Шпоры по математическому анализу (стр. 7 из 8)

В) 2 или 3 плоскости ||

При этом когда 2 || , третья либо их пересекает, либо совпадает с одной из нихÞ система противоречива.

Г) плоскости попарно пересекаются. Линии пересечения || между собой (их 3)Þ система противоречива.

*** Если в однородной системе все миноры 2-го порядка =0, решение зависит от 2х параметров., или хотябы один отличен от нуля, то решение зависит от одного пораметра.

7. Сложение векторов, умножение вектора на скаляр. Проекция вектора на ось. Коллиниарность и комплиментарность векторов.

Вектором называется величина, которая характеризуется не только численным значением, но и направлением в пространстве. Модулем |ā| или длиной вектора а наз его числ. зн-ие. Если |ā|=0, вектор называют нулевым..

Проекция вектора на ось.

Пусть в пространстве даны вектор ĀВ и ось Ох. Опустим ^ на ось Ох и з точек А и В, т.е. спроектируем эти точки на ось Ох. Обозначим проекции через А' и В' Вектор A'B' называют компонентой вектора АВ по оси Ох. Проекцией вектора АВ на ось Ох называется длинна компоненты, взятая со знаком "+", если направление оси и компоненты совпадают, и со знаком "-" если направления противоположны.

Сложение и вычитание векторов

Сумма векторов ā и в определяется с помощью параллелограмма. Они выпускаются из одной точки и достраивается параллелограмм. Диагональ этого параллелограмма есть сумма векторов ā и в.

Сумма векторов так же определяется по правилу многоугольника - к концу первого вектораподставляют начало другого и соединяется начало первого и конец второго.

Разность векторов

с=а-в в+с=а а с

в

Умножение вектора на скаляр.

λ-число (скаляр)

ā - вектор λā=с

Произведением λā называется вектор, длинна которого равна |ā|·|λ|, а направление такое же, как и у вектора ā если λ>0, и противоположное, если λ<0.

Векторы называются коллиниарными, если они лежат на совпадающих прямых.

Если векторы ā и в коллиниарны (ā¹0; в¹0), то они пропорциональны, т.е. существует такое положительное или отрицательное число l, что а=lв.

Три вектора называются компланарными, если их можно уложить на одну плоскость.

9. Скалярное произведение и его свойства.

Скалярным произведением векторов а и в называют произведение их длин и косинуса угла между ними.

(а,b)=|a|×|b|×cos(a,b)

Свойства:

1. Коммуникативность. (а,в)=(в,а)

2. Дистрибутивность. (а+в)×(с)=(а×с)+(в×с)

3. (lа,в)=(а,lв) - скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения.

4. Скалярное произведение (а,в) равно 0 тогда и только тогда, когда они ^ или один из них=0

Док-во: cos 90 = 0

8. Длина и направляющие косинусы вектора, заданного координатами. Орты. Радиус-вектор точки.

Векторы единичной длины, направленные по осям координат называют ортами и обозначают i (по оси Ох) j (по оси Оу). В 3х-мерном пространстве берется еще k (по оси z) Проекции а_х и а_у вектора а на оси х и у называют координатами вектора а. Углы вектора а с осями координат - a и b, тогда а_х =|a|×cosa - направляющие

а_у =|a|×cosb косинусы

a,b - задают направление.

Величины cosa и cosb называются направляющимикосинусами вектора а. Зная координаты а_х и а_у , можно вычислить модуль и направляющие косинусы: cosa= а_х¸|a|, cosb= а_у¸|a|

Очевидно, что |a| = Öа_х² +а_у²

Вектор ОМ, выходящий из (0;0) и оканчивающийся в т. М(х,у) называют радиус-вектором т.М. Координаты х и у т.М. так же являются координатами вектора r=ОМ. Поэтому r=хi+уj. Принято так же писать r ={х,у}

Длина вектора в 3х-мерном пространстве измеряется по формуле

|a|= Ö а_х² +а_у² +а_z²

Векторное произведение и его свойства.

Результатом векторного умножения вектров является вектор. Векторное произведение векторов а и в обозначается так: [а,в] или а´в.

Векторным произведением векторов а и в называется вектор с= [а,в], для кот.:

1. длина численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. |c|= |a|×|b|×sin(ab)

2. прямая, несущая вектор, ^ каждому из перемножаемых векторов,т.е. плоскости указанного параллелограмма

3. направление на этой прямой выбирается так, что бы при взгляде с конца вектора с поворот первого множителя а на наименьший угол до совмещения со вторым множителем в производился бы против часовой стрелки ( такая тройка векторов а,в,с, называется правой)

Если а и в коллиниарны, то с=0 и вопрос о направлении с отпалдает.

Свойства:

1. в´а = - а´в, т.е. векторное умножение некоммуникативно

2. [lа,в]=[а,lв]=l[а,в]

3. (а+в)´с=а´с+с´в, т.е. векторное умножение дистрибутивно

i j k а_уа_z а_х а_z а_х а_у

а´в= а_ха_уа_z =i в_ув_z - j в_хв_z +k в_хв_у

в_хв_ув_z

11. Смешанное произведение векторов. Его геометрический смысл.

Под смешанным произведением (векторно-скалярным) векторов а,в,с, понимают число авс=[а,в]×с

Выясним геометрический смысл смешанного произведения. Пусть S=[а,в]

|S|- площадь основания паралл-да

H -высота паралл-да

H= |c| ×|cosj|, где j - острый или тупой угол между векторами S и С.

авс=(s,c)=|s|×|c|×j= |s|×(±H)=±V - объем параллелепипеда.

Знак "+" получается, если тройка а,в,с правая и "-", если леваяÞАбсолютная величина смешанного произведения авс численно равна объему парал-да, построенного на векторах а,в,с.

Исходя из геом. Смысла, получаем необходимое и дополнительное условие компланарности векторов а,в,с, а именно авс=0

Координатная формула величины см. произведения векторов.

а={а_ха_уа_z}, в={в_хв_ув_z}, с={с_хс_ус_z}:

а_ха_уа_z

авс= в_хв_ув_z

с_хс_ус_z

12.Формулы расстояния между двумя точками и длина отрезка в заданном отношении.

Расстояние между точками М₁ и М₂вычисляется как модуль |М₁ М₂| вектора М₁ М_2.

М₁ М₂=| М₁ М₂|=√(х₂ -х₁)² + (у₂ -у₁)²

Нахождение координат точки, делящей отрезок М₁ М₂ в заданном отношении М₁N¸N М₂ = p(число р задано)

Известно ,что || прямые K₁М₁ ;

NL;K₂М₂рассекают стороны угла M₂AK₂ на пропорциональные отрезки:

p=М₁N¸N М₂=K₁L¸LK₂ или х-х₁¸х₂-х₁=pÞх=х₁+pх₂¸1+p;y=у₁ +pу₂¸1+p

в частности координаты середины отрезка (p=1)

x= х₁ +х₂¸2

у= у₁ +у₂¸2

13. прямая линия на плоскости: общее уравнение, уравнение с угловым коэфициентом, уравнение в отрезках.

Общее уравнение прямой линии - Ах+Ву+С=0, где коэфициенты А, В, С - какие-либо числа, переменные х, у называют текущимикоординатами точки, лежащей на прямой. Некотоорые коэфициенты могут равняться 0, однако хотя бы одно из чисел А, В должно быть отлично от 0, т.е. А²+В²¹0, иначе в уравнении исчезнут обе текущие координаты

у=kх+в - уравнение прямой с угловым коэфициентом

k=tga, где a - меньший из неотрицательных углов, образуемых прямой с положительным направлением оси Ох (0<a<p;a¹p/2)

геом. смысл коэфицтентов

уравнение в отрезках

заданы ненулевые отрезки а и в, отсекаемые прямой на осях координат. По условию точки (а;0) и (0;в) лежат на прямой. Воспользуемся уравнением

х - х₁ у - у₁

^х2^-х1 ^у2^{- у}1

где х₁=а у₁=0

х₂=0 у₂=в

14. Уравнение прямой, проходящей через одну заданную точку, через 2 точки.

у - у₁=k(х - х₁)

уравнение прямой: у=kх+в

Если мы преобразуем первоначальное уравнение у - у₁=k(х - х₁), то получим у=kх+( у₁-kх₁) Оно удовлетворяет условия уравнения прямой : у=kх+в, т.к.

1. его степень первая, а значит оно может быть прямой,

2. прямая проходит через точку (х₁; у₁), т.к. координаты этой точки удовлетворяют уравнению : 0=0

3. роль коэфициента в играет выражение у₁-kх₁

Прямая с уравнением у - у₁=k(х - х₁) проходит через 1 точку. Потребуем, что бы и вторая точка лежала на этой прямой, т.е. что бы выполнялось равенство у₂ - у₁=k(х₂ - х₁). Отсюда находим k= у₂ - у₁¸ х₂ - х₁и подставим в уравнение: