Шпора 2 по мат анализу (стр. 4 из 6)

Заменяя здесь х на b, приходим к формуле Ньютона-Лейбница:

Иногда ее правую часть записывают короче с помощью двойной подстановки:

27.Замена переменных в определенном интеграле.

Теорема: при замене переменной х на t по формуле x=φ(t) равенство (1)

Справедливо при условиях:

1. φ(α) = а, φ(β) = b,

2. φ'(t) непрерывна на отрезке [α,β],

3 f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а f[φ(t)] определена непрерывна на отрезке [α,β].

Доказательство: при наших предположениях левая и правая части равенства (1) существуют и существуют первообразные подынтегральные функции. Пусть ∫f(x)dx = F(x)+C. Тогда, как легко проверить дифференцированием обеих частей, справедливо равенство ∫f[φ(t)]φ'(t)dt = F[φ(t)]+C правая часть дифференцируется как сложная функция). Применяем формулу Ньютона-Лейбница

Получаем

(по условию 1)

правые части этих двух равенств оказываются одинаковыми, следовательно, можно приравнять левые части. Приравнивая их, приходим к равенству (1). Ч.т.д.

28.Формула интегрирования по частям определенного интеграла.

Пусть u и v - непрерывно дифференцируемые функции. Проинтегрируем равенство d(uv)=udv+vdu в пределах от a до b.

В левой части применим формулу Ньютона-Лейбница:

Получим:

29.Приложение определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции.

Площадь s криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=Ах²+Вх+С, проходящей через точки М₁ (-h; y₁), M₂ (0, y₂), M₃ (h, y₃) (рис. 2) выражается формулой

(2)

Доказательство. Подставляя в уравнение у=Ах²+Вх+С координаты точек М₁, М₂, М₃, получаем у₁=Аh²-Вh+С; у₂=С; у₃=Аh²+Вh+С, откуда следует, что

2Аh²+2С=у₁+у₃; С=у₂ (3)

Учитывая соотношение (3), имеем

Рассмотрим снова криволинейную трапецию, ограниченную произвольной кривой y=f(x). Разобьем отрезок [a, b] на 2p равных отрезков точками a=x₀<x₁<x₂<...<x_2k<x_2k+1<x_2k+2<...<x_2n-1<x_2n=b, а кривую y=f(x) с помощью прямых x=x_k на 2n соответствующих частей точками М₀ , М₁ , М₂ , ..., М_2k , М_2k+1 , М_2k+2, ..., М_2n-2 , М_2n-1 , М_2n (рис. 3).

Через каждую тройку точек

М₀ М₁ М₂ , ..., М_2k М_2k+1 М_2k+2, ..., М_2n-2 М_2n-1 М_2n

проведем кривую вида у=Ах²+Вх+С (см. лемму 1.1). В результате получим n криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами или прямыми (эти трапеции заштрихованы на рис. 3). Так как площадь частичной криволинейной трапеции, соответствующей отрезку [x_2k, x_2k+2], приближенно равна площади соответствующей “параболической” трапеции, то по формуле (2) имеем [в данном случае h=(b-a)/(2n)]

где y_k=f(x_k), k=0, 1, 2, ...,2n. Складывая почленно эти приближенные равенства, получаем приближенную формулу

или в развернутом виде

Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона.

30.Приближенное вычисление определенного интеграла. Формула трапеций.

Пусть требуется вычислить интеграл

, где f(x) - непрерывная функция. Для простоты рассуждений ограничимся случаем, когда f(x)³ 0. Разобьем отрезок [a, b] на n отрезков точками a=x₀<x₁<x₂<...<x_k-1<x_k<...<x_n=b и с помощью прямых х=х_k построим n прямолинейных трапеций (эти трапеции заштрихованы на рис. 1). Сумма площадей трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции, т.е.

Где f(x_k-1) и f(x_k) - соответственно основания трапеций; x_k - x_k-1 = (b-a)/n - их высоты.

Таким образом, получена приближенная формула

которая и называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше n.

31.Несобственные интегралы с бесконечными пределами. +++32.Несобственные интегралы второго ряда.

Несобственными интегралами называются: 1) интегралы с бесконечными пределами; 2) интегралы от неограниченных функций.
Несобственный интеграл от функции f(x) в пределах от a до +Ґ определяется равенством

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует, - расходящимся.
Аналогично

и

Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка [a,b] и непрерывна при a <= x < с и с < x < b, то по определению, полагают

33.Числовые ряды. Свойства сходящихся рядов.

Рассмотрим числовую последовательность

(a_n)=a₁,a₂,...,a_n,…

Составим из нее новую последовательность (S_n) следующим образом:

S₁=а₁,

S₂=a₁+a₂

S₃=a₁+a₂+a₃,,

S_n=a₁+a₂+…+а_n=

S_n+1=S_n+a_n+1

Выражение

a₁+a₂+…+а_n+a_n+1+… (1)

обозначается символом

и называется числовым рядом.

Числа а₁, а₂,…,а_n,_… называются членами ряда, а число а_n- n – м членом или общим членом ряда.

Простейшие свойства числовых рядов

1о. Сходимость ряда не нарушится, если произвольным образом изменить (переставить, добавить или отбросить) конечное число членов ряда.

2о. Сходящийся ряд можно почленно умножить на любой множитель

, т.е. если ряд имеет сумму S, то ряд

3о. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т.е. если даны ряды

то ряд

34.Необходимые условия сходимости ряда.

Теорема: Пусть числовой ряд

u₁+u₂+...+u_n+... , (1)

сходится, а S - его сумма. Тогда при неограниченном возрастании числа n членов ряда его общий член u_n стремится к нулю
Доказательство. Из условия теоремы имеем

Так как

S_n - S_n-1 = u_n

то

Следует отметить, что этот признак является лишь необходимым, но не достаточным признаком сходимости ряда, так как можно указать ряд, для которого выполняется равенство

,

а он, однако не является сходящимся.
Так гармонический ряд

,

для которого

,

расходится.
Но согласно доказанному необходимому признаку сходимости ряда, если

,

то ряд (1) расходится.
В самом деле, если бы он сходился, то