Смекни!
smekni.com

Шпоры по вышке (стр. 3 из 6)

Матрица линейного преобразования.

Пусть F – линейное преобразование линейного пространства, переводящая базис

в базис
. Т.к.
- базис, то верны соотношения

А – является матрицей линейного преобразования или линейным оператором пространства.

Связь между координатами образа и прообраза.

В базисе

вектор
имеет координаты

Линейное преобразование – матрица линейного оператора.

Каждому линейному преобразованию соответствует 1 матрица линейного оператора и наоборот.

Если имеется квадратная матрица

задано линейное преобразование пространства.

17. Связь между координатами одного и того же линейного оператора в разных базисах.

Т – матрица перехода от e к e’ , то:

Если линейный оператор имеет в базисе невырожденную матрицу Т, матрица этого оператора в любом другом базисе не будет вырождена.

18. Характеристическое уравнение линейного оператора. Собственные векторы линейного оператора и их свойства.

Если в базисе

линейный оператор имеет матрицу А, а в базисе (
) оператор имеет матрицу В

λ – произвольное число ≠0

Е – единичная матрица

Если характеристически многочлен линейного оператора прировнять к 0, получим характеристическое уравнение линейного оператора.

Собственные векторы линейного оператора

Ненулевой вектор

называется собственным вектором линейного оператора, если
оператор к
, получим этот же
, умноженный на некоторое к.

к – собственное число оператора А=

Каждый собственный вектор имеет единственное собственное число.

19. Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми.

Векторное уравнение прямой.

Положение прямой можно задать по точке и направляющему вектору.

Пусть прямая Lзадана ее точкой M0(x0;y0;z0) и направляющим вектором S(m;n;p). Возьмем на прямой Lточку M(x;y;z). Обозначим радиус-векторы точек Mи M0 через rи r0.

Тогда уравнение прямой запишется в виде:

где t – скалярный множитель (параметр).

Параметрические уравнения прямой.

Канонические уравнения прямой.

S(m;n;p) – направляющий вектор прямой L. M0(x0;y0;z0) – точка на прямой.

соединяет M0с произвольной точкой М.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

M1(x1;y1;z1) M2(x2;y2;z2)

В качестве направляющего вектора можно задать вектор

Следовательно:

, тогда

Общее уравнение прямой.

Уравнение прямой как линию пересечения двух плоскостей. Рассмотрим:

Т.к. прямая перпендикулярна векторам n1 и n2 то направляющий вектор запишется как векторное произведение:

Угол между прямыми.

;

20. Плоскость в пространстве. Виды уравнения плоскостей. Угол между плоскостями.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно данному вектору.

Пусть плоскость задана точкой M0(x0;y0;z0) и вектором

, перпендикулярной этой плоскости.

Возьмем произвольную точку M(x;y;z) и составим вектор

. При любом расположении точки М на плоскости Q
, поэтому
.

Общее уравнение плоскости.

·Если D=0, то данному уравнению удовлетворяет точка О (0;0;0)

·Если С=0 то вектор

. Следовательно, плоскость параллельна оси oz, если В=0 – то oy, если А=0 – то ox.

·Если C=D=0, то плоскость проходит через О (0;0;0), параллельно оси oz. Аналогично при A=D=0 и B=D=0.

·Если А=В=0 то уравнение примет вид

плоскость параллельна плоскости Oxy.

·Если A=B=D=0, то уравнение имеет вид

. Это уравнение плоскости Oxy.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

К (х11) М (х22) N (x3;y3)

Возьмем на плоскости точку P (x;y;z).

Составим векторы:

Эти векторы лежат в одной плоскости, следовательно они компланарны:

Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть плоскость отсекает на осях отрезки, т.е. проходит через точки:

;
;