Шпоры по математическому анализу (стр. 3 из 8)
Чтд.
22. Классы интегрируемых функций. Функция Дирихле.
интегрируемость не является свойством, присущим всем функциям. В этом убеждает следующий пример. Рассмотрим функцию f(x), называемой функцией Дирихле:
Сделаем произвольное разбиение R отрезка [a,b]. На любом частичном отрезке [xi, xi+1] найдетсяи как рациональная точка xi.Так, и иррациональная точка hi.Составим две интегральные суммы:sRи
Пусть
 |
При lR →0 предел интегральных сумм вида :sRравен b-a, в то время, как для
| |
равен нулю. Итак, для интегральных сумм разного вида пределы получаются различные, зависящие от выбора точек на отрезках [xi, xi+1]. Это означает, что функция Дирихле не интегрируемая.
З класса функции:
1. Функции непрерывные на отрезке [a,b].
2. Функции имеющие не более конечного числа разрывов 1-го рода на отрезке [a,b]. (их называют кусочно-непрерывными)
3. Функции монотонные на отрезке [a,b] (у функции этого класса число разрывов может быть бесконечным).
23. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о его непрерывности.
Теорма: Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то функция
непрерывна на этом отрезке.
Доказательство: Дадим числу х приращение ∆х так, чтобы х+∆хÎ[a,b]. Для наглядности изобразим на числовой оси один из возможных вариантов расположения точек:
 |
 |
a x0 x х+∆х b
 |
 |
Получим:
По теореме (Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке, то интегрируема и абсолютная величина |f(x)|, причем
 |
…(на этом теорема закончилась, но неравенство относится к ней.) и следствию из теоремы (Если на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема и удовлетворяет неравенству m£f(x)£M. То выполняются неравенства:
(на этом следствие из теоремы закончилось)
получаем:
Отсюда следует, что при ∆х→0 будет ∆F→0. Это доказывает непрерывность функции F(x). Отметим, что для подынтегральной функции f(x) точка х может быть точкой разрыва.
24. Теорема о произвольной от интеграла с переменным верхним пределом.
Теорема: Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке (a,b), то производная от интеграла
По переменному верхнему пределу x существует и равна подынтегральной функции с заменой переменной интегрирования верхним пределом х, т.е. F'(x)=f(x)
Доказательство: Дадим аргументу х приращение
∆х так, чтобы х+∆хÎ(a,b). Для приращения ∆F функции F(x) воспользуемся формулой
| |
 |
и применим теорему о среднем значении ( Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то найдется такая точка ξÎ (a,b), что справедливо равенство:
Теорема верна и при b<a.) получим:
Число x заключено между числами х и х+∆х и при стремлении ∆х к нулю ξ стремится к х.
Перейдем к вычислению производной F'(x).
Последнее равенство основано на непрерывности функции f(x) в любой точке х промежутка (a,b).
Следствие: Всякая функция f(x), непрерывная на промежутке (a,b), имеет первообразную на этом промежутке.
| |
Действительно, первообразной для такой функции является функция
Предыдущая теорема устанавливает связь между неопределенным и определенным интегралом. Можно написать:
25. Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть F(x) -произвольная первообразная для функции f(x), заданной на промежутке [a,b]. Так как две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое, то верно равенство (1):
( в качестве числа х0 взято число а).
 |
В этом тождестве положим х=а и получим ,
Откуда С = -F(a). Формула (1) примет вид:
Заменяя здесь хна b, приходим к формуле Ньютона-Лейбница:
Иногда ее правую часть записывают короче с помощью двойной подстановки:
26. Интегрирование по частям в определнном интеграле.
Пусть u и v - непрерывно дифференцируемые функции. Проинтегрируем равенство d(uv)=udv+vdu в пределах от a до b.
| |
В левой части применим формулу Ньютона-Лейбница:
 |
Получим:
Получим формулу интегрирования по частям:
27. Замена переменной в определенном интеграле.
Теорема: при замене переменной х на t по формуле x=φ(t)равенство (1)
Справедливо при условиях:
1. φ(α) = а, φ(β) = b,
2. φ'(t) непрерывна на отрезке [α,β],
3 f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а f[φ(t)] определена непрерывна на отрезке [α,β].
 |
Доказательство: при наших предположениях левая и правая части равенства (1) существуют и существуют первообразные подынтегральные функции. Пусть ∫f(x)dx = F(x)+C. Тогда, как легко проверить дифференцированием обеих частей, справедливо равенство ∫f[φ(t)]φ'(t)dt = F[φ(t)]+C правая часть дифференцируется как сложная функция). Применяем формулу Ньютона-Лейбница
Получаем
(по условию 1)
правые части этих двух равенств оказываются одинаковыми, следовательно, можно приравнять левые части. Приравнивая их, приходим к равенству (1). Ч.т.д.
30. Интегралы с бесконечными пределами.
Определение определенного интеграла по конечному промежутку [a,b] неприменимо к случаю бесконечного промежутка, например [a, +∞). Дело в том, что нельзя промежуток [a, +∞) разделить на конечное число частичных промежутков [xi, xi+1] конечной длины, чледовательно, нельзя составить сумму интегральную сумму. Понятие интеграла с бесконечным пределом вводится на основе понятий опредленного интеграла и понятия предела.
Определение: Предположим, что функция y=f(x) определена в промежутке [a, +∞) и интегрируема в любом промежутке [a,b] (b>a). Если существует конечный предел
 |  |
То это предел называют несобственным интегралом от функции f(x) на промежутке от а до +∞ и обозначают
Аналогично определяется интеграл от -∞ до b:
Интеграл от -∞ до +∞ можно определить так:
Где с - произвольное число.
Когда несобственный интеграл существует, говорят, что он существует или что он сходится. В противном случае несобственный интеграл расходится.
40. Необходимые условия абсолютного экстремума функции двух переменных.