примерный перечень экзаменационных вопросов
методы оптимизации
1) Сформулируйте понятие «оптимизации». Приведите примеры сфер деятельности, где можно использовать методы оптимизации.
2) Когда были впервые заложены математические основы оптимизации? Причины, обусловившие развитие методов оптимизации в ХХ веке.
3) Постановка задачи оптимизации. Условия необходимые для постановки задачи оптимизации.
4) Сущность системного подхода при постановке задачи оптимизации.
5) Основные этапы проектирования любой управляемой системы.
6) Задача оптимизации программирования. На какие подзадачи в общем случае она разбивается?
7) Понятие «локального» и «глобального минимума функции одной переменной». Приведите примеры.
8) Классические методы поиска точек экстремума функции одной переменной. Приведите примеры.
9) Необходимые и достаточные условия существования у функции локального экстремума.
10) Понятие «функции нескольких переменных». Необходимое условие существования экстремума у функции нескольких переменных.
11) Понятие «функционала» и «вариационного исчисления».
12) Классическая постановка задачи вариационного исчисления.
13) Постановка задачи вариационного исчисления при наличии ограничений на искомую функцию.
14) Понятие «условного» и «абсолютного экстремума» в задаче вариационного исчисления.
15) Понятие «критерия оптимизации». Условия, которым должен удовлетворять критерий оптимизации.
16) Классификация критериев оптимизации. Приведите примеры выбора критериев оптимизации.
17) Классификаци методов оптимизации. Возможные подходы.
18) Понятие «аналитических методов» в задачах оптимизации.
19) Специфика дискретной задачи оптимизации. Методы, используемые для решения дискретных задач оптимизации.
20) Понятие «системного анализа» в задаче оптимизации.
21) Понятие «математической модели процесса». Возможная классификация математических моделей.
22) Определение классического вариационного исчисления. Классы функций, используемых в вариационном исчислении.
23) Понятие «гладкой» и «разрывной функции». Классификация точек разрыва функции. Привести примеры.
24) Уравнение Эйлера в задаче вариационного исчисления.
25) Необходимое и достаточное условие существования экстремума функционала. Условие Лежандра.
26) Понятие «вариационной задачи с незакрепленными, или подвижными концами».
27) Постановка вариационной задачи с ограничениями. Привести пример.
28) Метод неопределенных множителей Лагранжа в вариационной задаче с ограничениями.
29) Постановка задачи Лагранжа в вариационном исчислении.
30) Каноническая форма уравнений Эйлера.
31) Метод Ритца решения уравнения Эйлера.
32) Возникновение и развитие теории управления.
33) Связь задач теории регулирования с задачами теории устойчивости.
34) Специфика вариационнных задач возникающих в теории регулирования.
35) Принцип максимума Понтрягина для задач с непрерывным временем.
36) Понятие «динамического программирования».
37) Принцип оптимальности Беллмана.
38) Понятие «одномерного поиска экстремума». Сведение задачи поиска экстремума к задаче нахождения нулей функции
39) Классификация методов поиска одномерного экстремума.
40) Понятие «унимодальной функции». Основное свойство унимодальности, используемое при одномерном поиске экстремума.
41) Опишите возможные варианты выбора интервала неопределенности при одномерном, пассивном поиске в случае трех экспериментов.
42) Сущность оптимальной стратегии при пассивном одномерном поиске. Формула для длины интервала неопределенности при пассивном поиске после N экспериментов.
43) Понятие «последовательного, или активного поиска». Сравните эффективности методов активного и пассивного поиска.
44) Опишите стратегию поиска экстремума методом дихотомии. Приведите формулу для длины интервала неопределенности при поиске методом дихотомии после N экспериментов.
45) Опишите стратегию поиска экстремума методом Фибоначчи. Приведите формулу для длины интервала неопределенности при поиске методом Фибоначчи после N экспериментов и формулу длины исходного интервала неопределенности
46) Оцените эффективность метода дихотомии и сравните ее с эффективностью метода пассивного поиска.
47) Опишите стратегию выбора интервалов неопределенности при поиске методом золотого сечения.
48) Приведите сравнительные характеристики методов дихотомии, Фибоначчи, золотого сечения и метода пассивного поиска
49) Понятие «метода рандомизации поиска точек экстремума».
50) Многомерный поиск экстремума. Классификация методов многомерного поиска экстремума.
51) Градиентный метод поиска экстремума для функции нескольких переменных.
52) Метод покоординатного спуска поиска экстремума для функции нескольких переменных.
53) Метод наискорейшего спуска поиска экстремума для функции нескольких переменных.
54) Метод Ньютона поиска нулей функции. Запишите итерационную формулу метода Ньютона. Покажите графически, как происходит процесс приближения к корню.
55) Метод секущих поиска нулей функции. Покажите графически, как происходит процесс приближения к корню.
56) Овражный метод поиска экстремума. В каких случаях он применяется?
57) Специфика задач по отысканию экстремума функции в условиях помех.
58) Метод стохастической аппроксимации нахождения экстремума в условиях помех. Выбор коэффициента коррекции.
59) Математическая формулировка задачи линейного программирования.
60) Приведите примеры (не менее 3) задач линейного программирования.
61) Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.
62) Понятие «симплекс-метода решения задач линейного программирования».
63) Понятие «выпуклой области» в задачах линейного программирования. Проиллюстрируйте понятие «выпуклости» графически.
64) Каковы свойства экстремума в задачах линейного программирования? В каких точках может достигаться экстремум в задачах линейного программирования?
65) Дайте геометрическую интерпретацию симплекс-метода поиска экстремума в задачах линейного программирования для случая двух переменных.
66) Использование симплекс-таблицы в задаче линейного программирования.
67) Понятие «прямой» и «двойственной задачи линейного программирования».
68) Теорема двойственности в задачах линейного программирования.
69) Понятие «двойственного симплекс-метода или метода последовательного улучшения оценок» в задачах линейного программирования.
70) Постановка задачи нелинейного программирования.
71) Классификация методов решения задач нелинейного программирования.
72) Постановка задачи квадратичного программирования. Необходимое условие выпуклости квадратичной формы.
73) Классификация методов квадратичного программирования.
74) Сравнительные характеристики задач линейного и нелинейного программирования.
75) Функциональное уравнение Беллмана.
76) Оптимизация дискретных процессов управления.
77) Постановка задачи о кратчайшем пути.
78) Постановка задачи о критическом пути.
79) Постановка задачи распределения ресурсов.
80) Математическая постановка задачи динамического программирования.
81) Принцип оптимальности Беллмана для дискретных процессов управления.
82) Необходимое условие существования экстремума функции многих переменных. Понятие «стационарной точки».
83) Математическая формулировка задач целочисленного программирования.
84) Классификация методов решения задач целочисленного программирования.
85) Специфика задачи целочисленного программирования. Понятие «регулярности».
86) Сведение задачи нелинейного программирования к задаче целочисленного программирования
87) Понятие «метода отсечения» в задачах целочисленного программирования.
88) Использование динамических методов в задачах целочисленного программирования.
89) Метод ветвей и границ в задачах целочисленного программирования.
90) Решение задач целочисленного программирования с помощью лингвистических моделей.
91) Понятие «линейной формы» и виды ограничений в задачах линейного программирования. Сведение ограничений в форме неравенств к условиям в форме равенств.
92) Рассмотрите частный случай уравнения Эйлера, когда подинтегральная функция F не зависит от y.
93) Рассмотрите частный случай уравнения Эйлера, когда подинтегральная функция F не зависит от x.
94) Рассмотрите частный случай уравнения Эйлера, когда подинтегральная функция F зависит только от y’.
95) Рассмотрите частный случай уравнения Эйлера, когда подинтегральная функция Fy’y’=0
96) Рассмотрите задачу о нахождении кривой наименьшей длины, соединяющей заданные две точки.
97) Классификация методов отыскания экстремумов функционалов.
98) Понятие «интегрального критерия» в задачах оптимизации.
99) Понятие «критерия максимального быстродействия» в задачах оптимизации.
100) Критерий минимума стоимости в единицу времени в задачах оптимизации.
101) Критерий минимума критического времени выполнения работы в задачах оптимизации.
102) Минимаксный критерий в задачах оптимизации.
103) Транспортная задача как пример задачи линейного программирования.
104) Задача о рациональном питании как пример задачи линейного программирования.
105) Задача об использовании ресурсов как пример задачи линейного программирования.
106) Задача о загрузке транспорта как пример задачи линейного программирования.
107) Понятие «переходного процесса». В связи с чем возникла проблема переходных процессов в задачах теории регулирования?
108) Условия транверсальности в вариационных задачах. Когда они возникают и что характеризуют?
109) Специфика задач на условный экстремум функционала при ограничивающих условиях, заданных на замкнутой области.
110) Сформулируйте и докажите лемму Лагранжа о непрерывных функциях.