ)xnесли "e>0$ne=n(e)ОN тако что приn>ne выполн нер-во/Хn-А/e нер-во эквивалслед.: А-e
#4послед{xn}назыв б м п еслиlim(n®Ґ)xn=0послед {xn}назыв б б п еслиона имеет своимпределомбесконечнось.Если {xn}ббп то 1/{xn}бмп Док-во т.к {xn}ббп => "e>0$ne=n(e)такое что приn>neвып неравенство/xn/>1/e=> 1//xn/e при n>ne= lim(n®Ґ)1/xn=0{T}произведбеск малой наогранич естьбмп {док-во} пусть{xn}-бмп а {уn}-огранич => $M>0 такое что /уn/
#5 {Определа ф-ции}Пусть f(x)определеннав некоторойокрестностит. «а» за исключуниембыть можетсамой этойточки а. ЧислоА – называетсяпределом ф-циипри xaесли E>0=(E)>0: x 0вып. |f(x)-A|
#6{Т о связи ф-иии ее пределов.}Длятого чтобы Абыло limф-ии f(x) при ха А=lim(a)f(x) f(x)=A+(x);Где (x)– б м ф-ия приха {док-во} ПустьА=lim(ха)f(x) предположим; (x)=f(x)-A и докажем что(x)-бм ф при ха. Возьмем >0завис от такое что ()>0такое что х,0/ => /f(x)-A/ => /(x)/=/f(x)-A/таким образом (x)– бмф при ха пусть f(x)=(x)+A где (x)– бмф при хатогда при >0>0 такая что х удв 0/ выполняется /(x)/ => /f(x)-A/=/(x)/ => lim(ха)f(x)=A{Арифмитическиеоперации надпределами ф-цийТ }пусть сущпредел f1(x)при ха=А и сущ lim(ха)f2(x)=B1)сущ lim(f1(x)+f2(x))=A+B2) сущ lim(f1(x)*f2(x))=AB3) сущ lim(f1(x)/f2(x))=A/B при В0; 1-eсв-во тк lim(ха)f1(x)=Aи lim(ха)f2(x)=B => f1(x)=A+1(x) f2(x)=B+2(x) где 12 бм ф-ии при ха тогда f1(x)+f2(x)=A+B+12=A+B+(x)== где (х)бмф т.к. сумма2х бм ==lim(ха)(f1(x)+f2(x))=A+B{предельныйпереход внеравенство} пусть lim(ха)f1(x)=b1 lim(ха)f2(x)=b2 и b1 #7{Теоремао пределе сложнойф-ции} Пустьlimxaf(x)=AlimyAg(y)=Bи в некоторойU(a,1)определенасложная ф-цияg(f(x))и f(x)Атогда limxag(f(x))=limyAg(y){Док-во} E>0т.к. limyAg(y)=B>0|y, 0|g(y)-B| #8{сравнениеф-ций} f(x)есть O-большоеот ф-ци от ф-цииg(x)на мн-ве Е и пишутf(x)=O(g(x))на E, если C>0| |f(x)|C(g(x))xEf(x)=O(1)на Ef(x)ограниченана Е т.е. С>0 | |f(x)|CxEПусть ф-цияf(x)и g(x)–определены в некоторойокрестности(.) а за исключениембыть можетсамой этой (.) f(x)есть o-малое от g(x)при xaи пишут f(x)=o(g(x)),xa, если в некоторойвыколотойокрестностиа имеет местоf(x)=E(x)g(x),где limxfE(x)=0x=o(x),x0f(x)=og(x), xaE(x)=x h(x)=o(g(x)),xa;(x)+h(x)=o(g(0))+o(g(x)=o(g(x))xa f(x)есть O-большоеот g(x)при xa,если U(a)| f(x)=O(g(x))на U(a)пишут f(x)=O(g(x)),xaФ-ции f(x)и g(x)называетсяэквивалентамиxa,если эти ф-ции определеныи отличны иотличны от 0 внекоторойокрестности(.) а за исключениембыть можетсамой этойточки и существуетпредел limxaf(x)/g(x)=1пишут f(x)g(x)xa{Т} Для того, чтобыф-ция f(x)и g(x)были эквивалентны,необходимои достаточноf(x)=g(x)+o(g(x))xag(x)0(xa){Док-во} Пустьf(x)g(x), xaтогда по определениюg(x)отлично от 0 вU(0)и limxaf(x)/g(x)=1E(x),E(x)0при xa | f(x)/g(x)=1+E(x)f(x)=g(x)+E(x)g(x)=g(x)+o(g(x)),xa.Обратно Пустьf(x)=g(X)+o(g(x))xa, g(x)+o(x+a)f(x)=g(x)+E(x)g(x),где limxaE(x)=0f(x)/g(x)=1+E(x)limxaf(x)/g(x)=1f~g(x)xa{Сранение бесконечномалых ф-ций}Пусть f(x)и g(x)–б.м. ф-ции приxag(x)0в некоторойU(a){O}Если отношениеf(x)/g(x)при xaимеет конечныйи отличный от0 предел, то ф-ции называютсяб.м. одного порядка.Если f(x)/g(x)=0то f(x)само являетсябесконечноб.м. более высокогопорядка посравнению сg(x)при xa {O}Ф-ция f(x)называетсяб.м. к-ого относительноб.м. g(x)при xa,Если ф-ция f(x)и gk(x)б.м. одного порядкапри xa №9{Непрерывностьф-ции в точке}Ф-ия назывнепрерывнойв точке а если(дельта)f(a)=f(a+h)-f(a)определенав окр точки h=0 и для >0 =()>0 такое что h /h/ /f(a+h)-f(a)/Для того чтобыф-ия была f(x)была непрерывнав т а необходи достаточночтобы сущ f(a+0),f(a-0) и f(a+0)=f(a)=f(a-0){Одностороняянепрерывность}Ф-ция наз. непрерывнойсправа (слева)если существуетf(a+0)=limxa+0f(x)(f(a-0)=limxa-0f(x))и f(a+0)=f(a)(f(a-0)=f(a)){классификточек разрыва} если для ф-ииf(x)в т а f(a+0),f(a-0)конечные значенияно ф-ия в точкеа имеет разрыв.то говорят чтоона имеет разрыв1-го рода еслиф-ия в точке аимеет разрывне 1-го рода тотакой разрывназываетсяразрывом второгорода.{Теоремао сохранениизнака непрерывнойф-ции} пустьф-ия f(x)непрерывнав т а и f(a)0тогда существуетокрестностьточки а :U(a)и с>0 такое чтоf(x)>cxU(a,) ((1)f(a)>0) f(x)xU(a) при f(a)=/f(a)//2>0 тогда >0такое что xU(a) => /f(x)-f(a)/=/f(a)//2f(x) #10{Св-ванепрерывныхф-ций на промежутках}{Т Больцано-Каши}Пусть ф-цияf(x)определенаи непрерывеана отр [a,b]и принимаетна его концахзначения разныхзнаков. Тогдасуществует(.) с принадлежащаяинтервалу (a,b)в которой f(c)=0{T2}Пусть ф-цияf(x)определеннаи непрерывнана промежуткеX([c,d],[c,d),(c,d],(c,d))и принимаетв т. a,bX, a #11{Т о непрерывнсложн ф-ии } Пустьф-ия f(x)непрерывнав т. а, aф-я g(y)непрер в т b=f(a)тогда сущф-ия=g(f(x)) в некоторойокр точки акоторая непрерывнав точке а {Док-во}Возьмем>0тогда из непрерывностиф-ии g(у)в т bследует чтосущ число >0так что у /у-b/ так что ф-ия g(y)определенаи /g(y)-g(b)/ из непрерывностиф-ии g(x)в т а >0 (х)опред на (а-;а+) и х(а-;а+)=> /f(x)-f(a)/.На интервале(а-;а+)опред сложная ф-ия g(f(x))причем х(а-;а+) /g(f(x))-g(f(a))/=> по опреднепрерывности=> g(f(x))непрерывнавт а чтд. #12{Непрерывностьобратной ф-ции}Пусть у=f(x)– непрерывнапри х[a,b]у[A,B] и пусть онастрого возрастает,тогда ф-цияx=(y)также непрерывна{Д} Пусть y0[A,B]x0=(y0),f(x0)=y0x0(a,b); возьмём >0столь малое,что [x0-,x0+][a,b]Пусть y1=f(x0-)y2=f(x0+)Тогда в силустрого возрастанияф-ции fy(y1,y2)x=(y)(x0-,x0+)тогда для у из[A,B]получаем [a,b]мы получилина нём >0удовлетв этомуусловию мы невзяли существокрестностьв (.) 0 (у1,у2) | у(у1,у2)соответсвует(y)(x0-;x0+)Если это утверждениесправедливодля мал то оно справедливодля +ф-ция - непрерывнав т. н0 по определению.{} Пусть у0=В х0=(y0)=bВозьмём #13{Непрерывностьэлементарныхф-ций} 1)f(x)=C–непрерывнана всей числовойпрямой. f(x)=f(x+h)-f(x)=C-C=0;limh0f(x)=0;2) f(x)=x;f(x)=x+h-x=hlimh0h=0;3)f(x)=xn,nN–непрерывнана всей числовойпрямой, непрерывнакак произведениенепрерывныхф-ций по индукцииxn=xn-1x;4)f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-непрерывнаяна всей числовойпрямой каксумма конечногочисла непрерывныхф-ций;5)R(x)=P(x)/Q(x)=(a0xn+a1xn-1+…+an)/(b0xm+b1xm-1+..+bm)-непрерывнана всей числовойпрямой за исключением тех х, при которыхзначение знам.обращ в 0 какчастное двухнепрерывныхф-ций.;6) f(x)=sinxЛемма xR,|sinx|(OB,ox)=x;(OB’,ox)=x0/2т.к.длинаотрезкасоеддветочкинепревосходитдлиныдугиокружностисоединяющейтежеточки|BB’|2Rsinx/2/2Если|x|>/2|sinx|/2f(x)|=|sin(x+h)-sinx|=|2sinh/2cos(x+h/2)|h0sinh/2=07.f(x)=cosx – непрерывнанавсейчисловойпрямой|f(x)|=|cos|x+h|-cosx|=(2sinh/2sin(x+h/2)0;8)f(x)=ax–непрнавсейчислпр,a>=0f=(ax+h-ax)=ax(ah-1)limh0ax(ah-1)=0;9)f(x)=logax a>0 a1непрерывнана(0,+)10)arcsinx, arccosx – навсейчисл.пр. #14{Понятие числовогоряда} пустьдана числоваяпоследовательность{an} составленныйиз членов этойпоследовательностисимвол. а1+а2+а3…аnназыв бескчисловым рядома1а2-члены этогоряда для обозначисп сумма n 1-ых членов ряданазыв частичнойсуммой рядаесли пределпослед частичныхсумм конечныйто говорят чторяд сход в протслучае расход{Т необход условиесходимости}если ряд аnсход то lim(n)an=0 док-во еслиряд anсх то lim(n)Sn=S=lim(n)S(n-1)тогда lim(n)an= lim(n)(Sn-S(n-1))= lim(n)Sn-lim(n)(Sn-1)=0т док. {Т КритерийКоши } Для сх-тиряда (n=1,)an>0 n такое что приn>n и рZ p>=0 вып неравенство/аn+an+1+an+2+an+p/;{} (n=1..)1/n(в степ )>1 сход 1/n+1/(n+1)+…+1/(2n-1)>=1/n+1/(n+1)+…+1/(2n-1)>1/2n+1/2n+…+1/2n=n/2n=1/2для =1/2при np=n-1| вып-ся нер-во|an+…+an+p|>ряд расх. Пусть>1,=2-1>0расходитсячастичная суммаряда S2k=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+…+(1/(2k-1+1)+,,,+1/(2k));1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)>1/n+1/n+1/n=n/n=1/n-1=1/n+1/2/(1-1/2){S2k}–ограниченасверху т.к. nk|nkSn #15{Св-ва сходящихсярядов} Если+n=1anсх-ся то сх-сяи любой егоостаток, еслисходится какойлибо остатокто сходися исам ряд. {Д} Пустьk=m+1+ak-остатокряда. ОбозначимАn=a1+…+an– n-аячастная суммаряда (1,+)anA’s=am+1+…+am+s–s-аячастная суммаk=m+1+ak,тогда A’s=Am+s-Amт.к. limnaAnlimS+Am+SlimS+A’S=lims+Am+S-Amk=m+1+akcx-cя;Пустьk=m+1+akсх-ся; Am+S=AS’+Am;n=m+s An=A’n-m+Am (n>m) Т.к.lims+A’Slimn+A’n=mlimn+A=limn+An-n+Amn=1+anрядсх.{Следствие}Еслиряд(1,+)anсх-сяиn=(k=n+1,+)aklimn+n=0{Док}ПустьAn=(1,n)ak,A=limn+AnA=An+nn=A-A1limn+n=A-limn+An=0{Т}Еслиряды(n=1,+)anи(n=1,+)bnсх-сяи-число,то(n=1,+)(an+bn)сх-сяи(n=1,+)anсх-ся{Д}ПустьАn=(k=1,n)ak,Bn=k=1nbk;A=limn+An,B=limn+Bn;limn+(An+Bn)=A+B,limn+An=AТ.к.An+Bn=(a1+b1)+…+(an+bn)-n-аячастичнаясуммаряда(n=1,+)(an+bn)иAn=a1+…+an-n-аячастичнаясуммарядатоданныерядысходятся. #16{Tпризнак сравнения}пусть даны 2ряда (n=1..)an и (n=1..)bn аn>=0 bn>=0 (n=1,2,3…)и noтакое что приn>no аn #17{ПризнакДаламбера непредельный(прТейлора)} an an>0 n=1,2,3… Если а(n+1)/anрядсход если q>=1 рядрасх{Док-во} аn=a1*a2/a1*a3/a2…an/a(n-1)n-1q(n=1,+)qn-1cх-сякак бесконечная=> (n=1,+)аn cх-ся Пусть а(n+1)/an>=1 => а(n+1)>=an>=…>=a1>=0 lim(n)an0 =>ряд расход{Признак Дплмберапредельный}Пусть существуетпредел: limn+an+1/an=k;1)k1ряд расх. {Док-во}k>0|k+n0| n>n0an+1/an #18{O}Знакопеременнымирядами называютn=1+(-1)n-1an, an>0{ТЛейбница} пустьдан знакоперемряд (-1)n-1сn cn>0;1)C(n+1))(Cn)=0 то ряд сход{Док-во} рассмчастичные суммыряда cчётными номерамиS2kможно представитьв виде:S2k=(c1-c2)+(c3-c4)+…+(c(2k-1)-c(2k))Т.к. каждая изскобок положительнато данная частичнаясумма образуетвозрастающуюпоследовательность по усл теоремы S2k=c1-(c2-c3)-…-(c(2n-2)-c(2n-1))-c2n {Оценкаостатка ряда}При выполненииТ Лейбница знакостатка рядасовпад со знакомсвоего 1-го членаи не превосходитего по модулю #19Ряд n=1an–наз абс сходесли сход ряд|an|.Если an– cха |an|- расх то такойряд наз усл сх.{Теорема о связимежду сх абси об} Если рядабсолютносходится тоон и простосходится {Док}Пусть ряд n=1+an-абссх n=1+|аn|-сх-ся по критериюКоши >0n|при n>nи pZp>=0вып-ся нер-во:|an+an+1+…+an+p|n+p|по критериюКоши n=1+an-сх-ся.{Св-ваабс сх рядов}{Т1} Если n=1+an–абс сход, торяд полученныйиз него произвольнойперестановкойчленов такжеабс сх и имееттужу сумму.{Т2} Если рядыn=1+anи n=1+bnабс сх то рядсост из возмпопарн произведенийaibiвзятых в произвольномпорядке такжеабсолютно сходи сумма его =произведениюсумм рядов an и bn{Признаки Даламбераи Каши для рядовс произвольнымичленами} Приисследованииряда n=1+an на абс сход кряду из модулейего членовмогут бытьприменены всепризнаки сходимостидля знакоположительныхрядов. {Т1}|an-1|/|an| ;limn+|an-1|/|an|=k;при kеn=1+Ґan-сход при kеn=1+Ґan-схпри k>1ряд еn=1+Ґan-расх {Т2} Еслидля посл-ностиеn|an|;k=limn+n|an|;при kеn=1+Ґan-схпри k>1ряд еn=1+Ґan-расх. #20{Рядыс комплекснымичленами} {О}Посл-ностьzn=xn+iyn,n=1,2…имеет своимпределом числоz0=x0+y0Если для >0n| при n>n вып|zn-z0|; Для того чтобыпосл-ность zn=xn+iynсход необходимои достаточночтобы последовательностьхnсход х0 и посл.ynсход у0. {Док-во}Пусть z0=limnzn>0n | приn>n=|zn-z0|Т.к. |zn-z0|=((xn-x0)+(yn-y0))|zn-z0|>=|xn-x0|и |zn-zo|>=|yn-y0|при n>nвып. нер-во|xn-x0|; |yn-y0|по опр. limnXn=x0а limnyn=y0{}Пусьт данапос-ность компл.чисел {Zn}.Если существуетпредел последовательностиего частичныхсумм в этомслучае этотпредел называютсуммой ряда.В проти вномсл ряд расх.{Т} Для того чтобыряд zn=xn+iynсходился и имелсвоей суммойчисло s=+iНеобх. и достаточночтобы сход ряды(n=1,+)xnи (n=1,+)уnи имели своимисуммами числаи - соответственноSn=(k=1,n)xk+i(k=1,n)ykи если ряд(n=1,+)zn–сх то limn+zn=0{Д} Пусть zn=xn+iynт.к. (n=1,+)zn–сх (n=1,+)xnсх и (n=1,+)уn–сх limn+xn=limn+yn=0limn+zn=limn+xn+ilimn+yn=0чтд. {О} Ряд znназыв абс сходесли сход рядмод znесли сход рядznа ряд |zn|расход то усл.сход. {Т} Абсолютносходящийсяряд сходится.{Д}Пусть (n=1,+)zn–абс сход (n=1,+)|zn|-сх Т.к. |xn|(xn+yn)=|zn|,|yn|по признакусравнения(n=1,+)|xn|-cхи (n=1,+)|yn|-сх (n=1,+)xn–сх и (n=1,+)уn-сх(n=1,+)zn–cх {Т} Для того чтобыряд абс сходился(zn=xn+iyn)необходимои достаточно,чтобы ряды xnи yn– абс сход {Д}Пусть (n=1,+)|xn|и (n=1,+)|уn|сх |zn=(xn+yn)(yn+2|xn||yn|+yn)(|xn|+|yn|)=|xn|+|yn|то по признакусравнения(n=1,+)|zn|- cх-ся. #21{Производнаядиф…} {O}Производнойf(x)в т. х0- называетсяпредел отношениеприращенияф-ции к соответсвующемуприращениюаргумента,когда последние0;f'(x0)=limx0(f(x0+x)-f(x0))/x{O}A=constВырожение Ах–назыв. дифференциаломф-ции fв т. х0 и обозначаютdyили df(x);Приращениехобозначаютdxи называютдефференциаломнезависимойпеременнойт.о. dy=Adx{Т} Если у ф-цииf(x)в (.) x0существутпроизводнаято ф-ция непрерывнав (.) х0 {Док-во} Пустьy=f(x0+x)-f(x0)т.к. limx0y/x=f’(x0)y/x=f’(x0)+(x),где (x)0при х0y=f’(x0)x+(x),где (х)0при х0y=f’(x0)x+(x)xlimx0y=0в f(x)-непрерывнов т.х0 {O}y=f(x)-определённаяв U(x0) в т.х0 называетсядифференцируемойпри х=х0 ислиеё приращениеу=f(x0+x)-f(x0),x0+xU(x0)можно представитьв виде у=Ах+о(х),х0{Т}Для того, чтобыф-ция y=f(x)была дифференцируема,необходимои достаточночтобы она вэтой точкеимела дифференциал.{Док-во} Пустьy=f(x)диффер-ма в х0y=f(x0+x)-f(x0)=Ax+o(x),x0;limx0y/x=limx0(A+o(x)/x)=A;т.о. в т. х0 f’(x0)=limx0y/x=A{Обратно} Пустьф-ция y=f(x)имеет в т. х0f’(x0)=limx0y/xy/x=f’(x0)+(x),limx0(x)=0y=f’(x0)x+(x)xy=f’(x0)x+o(x),x0ф-ция f-дифференцируемав т. х0 №22{Геометрическийсмысл произ}Пусть ф-цияy=f(x)-определенаи непрерывнана (a;b)x0,x0+x(a,b),y0=f(x0),y0+y=f(x0+x)M0(x0,y0)M(x0+x,y0+y){картинка}проведём секущуюMM0её ур-ние имеетвид y=y0+k(x)(x-x0),k(x)=y/x;Всилу непрерывностиy=f(x)в т.(х0) у0при х0|M0M|=(x+y)0при х0В этом случаеговорят чтоMM0{О} Если limx0k(x)=k0то прямая уравнениекоторой y=y0+k(x)(x-x0)получаетсяиз ур-ния k(x)=y/xпри х0называетсянаклоннойкасательнойк графику ф-цииу=f(x)в (.) (х0,у0) Т.к. k(x)=y/x,то k0=limx0k(x)=limx0y/x=f’(x0)уравнениекасательнойимеет видy=y0+f’(x0)(x-x0); f’(x0)=tg;причём y=y0+k0(x-x0)–называетсяпредельнымположением;y=y0+k(x)(x-x0)касательнаяесть предельноеположениесекущей приM0Mт.к. f’(x0)(x-x0)=dyто dy=y-y0где у-текущаяордината касательной.Т.е. дифференциалф-ции в (.) х0 естьприращениеординатыкасательной.{Уравнениенормали.} Нормальюк графику ф-цииy=f(x)в (.) (х0,у0) называетсяпрямая роходящаячерез эту точкуперпендикулярнокасат к графикуэтйф-ции. Его можнонаписать, знаяточку, черезкоторую онапроходит иугловой коэффициент k=-1/f’(x0); y-f(x0)=-1(x-x0)/f’(x0) xи y– точки на нормали #23Пусть ф-цииU(x)и V(x)–дифференцируемыв (.) х тогда d(U+(-)V)=(U+(-)V)’dx=(U’+(-)V’)dx=U’dx+(-)V’dx=dU+(-)dV;2)d(UV)=(UV)’dx=(U’V+V’U)dx=U’Xdx+V’Udx=Vdu+Udv;3)d(U/V)=(U/V)'dx=(U'V+v'U)dx/V=(U'Vdx-V’Udx)/V=(Vdu-Udv)/V №24 {Производнаяот сложнойф-ии.} Dh:Пусть: z=f(y)- дифф. в точкеy0; y=(x) дифф.в точке х0. y0=(x0)тогда сложнаяф-ия z=f((x))-дифф. в точкех0и справедливаформула:z’x=z’yy’x=f’(y)’(x); dz/dx=dz/dydy/dx{Док}Т.к. z=f(y)- дифф. в точкеy0z=f’(y0)y+(y);Т.к. y=(x)-дифф. в точкех0y=’(x0)x+(x);z=f’(y0)’(x0)x+f’(y0)(x)+(y);Т.к y=(x)- дифф. в точкех0а значит непрерывнав этой точке(x0y0).(x)=f’(x0)(x)+(y);limx0/x;limx0(x)/x=limx0[f’(x0)(x)/x+(y)/x]=limx0(y)/x=limx0(y)/ylimx0y/x=’(x0);(f((x)))=(f’(y0)’(x0))x+(x),гдеlimx0(x)/x=0(f((x)))’x=z’x=f’(y0)’(x0) #25{Производнаяот обратнойф-ии.} Пусть y=f(x)в точке х0 имеет:1) f’(x)0,2) на промежутке,содержащемх0, обратнуюф-цию y=f-1(x)=(y)3) y0=f(x0);тогда в (.) х0 существуетf’()0,равная '(y0)=1/f’(x0).{Док-во} Пустьx=(y)и двум различнымзначениям хсоответсвуете различныхзначений у.xx0yy0x0y0y/x=1/y/x; Пусть y=f(x)дифф. в точкеx0тогда limx0y=0x0y0f’(x0)=limx0y/x=limy01/y/x=1/limy0x/y=1/’(y0); f’(x0)0’(y0)=1/f’(x0) #26{Логарифмическаяпроизводная}y=[u(x)]v(x),u(x)>0;lny=v(x)lnu(x);y'/y=v’(x)lnu(x)+v(x)u’(x)/u(x);y’=uv(v’lnu+vu’/u);(lny)’=y’/y-логарифмическаяпроизводнаяф-ции {Производныеосновных элементарныхф-ций} 1) y=Consty=c-c=0limx0y/x(C)’=0; 2) y=sinxy’=cosx3)(cosx)’=-sinx4) (ax)’=axlna5)(arcsinx)’=1/1-x6)(arccosx)’=-1/(1-x)7) (arctgx)’=1/(1+x)8) (arcctgx)’=-1/(1+x)9) (lnx)’=1/x; 10) (x)’=x-1 #27 {Производныеи дифференциалывыс. порядков}{О}Пусть y=f(x);f(n)(x)=(f(n-1)(x))’т.о. если говорятчто у ф-ции y=f(x)в (.) существуетпроизводнаяn-огопорядка то этоозначает, чтов некоторойокресности(.) х0 определенопроизведение n-1–ого порядка,которая самаимеет производнуюв (.) х0 f(n-1)(x0)Эта последняяпроизводнаяи наз. n-огопорядка отф-ции f{}Дифференциалn-огопорядка} {О}dnf(x)=d(dn-1f(x))При взятиидифференциаласледует учитывать,что величинаdxесть произвольноене зависящееот х число котороенадо рассматриватькак постоянныймножитель привзятии производнойdy=d(dy)=d(f’(x)dx)=df’(x)dx=f’’(x)dx;dny=f(n)(x)dxn;f(n)=dny/dxn ) uv(n)= u(n)v+ Cn1u(n-1)v'+Cn2u(n-2)v''+ … +C1nu(n-k)v(k)+ uv(n)=k=0nCkn u(n-k)v(k),(формулаЛейбница), ГдеCnk=n!/k!(n-k)!, 0! = 1, v(0)=v. (u + v)(n)= k=0nCknu(n-k)v(k)-биномНьютона. формулаЛейбница доказываетсяпо индукции. #28{Параметрическоедифференцирование} Пусть x=x(t),y=y(t)определеныв окрестностиt0t=t(x)x0=x(t0)Определенасложная ф-цияФ(х)=у(t(x))которая называетсяпараметрическизаданным уравнением.Предположимчто x(t)и g(t)имеют производныев т. х0 тогда ф-цииФ(х)=у(t(x))также имеютпроизводнуюв (.) х0 и она равнаФ’(x)=y’t(t0)/x’t(t0)Действительнопо правилудифференцированиясложной ф-цииФ’(x0)=y’t(t0)t’x(x0);t’x(x0)=1/x’t(t0) Ф(э(х0)=y’t(t0)/x’t(t0)x’(t0)0 Если ф-ция x(t)и g(t)имеет производнуюx’’(t0)y’’(t0)то Ф’’(x0)равно =(Ф’(x))’x|x=0=(y’t/x’)’x|x=x0=(y’t/x’t|t|t=t0t’x|x=x0=y’’tt(t0)x’t(t0)-y’t(t0)xtt’’(t0)/(x’t(t0)) #29Теорема (Ферма).Еслифункцияf(x)имеет производнуюв точке с и достигаетв этой точкенаибольшее(наим)значение, тоf’(с)=0.Доказательство.Для определенностибудем считать,чтоf(x)имеет в точкеслокальныймаксимум. Поопределениюпроизводнойимеем f’(c)=limx(f(c+x)-f(c))/x;Так как у насf(c)>=f(x)xU(с),то для достаточномалых x>0;(f(c+x)-f(c))/x откудав пределе приx0получим, чтоf’(с)xx)-f(c))/x>=0поэтому, переходяк пределу приx0в этом неравенстве,получаем, чтоf’(с)>=0.Изсоотношений вытекает,что f'(c)=0. #30Теорема (Ролля).Еслифункция y=f(x)непрерывнана [а,b], дифференцируемана (а, b) и f(а)==f(b), тосуществуетточкаc0(а,b),такая,чтоf'(c)=0.Доказательство.Еслиfпостоянна на[а, b],то для всехc(a,b) производнаяf'(c)=0. Будемтеперь считать,чтоfнепостояннана [а, b].Таккакfнепрерывнана [а, b],то существуетточка x1[а, b],в которойfдостигаетмаксимума на[а, b] и существуетточка х2[а,b],в которой fдостигаетминимума на[а, b].Обе точки немогут бытьконцевымиточками отрезка[а,b],потому чтоиначе maxf(x)=minf(x)=f(a)=f(b)иf былабы постояннойна [а,b].Следовательно,одна из точекx1,х2принадлежитк интервалу(а, b).Обозначимее через c.В ней достигаетсялокальныйэкстремум.Кроме того,f'(c)существует,потому что поусловиюf'(x)существуетдля всех х(а,b).Поэтому потеореме Фермаf’(c)=0.{}Теорема Ролляимеет простойгеометрическийсмысл. Есливыполненыусловия теоремы,то на графикефункции y=f(x)существуетточка (c,f(c))касательнаяв которойпараллельнаоси х. #31 Теорема(Лагранжа).Пустьфункция f(x)непрерывнана отрезке [а,b] иимеет производнуюна интервале(а,b).Тогда существуетна интервале(а, b) точка с, длякоторой выполняетсяравенство(f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c) (аtg=k=(f(b)-f(a))/(b-a)существуетт. с в которойкасат. к графикупараллельнастяг прям концовкрив. Рассмотрим вспомогательнуюфунк-циюF(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a)данная функ-цияудовлетворяетвсем условиямтеор Ролля,т.к. она непрерывана [a,b]в силу непрерывнотси f(x)и (x-a)и имеет наинтервале(a,b)F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))/(f-a) x(a,b)и F(a)=0=F(b)по теоремеРолля с(a,b)| F’(c)=0f’(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)=0 Теорема Лагранжа имеетпростой геометрическийсмысл, еслизаписать еев виде(f(b)-f(a))/(b-a)=f’(c)(acb)Леваячасть этогоравенства естьтангенс угланаклона к осиххорды, стягивающейточки (a,f(a))и (b,f(b))графикафункции y=f(x),а правая частьесть тангенсугла наклонакасательнойк графику внекоторойпромежуточнойточке с абсциссойс(а,b). ТеоремаЛагранжа утверждает,что если кривая есть графикнепрерывнойна [а, b] функции,имеющей производнуюна (a, b),то на этой кривойсуществуетточка, соответствующаянекоторойабсциссе с(асb)такая, чтокасательнаяк кривой в этойточке параллельнахорде, стягивающейконцы кривой(а, f(а)) и (b,f(b)) #32Теорема(Коши).Еслифункции f(x)и g(x)непрерывнына [а, b] и дифференцируемына (а, b), и g'(x)0в (а, b), то существуетточкаc(a,b) такая,что( f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c) Доказательство.Отметим, чтоg(b)-g(a)0,таккак в противномслучае, по теоремеРолля нашласьбы точка gтакая, что g'(c)=0,чего быть неможет по условиютеоремы. СоставимвспомогательнуюфункциюF(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(g(x)-g(a))/(g(b)-g(a)) В силу условиятеоремы этафункция Fнепрерывнана [а,b], дифференцируемана (а,b) и F(a)=0,F(b)=0.Применяятеорему Ролля,получим, чтосуществуетточка c(a,b),в которой F'(c)=0Но F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))g’(x)/(g(b)-g(a)) поэтому, подставляявместо хточкуc, получаемутверждениетеоремы. #33(ПравилоЛапиталя) 1)Ф-цииf(x)и g(x)опред на полуинтервале(a,b];2) limxa+0f(x)=limxa+0g(x)=0;3) Существуютпроизв (конечн)f’(x)andg’(x)на (a,b]y’0; 4) Сущесвует(конечн илинет) limxa+0f’(x)/g’(x)=kтогда limxa+0f(x)/g(x)=k{Док-во} доопределимф-ции f(x)и g(x)при x=aналожив f(0)=g(0)=0; Тогда мы получимнепрерывныена отрезке[a;b]ф-ции (т.к. в т.aзнак а fи gсовпадают созначениямипределов, а востальныхточках непрерывностьвытекает изсуществованияпроизводных)По теоремеКоши.f(x)/g(x)=(f(x)-f(a))/(g(x)-g(a)=f’(c)/g’(c);где a #34Ф-ла Тейлора{Т} Путь ф-цияy=f(x)опред и непрна (a,b)и имеет в т.х(a,b)производныедо порядка nвключительноf’(x),f’’(x),…,f(n)(x); f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+f’(x0)(x-x0)/2!+…+f(n)(x0)(x-x0)(n)/n!+o((x-x0)n)-формулаТейлора с остаточнымчленом Пеано.f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+f’(x0)(x-x0)/2!+…+f(n)(x0)(x-x0)(n)/n!+f(n+1)(c)(x-x0)n+1/(n+1)!-формулаТейлора с остаточнымчленом Лагранжа.Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!-ф-лаТейлора в степениn,а ф-ция rn(x)=f(x)-Pn(x)-остаточныйчлен ф-лы Тейлора;При х=0 ф-ла Маклорена.{Д} Найдём многочленPn(x)=A0+A,(x-x0)n;Pn(x0)=f(x0),Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)(x0) (1) Дифференцируяданный многочленполучимPn(x)=A0+a1(x-x0)+…+An(x-x0)n;Pn(x0)=f(x0),Pn’(x0)=f’(x0),…,Pn(n)(xn)=f(n)(x0);Pn’(x)=A1+2A2(x-x0)+…+nAn(x-x0)n-1; P’’n(x)=2A2+32A3(x-x0)+….+n(n-1)An(x-x0)n-2;Pn(n)=n(n-1)(n-2)…An;P(x0)=A0=f(x0);Pn(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)/1!+fn(x0)(x-x0)/2!+…+f(n)(x0)(x-x0)n/n!;Pn(x0)=f(x0),Pn’(x0)-f’(x0),…,Pn(n)(x0)=f(n)(x0); rn(x)=f(x)-Pn(x)Т.к. деференцирrn(n-1)(x)диф-фма в ()x0то limxx0rn(n-1)(x)/(x-x0)=limxx0(rn(n-1)(x))-rnn-1(x0)/(x-x0)=rnn(x0) Раскрывая поправилу Лапиталяполучимlimxx0rn(x)/(x-x0)n=limxx0rn’(x)/n(x-x0)n-1=…=limxx0rn(n-1)(x)/n!(x-x0)=rn(n)(x)/n!=0rn(x)=o((x-x0)n),xx0 #35Разложениеосновных элементарныхф-ций по формулеМаклорена.1)f(x)=ex,f(0)=1,f(k)(x)=ex,f(k)(0)=1,ex=1+x+x/2!+…+xn/n!+o(xn),x0;2)f(x)=sinx,f(0)=0,f’(x)=cosx,f’’(x)=-sinx,f’’’(x)=-cosx,f(IV)(x)=sinx,…;f(k)(x)={(-1)msinx,k=2m{(-1)m-1cosx,k=2m-1m=1,2,…;f(2m-1)(0)=(-1)m-1полагаяn=2mполучимsinx=x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)n-1x2m-1/(2m-1)!+o(x)2m,x0;cosx=1-x/2!+x4/2!-x6/6!+….+(-1)mx2m/(2m)!+o(x2m+1),x0;4)f(x)=ln(1+x)…f(0)=ln1=0,f’(x)=1/(1+x),f’’(x)=-1/(1+x),f’’’(x)=2/(1+x)3…,f(k)(x)=(-1)k-1(k-1)/(1+x)k;f(k)(0)=(-1)k-1(k-1)!Подставим вформулу Тейлораl(1+x)=x-x/2+x3/3+..+(-1)n-1xn/n+o(xn),x0; 5)f(x)=(1+x) f(0)=1,f’(x)=(1+x)-1,f’’(x)=(-1)(1+x)-2;f(k)(x)=(-1)…(-k+1)(1+x)-k;f(k)(0)=(-1)…(-k+1);(1+x)=1+x+(-1)x/2!+…+(-1)…(-n+1)xn/n!+o(xn),x0 #36 Признакмонотонностиф-ции. {Т} Пустьф-ция f(x)дифференцируемана (a,b),для того, чтобыф-ция возрастала(убывала)на этом интерваленеобходимои достаточночтобы во всехточках этогоинтервалавыполнялосьf’(x)>=0(f’(x)0(f’(x)(a,b),x>0,тогда f(x0+x)-f(x0)>=0;x0;(yy/x>=0(y/xf’(x0)=limx0y/x>=0(f’(x0)x(a,b)f’(x)>=0(f’(x)0,f’(c)>=0 (f’(c)f(x2)-f(x1)>=0(f(x2)-f(x1)f(x2)>=f(x1) (f(x2)ф-ция возрастает(убывает) Еслиf’(x)>0x(a,b) (f’(x)(a,b))f’(c)>0(f’(c)f(x2)-f(x1)>0(f(x2)-f(x1) #37{Т}Пусть()x0–являетсяточкой экстремумаф-ции f(x),тогда производнаяв этой точке=0 либо не существует.{Док} Т.к. (.) x0–экстремумU(x0,)| xU(x0,)f(x)>=f(x0)или f(x))по теорме Фермапроизв еслиона сущ то =0 {Т}Достаточноеусловие экстремума:Пусть ф-цияy=f(x)дифференцируемав некоторойокресности(.) x0за исключениембыть можетсамой точких0 в которойона непрерывна.Тогда если припереходе черезточку х0 производнаяф-ции меняетзнак (т.е. >=0| x(x0,x0+]f’(x)0),а x(x0-,x0]f’(x)0)то х0 являетсяэкстремумомпри этом дляx(,x0+);f’(x)>0,aдля x(x0-,x0)f’(x)(x0-,x0)f’(x)(x0,x0+)f’(x)>0то xo-мин.{До} Пусть дляx(x0-,x0)f’(x)>0для x(x0,x0+)f”(x)f=f(x)-f(x0)=f’()(x-x0)между х0 и х Еслих>x0x-x0>0x0 #38Пусть y=f(x)определенаи непрерывнана промежуткеХ ф-ции называетсявыпуклой (вогнутой)если x1,x2Xвыполняетсянер-во f(q1x1+q2x2)=q1f(x1)+q2f(x2)),где q1>0,q2>0,q1+q2=1Геом интопрет:x=q1x1+q2x2(x1 #39 Асимптоты:Пустькривая заданаур-нием y=f(x)где х>A=constи ф-ция f(x)– непрерывнапри всех x>A.Пусь прямаяL:задана ур-нием: y=ax+b.Если расстояниеот точки А (x,f(x))до прямой L стремитьсяк 0 при неограниченномвозрастаниих, то прямаяназываетсяасимптотойкривой гаммысоответсвующейх+ Аналогичнопри х-{}Найдёмрасстояниедо пр L(x)=|f(x)-ax-b|/(1+a)Т.к. прямая L–являетсяасимптотойто limx+(x)=0limx+(f(x)-ax-b)=0limx+(f(x)/x-a-b/x)=0limx+(f(x)/x-a)=0a=limx+f(x)/x; b=limx+(f(x)-ax).Для отысканияасимтоты необходимовычислитьlimx+f(x)/xесли этот limнесущ то асимтотысоответсвующейк стремлениюх+нет. Если этотпредел существуети = а то находимbтогда y=ax+b–являетсяасимтотой.{}Пусть функ-цииy=f(x)определенавозможно водностороннейокрестностит. х0 и если дляэтой ф-циивыполняетсяхотябы одноиз равенствlimxх0-0f(x)=limxх0+0f(x)=то прямая х=х0называетсявертикальнойасимптотой. #40 {O}Ф-цияF(x)называетсяпервообразнойдля ф-ции f(x)на промежуткеХ если эта ф-цияДифференцирунмана этом промежуткеи во всех точкахпромежуткавыполняетсяравенствоF’(x)=f(x){T}Для того чтобыдве дифференцируемыеф-ци F(x)и (x)были первообразнымидля одной и тойже ф-ции f(x)необходимои достаточночтобы они отличалисьна const{Док-во}ПустьF(x)– первообразнаядля f(x)тогда тогдаF’(x)=f(x)(F(x)+c)’=F’(x)=f(x)F(x)+c-первообразнаядля f(x)Если F(x)и (x)– первообразныедля f(x)то рассмотримф-цию (х)=F(x)-(x)для неё’(x)=F’(x)-’(x)=f(x)-f(x)=0Пусть х1,x2Xпотеореме Лагранжа(х2)-(х1)=’(c)(x2-x1)=0т.е (x2)=(x1)(x)=c=const{T}Если F1(x)и F2(x)-двепервообразныедля f(x)на (a,b),то F1(x)-F2(x)=Cна (a,b),где C-некотораяпостоянная. #41{O}Пусть ф-цияf(x)определенона Х мн-во всехпервообразныхф-ции f(x)на пром Х называетсянеопределённыминтеграломи обозначаетсяf(x)dx; Если F(x)-первообразнаядля f(x)то f(x)dx=F(x)+C;{Cв-ва}1)Если ф-ция F(x)дифференцируемана Х, то F’(x)dx=F’(x)+C;2)Если ф-ция f(x)имеет первообразнуюна Х то для всехточек из этогопромежуткаd(f(x)dx)=f(x)dx;3)Пусть f1andf2имеют на промежуткеХ первообразнуютогда ф-цияf1+f2–также имеетна этом промежуткепервообразнуюи выполненоравенство(f1(x)+f2(x))dx=f1(x)dx+f2(x)dx{д} пусть F1(x)-первообразнаядля f1(x),F2(x)-первообразнаядля f2(x),тогда F1(x)+f2(x)-непрерывнадля f1(x)+f2(x),т.к. (F1(x)+F2(x))’=F1’(x)+F2’(x)=f1(x)+f2(x);5)Если F(x)–первооб дляf(x),то f(ax+b)dx=1/aF(ax+b)+C{д} в самом деле[1/aF(ax+b)]’=1/aaF’(ax+b)=f(ax+b); #42Метод заменыпеременой внеоп:Пусть f(x)определенаи непрерывнана соответствующеминтервале их=(t)–непрерывнодифференцируемаф-ция на некотороминтервалеизменения t,тогдаf(x)dx=f((t))’(t)dt+C=f((t))d((t))+C-ф-цияинтегрированиязамены переменной.{Т по частям}Пусть ф-цияU(x),V(x)–дифференцируемана некоторомпромежуткеХ и существуетU(x)V’(x)dxтогда существуетинтегралV(x)U’(x)dx=U(x)V(x)-U(x)V’(x)dx–ф-ла дифференцированияпо частям. {Док-во}Т.к. ф-ция U(x)и V(x)дифференцируемына промежуткеХ то по правилудифференцированияпроизведенияполучим(UV)’=U’V+UV’U’V=(UV)’-UV’;Т.к. существуетитегралл UV’dx по условиюЕсли (UV)’dx=UV+Cто U’Vdx=(UV)’dx-UV’dx=UV-UV’dx+Cпроизводнуюпостояннуюк U’Vdx=UV-UV’dx;Примерexsinxdx=exsinx-excosxdx=|U’(x)=exV’(x)=sinx|=exsinx-(excosx-exsinxdx);exsinxdx=exsinx-excox-exsinxdx;2exsinxdx=exsinx-excosxexsinxdx=(exsinx-excosx)/2 #43Поосновной теоремеалгебры каждыймногочленстепени nимеет n–корней с учётомкратностиPn(z)=A1(z-z1)k1…(z-zs)ks,k1+…+ks=n;Пусть а-коренькр-ти м многочленаPn(z)Pn(z)=(z-a)mQn-m(z)a-коренькр-ти mмногочлена Pn(z);Пусть многочленPn(x)-имеет действительныйкоофицент,тогда Pn(x)Pn(x)xRПо доказанному:Если комплексноечисло а являетсямногочленомPn(x)то аявляется такжекорнем этогомногочленатой же кратности.Т.к. (z-a)(z-a)является многочленомс действительныммногочленомPn(x)=(x-a1)1…(x-ar)r(x-z1)1…(x-zs)bs(x-zs)s=(x-a1)1…(x-ar)r(x+p1x+q1)1…(x+psx+qs)s; Pj/4-qjR,Pj,qjR{Лема} Пусть Pxи Qx–многочленыс действительнымикоофицентами,причём степеньdegP(x) #44Ф-цию видаR(x,m(ax+b)/(cx+d)–называютдробно линейнойиррациональностью.С помощью заменыt=m(ax+b)/(cx+d)рационализируеминтеграл.tm=(ax+b)/(cx+d);x=(b-dtm)/(ctm-a)–рациональнаяф-ция от t;dx=(mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a) R(x,m(ax+b)/(cx+d))dx=R((b-dtm)/(ctm-a),t)(mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)=R1(t)dt.R1(t)-рациональная.{}Вида R(x,ax+bx+c)dx,-квадратичнаяиррациональность где а, b,c–постоянныечисла. Еслитрёхчлен ax+bx+cимеет действительныекорни х1 х2 тоax+bx+c=a(x-x1)(x-x2) и R(x,ax+bx+c)=R(x,(x-x1)(x-x2)a/(x-x1)=R1(x,(x-x2)/(x-x1); поэтому пустьax+bx+cне имеет действиткорней и а>0.Тогда подстановка(Эйлера) t=(ax+bx+c)+xaax+bx+c=t-2xta+ax;x=(t-c)/2t(a)+b–рациональнаяфунк-ция от t Ч.Т.Д ;Если а0 (ax+bx+c)>=0)то можно сделатьзамену ax+bx+c=xt+c{}{} #45Интегрированиевыр R(cosx,sinx);РационализацияR(cosx,sinx)dxдостигаетсяподстановкойt=tg(x/2)(- #46{O}Разбиением[a,b]называетсяпроизвольноемн-во точек xi,I=0,1,…,iудовлетворяющееусловиюx0=a #47{O}Дляф-ции y=f(x)определённойв (.) а положимпо определениюаaf(x)dx=0,а для ф-ции y=f(x)интегрируемойна отр.[a,b]положим поопред baf(x)dx=-abf(x)dx {Св-во1} abdx=b-aдействительноф-ция f(x)1на [a,b]по этому прилюбом разбиениии любом выборе(.) if(i)=1=i=1if(i)xi=i=1ix1=(x1-x0)+(x2-x1)+(x3-x2)+…+(xi-x-1)=xi-x0=b-alim||0=b-a{Св-во2} Пустьf,gинтегрируемына отр [a,b], тогда ф-цияf+gтакже интегрируемана отр[а,b]и имет месторавенство:ab(f(x)+g(x))dx=abf(x)dx+abg(x)dx{док} Пусть ={xi}i=ii=oi[xi-1,xi],тогдаE(f+g)=i=1i(f(i)+g(i)xi=ii=1f(i)xi+ii=1g(i)xi=(f)+(g)Т.к. fи g- интегриремына [a,b]то lim||0(f)=abf(x)dx;lim||0(g)=abg(x)dx; lim||0(f+g)=abf(x)dx+abg(x)dxт.о. ф-ция f+g-интегрируемана отр[a,b]и имеет месторавенствоab(f(x)+g(x))dx=lim||0(f+g)=abf(x)dx+abg(x)dx{Св-во №3}Пустьф-ция y=f(x)интегрируемана отр[a,b]тогда для любогодействительногочисла ф-ция f(x)- интегрируемана отр [a,b] и имеетместо равенство aтbf(x)dx=aтbf(x)dx{Св-во 4} Пустьa #48{Tо среднем} Пусть1) f и gинтегрируемана [a,b];2) mх[a,b];3) На отр.[a,b]ф-ция g(x) Сохраняетзнак. т.е. оналибо не положительна,либо не отрицательнатогда сущ | mMи aтbf(x)g(x)dx=aтbg(x)dx{Док-во} Т.к. наотр[a,b]mf(x)Mто умножив этонер-во на g(x)получим mg(x)f(x)g(x)Mg(x)при g(x)0; mg(x)f(x)g(x)Mg(x)при g(x)0;Т.к. fи gинтегрируемына [a,b]то интегрируянер-во получимmaтbg(x)dxaтbf(x)g(x)dxMaтbg(x)dxпри g(x)0;maтbg(x)dxaтbf(x)g(x)dxMaтbg(x)dxпри g(x)0;Если aтbg(x)dx=0то из полученногонер-ва находим: aтbf(x)g(x)dx=0рав-во aтbf(x)g(x)dx=aтbg(x)dxвыполнено прилюбом ;Пусть aтbg(x)dx0при g(x)0aтbg(x)dx>0,а при g(x)0aтbg(x)dxaтbg(x)dxв обоих случаяхполучим :maтbf(x)g(x)dx/aтbg(x)dxM;Пологая=aтbf(x)g(x)dx/aтbg(x)dxполучаем утверждениетеоремыaтbf(x)g(x)dx=aтbg(x)dx{Следствие} Придополнительномпредположениичто ф-ция y=f(x)непрывна наотр[a,b]существует[a,b]такое, чтоaтbf(x)g(x)dx=f()aтbg(x)dx #49Пусть ф-цияy=f(x)интегрируемана отр[a,b]тогдаона интегрируемана отр[a,x]при axbпо св-ву опредF(x)=aтxf(t)dt,x[a,b]– которая называетсяинтеграломс переменнымверхним пределомот ф-ции F(x){T1}Если ф-ция y=f(x)интегрируемана [a,b],то F(х)непрерывнана [a,b].{Док-во} пустьx[a,b]x+x[a,b]Рассмотримприращение:F=F(x+x)-F(x)=aтx+xf(t)dt-aтxf(t)dt;Т.к. ф-ция y=f(x)интегрируемана [a,b]C>0.|f(x)|С x[a,b]|F|=|xтx+xf(t)dt|С|xтx+xdt|=С|x|limx0F=0Значит А- непрерывнав т. х Ч.Т.Д. {T2}Пусть y=f(x)интегрируемана [a,b]и непрерывнав x0[a,b]F(x)=aтxf(t)dtдифференцируемав (.) х0[a,b] и имеет месторавенствоF’(x0)=f(x0){Док-во} Пустьx0+x[a,b]F=F(x0+x)-F(x0)=aтx+xf(t)dt-aтx0f(t)dt=aтx0f(t)dt+x0тx+xf(t)dt-aтx0f(t)dt=xтx0+xf(t)dt |F/t-f(x0)|=|1/x|,x0тx0+xf(t)dt-f(x0)/x=|1/xx0тx0+x(F(t)-f(x0))dt|1/|x||x0тx0+xf(t)-f(x0)dtТ.к. ф-ция f(x)непрерывнав х0 то для любогоE>0>0|при|x-x0|E|f(x)f(x0)| №50Ф-ла Ньтона-Лейбницаaтbf(x)dx=Ф(b)-Ф(а)=Ф(х)|аb–(1) {T}(основная теоремаинтегральногоисчисления)Пусть ф-цияy=f(x)непрерывнана [a,b]и Ф(х)-какая либоиз её первообразных.(1) {Док-во} F(x)=aтxf(t)dtтогдаф-ции F(x)и Ф(x)первообразныедля f(x)на [a,b]F(x)=Ф(х)+С;aтxf(t)dt=Ф(х)+СЕсли x=aто aтаf(t)dt=00=Ф(а)+СС=-Ф(а)aтxf(t)dt=Ф(х)-Ф(а)Поллагая вравенстве x=bприходим квормуле (1) Ч.Т.Д. #51{заменапеременной}1)f(x)непр на[a,b];2)x=(t)непрерывнавместе со своейпроизводнойна [a,b];3) ()=a,()=b;4)t[;](t)[a,b];Тогда aтbf(x)dx= aтbf((t))’(t)dt{Док-во} по условиютеоремы наотр[,]определенасложная ф-цияf((t));F(x)-первообрf(x)на [a,b]тогда определенаF((t)),которая потеореме умножениясложной ф-цииявляетсяпервообразнойдля f((t))’(t)на [,] По условиютеоремы подъинтегральныхф-ций в равенствеaтbj(x)dx= aтbj((t))’(t)dtнепрерывнына рассматриваемыхотрезках оба интеграласуществуют.По теор Ньютона-Лейбница: aтbf(x)dx=F(b)-F(a);aтbf((t))’(t)dt=F(())-F(())=F(b)-F(a)=aтbf(x)dxЧ.Т.Д. {Т по частям}Пусть u(x)и v(x)непрерывнысо своимипроизводнымина [a,b]тогда aтbu’(x)v(x)dx=u(x)v(x)|ba-aтbu(x)v’(x)dx{Док-во} Произведение u(x)v(x)имеет на [a,b]непрерывнуюпроизводную(u(x)v(x))’=u(x)v’(x)+u’(x)v(x)по этому потеореме Ньютона-Лейбница u(x)v(x)|ab=aтb(u(x)v’(x)+u’(x)v(x))dx=aтbu(x)v’(x)dx+aтbu’(x)v(x)dxоткуда aтbu’(x)v(x)dx=u(x)v(x)|ba-aтbu(x)v’(x)dx #52(Площадьплоской фигуры)Заключим фигуруР в прямоугольниксо сторонамипараллельнымиосм Ох и Оу прямоугобозн R;Разабьём прамRна мн-во мелкихпрямоуг.; ОбозначимА фигуру полученнуюобъединениемпрямоуг , целикомлежащих в плоскостиR,а через В фигуруполученнуюобъедин прямоугольниковлежащих в Р.A-AB-B; Пусть d-наибольшаядиагональпрямоугольниковразбиения, еслипри d0 Aи Bк одному и томужепределу, тофигура Р-назквадрируемой,а её площадьсчитаетсяравной ; Пусть ф-цияf(x)–непрерывнана [a,b]и f(x)0x[a;b]и ограниченаснизу осью Оха по бокам x=a,x=b.Пусть ={xi}i=0i=i-произвольноеразбиение отр[a,b];gi={(x,y),x[xi-1,xi],0ymi=inff(x)}Gi={(x,y),x[xi-1,xi],0yMi=supf(x)};Sg=i=1imixi;SG=i=1iMixi{T}Для того, чтобыф-ция f(x)огр на [a,b]была интегрируемана этом отр.необходимои достаточно: lim||0(Sg-SG)=0{Д} т.к. ф-ция f(x)–нерерывнана отр[a,b] то она интегрируемана этом отр. по критериюитегрируемостиlim||0SG=lim||0Sg=S=aтbf(x)dx{сектор} Секторограниченкривой r=f(),где f()– непрерывнана [,]и f()0[,]{} Пусь -произвольноеразбиениеgi={(,r),[i-1,i],0rmi=inff()}Gi={(,r),[i-1,i],0rMi=supf()}Т.к. ф-ция f(x)-непрерывнана отр[,]то она интегрируемана этом отрезкеПлощадь сектораgi=mi/2и Gi=Mi/2;Sg=1/2i=1imi SG=1/2i=1iMi по критерииитегрируемостиlim||0SG=lim||0Sg=S=1/2тf()dP-квадрируемаи Sp=1/2тf()d. #53Пустьy=f(x)определна на[a,+) и интегрмруемна [a;b]несобственныйинтеграл попромежутку[a,+)под ф-ей f(x)обозначенследующийпредел a+f(x)dx=limb+abf(x)dx.Если указанныйпредел конечен,то интегралa+f(x)dxназываетсясходящимся,если бесконеченили не существует,то расходящийся.{} Пусть с[a,+)abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx{Т} По св-ву пределовa+f(x)dxcущкогда сущ limb+abf(x)dx {Док} Существованиеинтеграла(2) эквивалентносуществованиюпредела,что в свою очередьэквивалентновыполнениюусловия Коши:для любого E> 0 существуетb0где а,такое, чтовыполняетсянеравенство|F(b’’)-F(b’)для всех b'и b",удовлетворяющих неравенствамb0 b'b’b’’f(x)dxтеорема доказана.{O}Несобственныминтеграломпо промежутку(a;b]от ф-ции f(x)называетсяследующийпредел abf(x)dx=lima+0abf(x)dx.Если указанныйпредел конеченто называетсясход, если бесконеченили не сущ торасх. {О} aсf(x)dxи сbf(x)dxпри a #55aтbf(x)dx-называетсяабс. сход еслисходится aтb|f(x)|dxЕсли aтbf(x)dx-сх, а aтb|f(x)|dx– расх то aтbf(x)dx-называетсяусловно сход.{Т}Если интегралабсолютносходится тоон и простосходится. Всамом деле, изсходимостиинтегралаaтb|f(x)|dxследует, чтодля любого E>0на интервале(а, b)найдется точкаb0такая, что еслиb0b' b"b’тb’’|f(x)|dx|b’тb’’f(x)dx т. е. для интегралаaтbf(x)dx выполняетсяусловие Коши.Так как |aтb’f(x)dx|aтb’|f(x)|dxто после переходак пределу приb'bдля абсолютносходящегосяинтеграла aтbf(x)dxполучим |aтbf(x)dx|aтb|f(x)|dx{Глав зн не соб}Пустьф-ция y=f(x)определенана всей числовойпрямой и интегрируемана любом конечномотрезке. Главнымзначениемнесобственного-т+f(x)dxназываетсяv.p.т+f(x)dx=lim+-т+f(x)dx;Главное значсовпадает созначением т+по этому гл.знач имеетсмысл рассматриватьнесобственныйинтеграл. Пустьф-ции f(x)интегрируемана отр. [a,c-E],[c+E,b],E>0 Гл.зн.несоб.назv.p.aтbf(x)dx=limE0(aтC-Ef(x)dx+C+Eтbf(x)dx) #56{Интегральныйпризнак сходимостирядов} Пустьf(x)– непрерывна,возрастаетна [1;+)Тогда (n=1,+)f(n)и 1+f(x)dxсходятся илирасходятсяодновременно{Док-во} Т.к. ф-циянепрерывнана полуинтервале[1,+)то она интегрируемана люблм отрезке[1,][1,+)т.к. ф-ция невозрастаетна [1,+)то для к=1,2,3…f(k)>=f(x)>=f(k+1),при kkk+1f(x)dx>=kk+1f(k+1)dxf(k)>=kk+1f(x)dx>=f(k+1)(k=1,n)f(k){=Sn}>=(k=1,n){=1n+1f(x)dx}kk+1f(x)dx>=(k=1,n)f(k+1){=Sn+1-f(1);Sn>=1n+1f(x)dx>=Sn+1-f(1); Если 1+f(x)dxсх M>0| [1;+) 1f(x)dxSn+1-f(1)1n+1f(x)dxSn+1n;След-но частичныесуммы рядаограниченысверху ряд сходится;Если ряд сходитсято сущ М, то длялюбого n=1,2,3… все частичныесуммы ограниченысверху 1n+1f(x)dxnТ.к. для любого[1,+)nN| 1nf(x)dx1f(x)dx+n+1f(x)dx=1n+1f(x)dxf(x)dx ограниченыв совокупности,значит 1+f(x)dx-сход.ЧТД 1. Понятиеn-мерного арифметическогопространстваRn.Метрика. Метрическиепространства.Открытые изамкнутыемножества вRn. 2. Общееопределениефункции. Сложная,неявно и параметрическизаданная функции,обратнаяфункция. 3. Пределчисловойпоследовательности.Теорема оединственностипредела числовойпоследовательности.Ограниченностьсходящейсяпоследовательности. 4. Бесконечномалые и бесконечнобольшие последовательностии их свойства.Свойства пределов,связанные сарифметическимиоперацияминад последовательностями.Переход кпределу внеравенствах. 5. Понятиепредела функции.Односторонниепределы. Теоремао единственностипреЯсла. Теоремаоб ограниченности(на некоторойокрестноститочки а} функцииf(х), имеющейконечный пределпри х®а. Бесконечномалые и бесконечнобольшие функциии их свойства. 6. Связьфункции с еепределом.Арифметическиеоперации надпределамифункций. Предельныйпереход внеравенствах. 7. Теоремао пределе сложнойфункции. 8. Сравнениефункций. Эквивалентныефункции. Сравнениебесконечномалых функций. 9. Непрерывностьфункций в точкеке.Односторонняянепрерывность.Точки разрывафункции ихклассификация.Теорема о сохранении-знака непрерырывнойфункции. 10. Свойстванепрерывныхфункций напромежутках.Равномернаянепрерывность. 11. Теоремао непрерывностисложной функции. 12. Теоремао непрерывностиобратной функции. 13. Непрерывностьэлементарныхфункций. 14. Понятиечислового ряда.частичныесуммы, определениесходимостиряда. КритерийКоши сходимостиряда. Необходимоеусловие сходимостиряда. Исследованиена сходимостьряда 15. Свойствасходящихсярядов. 16. Рядыс неотрицательнымичленами. Признаксравнения ипредельныйпризнак сравнения. 17. ПризнакиДаламбера иКоши. 18. Знакопеременныечисловые рядыТеорема Лейбницадля знакочередующегосяряда. Оценкаостатка ряда. 19. Абсолютнаяи условнаясходимость.Теорема о связимежду сходимостьюрядов и Свойстваабсолютносходящихсярядов. ПризнакиДаламбера иКоши для знакопеременныхрядов. 20. Рядыс комплекснымичленами. 21. Производнаяи дифференциалфункции. Необходимоеусловие существованияпроизводной.Необходимоеи достаточноеусловие дифференцируемостифункции в точке. 22. Геометрическийсмысл производнойи дифференциала.Уравнениекасательнойи нормали кграфику функции. 23. Правилавычисленияпроизводных,связанные сарифметическимидействияминад функциями. 24. Производнаясложной функции. 25. Производнаяобратной функции. 26. Логарифмическаяпроизводная.Производныеосновных элементарныхфункций. 27. Производыеи дифференциалывысших порядков.Формула Лейбница. 28. Параметрическоедифференцирование. 29. ТеоремаФерма. Геометрическаяннтерпритадия. 30. ТеоремаРолля. Геометрическаяинтерпрнтация. 31. ТеоремаЛагранжа.Геометрическаяинтерпретация. 32.Теорема Коши. 33.Правило Лопиталя. 34.Формула Тейлорас остаточнымчленом в формеЛагранжа иПеано. 35.Разложениеосновных элементарныхфункции поформуле Маклорена. 36.Признак монотонностифункции. 37.Необходимоеусловие экстремумафункции. Достагочноеусловие экстремумафункции. 38.Выпуклостьи точки перегиба. 39.Асимптоты. 40.Первообразнаяи ее свойства. 41.Неопределенныйинтеграл и егосвойства. 42.Метод заменыпеременнойв неопределенноминтеграле.Интегрированиепо частям. 43.Основные свойстваиз алгебрымногочленов.Интегрированиерациональныхдробей. 44.Интегрированиеиррациональностей. 45.Интегрированиетригонометрическихвыражений. 46.Определенныйинтеграл.Ограниченностьинтегрируемойфункции 47.Свойстваопределенногоинтеграла, 48.Теорема о среднем. 49.Определенныйинтеграл спеременнымверхним пределом.Его непрерывностьи дифференцируемость. 50.Формула Ньютона- Лейбница 51.Формулы заменыпеременнойв определенноминтеграле иинтегрированиепо частям. 52.Площадь плоскойфигуры. 53.Несобственныеинтефалы. Основныеопределенияи свойства. 54.Несобственныеинтегралы отнеотрицательныхфункций. Признаксравнения ипредельныйпризнак сравнения. 55.Абсолютнаяи условнаясходимость.Главное значениенесобственногоинтеграла. 56.Интегральныйпризнак сходимостиряда.2kрядсход.