Шпоры по вышке (стр. 3 из 6)
Матрица линейного преобразования.
Пусть F – линейное преобразование линейного пространства, переводящая базис
в базис 
. Т.к. - базис, то верны соотношения 
А – является матрицей линейного преобразования или линейным оператором пространства.
Связь между координатами образа и прообраза.
В базисе
вектор 
имеет координаты 
Линейное преобразование – матрица линейного оператора.
Каждому линейному преобразованию соответствует 1 матрица линейного оператора и наоборот.
Если имеется квадратная матрица
задано линейное преобразование пространства.17. Связь между координатами одного и того же линейного оператора в разных базисах.
Т – матрица перехода от e к e’ , то:
Если линейный оператор имеет в базисе невырожденную матрицу Т, матрица этого оператора в любом другом базисе не будет вырождена.
18. Характеристическое уравнение линейного оператора. Собственные векторы линейного оператора и их свойства.
Если в базисе
линейный оператор имеет матрицу А, а в базисе ( 
) оператор имеет матрицу В 
λ – произвольное число ≠0
Е – единичная матрица
Если характеристически многочлен линейного оператора прировнять к 0, получим характеристическое уравнение линейного оператора.Собственные векторы линейного оператора
Ненулевой вектор
называется собственным вектором линейного оператора, если 
оператор к , получим этот же , умноженный на некоторое к.к – собственное число оператора А=
Каждый собственный вектор имеет единственное собственное число.
19. Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми.
Векторное уравнение прямой.
Положение прямой можно задать по точке и направляющему вектору.
Пусть прямая Lзадана ее точкой M0(x0;y0;z0) и направляющим вектором S(m;n;p). Возьмем на прямой Lточку M(x;y;z). Обозначим радиус-векторы точек Mи M0 через rи r0.
Тогда уравнение прямой запишется в виде:
где t – скалярный множитель (параметр).
Параметрические уравнения прямой.
Канонические уравнения прямой.
S(m;n;p) – направляющий вектор прямой L. M0(x0;y0;z0) – точка на прямой.
соединяет M0с произвольной точкой М. 
Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.
M1(x1;y1;z1) M2(x2;y2;z2)
В качестве направляющего вектора можно задать вектор
Следовательно:
, тогда 
Общее уравнение прямой.
Уравнение прямой как линию пересечения двух плоскостей. Рассмотрим:
Т.к. прямая перпендикулярна векторам n1 и n2 то направляющий вектор запишется как векторное произведение:
Угол между прямыми.
; 
20. Плоскость в пространстве. Виды уравнения плоскостей. Угол между плоскостями.
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно данному вектору.
Пусть плоскость задана точкой M0(x0;y0;z0) и вектором
, перпендикулярной этой плоскости.Возьмем произвольную точку M(x;y;z) и составим вектор
. При любом расположении точки М на плоскости Q 
, поэтому 
. 
Общее уравнение плоскости.
·Если D=0, то данному уравнению удовлетворяет точка О (0;0;0)
·Если С=0 то вектор
. Следовательно, плоскость параллельна оси oz, если В=0 – то oy, если А=0 – то ox.·Если C=D=0, то плоскость проходит через О (0;0;0), параллельно оси oz. Аналогично при A=D=0 и B=D=0.
·Если А=В=0 то уравнение примет вид
плоскость параллельна плоскости Oxy.·Если A=B=D=0, то уравнение имеет вид
. Это уравнение плоскости Oxy.Уравнение плоскости, проходящей через три точки
К (х1;у1) М (х2;у2) N (x3;y3)
Возьмем на плоскости точку P (x;y;z).
Составим векторы:
Эти векторы лежат в одной плоскости, следовательно они компланарны:
Уравнение плоскости в отрезках.
Пусть плоскость отсекает на осях отрезки, т.е. проходит через точки:
; 
; 