Элементы теории устойчивости (стр. 3 из 4)

Общий определитель Гурвица Δ_nимеет n столбцов и n строк и составляется из коэффициентов a_ν (23), (17) характеристического уравнения в соответствии со следующим выражением:

Частные определители Гурвица имеют вид:

и так далее. Общий определитель Δ_n может быть разложен по последнему столбцу и составит:

Критерий Гурвица формулируется следующим образом.

Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы все n частных определителей Гурвица Δ_ν, ν=1,2,..n, получаемых из общего определителя (30), (31), составленного из коэффициентов а₀, а₁, а₂,...а_n характеристического уравнения (17), были положительны:

откуда, в частности, вытекает условие

Рассмотрим простейшие частные случаи систем 1-го, 2-го и 3-го порядков, имея в виду, что выполняется условие (23).

Тогда для системы первого порядка с характеристическим уравнением

условием устойчивости в соответствии с критерием Гурвица будет

Для системы второго порядка с характеристическим уравнением

условия устойчивости согласно критерию Гурвица примут вид:

Из последних двух условий получим:

Т. о., для рассмотренных систем 1-го и 2-го порядков условие, что все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными, является также и достаточным для устойчивости. Иными словами для систем 1-го и 2-го порядков необходимое и достаточное условие устойчивости, сформулированное на основании критерия Гурвица, совпадает с необходимым условием устойчивости, доказанном выше (28), (23), (17).

Наконец, рассмотрим систему третьего порядка с характеристическим уравнением

Для которой на основании критерия Гурвица можно записать следующие условия устойчивости:

Из этих неравенств получаем:

Отсюда следует, что для линейных систем третьего порядка необходимое и достаточное условие, сформулированное с помощью критерия Гурвица, не совпадает с необходимым условием устойчивости, доказанным выше.

Таким образом, данные, полученные с помощью критерия Гурвица, позволяют судить об устойчивости систем 1-го и 2-го порядков непосредственно по виду их характеристических уравнений и знаку его коэффициентов; проведения других дополнительных исследований не требуется. Это очень часто весьма облегчает задачу. Для систем же, описываемых уравнениями 3-го и более высоких порядков, проведение специального исследования устойчивости является совершенно неизбежным.

Критерий Рауса.

Во многих случаях при анализе устойчивости решение характеристического уравнения (17) системы является длительным и трудным. Раусом был предложен метод, позволяющий определить характер корней характеристического уравнения (18) без непосредственного нахождения их. Этот метод позволяет получить важные сведения об устойчивости системы (12), не прибегая к громоздким математическим операциям.

Кратко метод заключается в следующем. Из коэффициентов характеристического уравнения составляется так называемая таблица Рауса в соответствии с записанным далее выражением.

ФОРМУЛА 42

В общем виде элементы таблицы Рауса по мере повышения номера ее строки представляются соотношениями чрезвычайно громоздкими. Однако, как будет показано ниже, при численных расчетах анализ значительно упрощается.

Завершив процесс построения таблицы, исследуем первый ее столбец. Если знаки всех элементов этого столбца одинаковые, то характеристическое уравнение (17) не имеет корней с положительными вещественными частями. Если члены первого столбца не все имеют одинаковые знаки, то число корней с положительными вещественными частями равно числу изменений знаков.

Следует отметить, что критерий Рауса неприменим в двух случаях. Во-первых, когда какой-либо элемент первого столбца, начиная со второго, равен нулю. Тогда все члены следующей строки будут равны бесконечности. Во-вторых, когда все элементы второй или любой из следующих строк равны нулю. В этих специальных случаях необходимо использовать для анализа другие методы.

Для примера рассмотрим уравнение:

Сопоставляя (43) с (17), можно записать

Тогда таблица Рауса будет иметь следующий вид:

Замечаем, что знак элементов первого столбца таблицы сначала изменяется с плюса на минус, а затем – опять на минус. Это означает, что уравнение имеет два корня с положительными вещественными частями. Действительно, корнями уравнения (43) являются:

Следует иметь в виду, что для упрощения вычислений можно разделить (или умножить) все элементы любой строки на положительное число, прежде чем использовать их для получения следующей строки. Очевидно, что такая операция не изменит знака членов следующей строки и не отразится на конечном результате. Например, элементы третьей строки таблицы (45) можно было бы разделить на 8 для упрощения последующих вычислений.

Анализ результатов устойчивости в нелинейных системах.

При исследовании устойчивости в цепях постоянного тока при малых возмущениях обнаружение неустойчивости возможно только при наличии элементов с отрицательным дифференциальным сопротивлением. Элементы с «падающими» участками на вольт - амперной характеристике, как известно, разделяются на две группы.

К первой группе относятся элементы с S– образной ВАХ, например, электрическая дуга. У них ток относительно напряжения является неоднозначной функцией, т. е. при определенных напряжениях при их плавных изменениях теоретически возможны резкие изменения, так называемые «скачки» тока. Однако, опыт показывает, что при этом в такой цепи всегда присутствует небольшая паразитная индуктивность, которая «сглаживает» скачкообразные изменения, не допуская скачкообразного изменения энергии магнитного поля, поскольку оно в реальной системе невозможно.

По этой причине при исследовании устойчивости в таких цепях нелинейное сопротивление сS – образной ВАХ представляют в виде последовательного соединения его дифференциального сопротивления и малой начальной индуктивности.

У элементов с N – образной ВАХ напряжение является неоднозначной функцией тока. Здесь при определенных токах при их плавных изменениях теоретически возможны скачкообразные изменения напряжения, которые, однако, в реальных системах предовращаются наличием малой паразитной емкости. Поэтому при исследовании устойчивости в таких цепях нелинейное сопротивление с ВАХ N – типа заменяют эквивалентной схемой с параллельным соединением дифференциального сопротивления и малой паразитной емкости.

Устойчивость точки равновесия электрической дуги.

В качестве примера цепи постоянного тока рассмотрим электрическую дугу с ВАХ S - типа. С учетом паразитной индуктивности Lцепь имеет эквивалентную схему, представленную на рис. ??????. Уравнение цепи на основании закона Кирхгофа имеет вид:

В состоянии равновесия ток в цепи i не должен изменяться во времени t:

Поэтому уравнение примет вид:

Запишем уравнение возмущенного движения, полагая при этом

где ξ(t) – малое возмущение; тогда получим:

Разложим функцию U(i) в ряд в точке I₀ по степеням малых возмущений ξ и ограничимся величинами первого порядка малости, пренебрегая всеми членами более высоких порядков малости:

Обозначим величину дифференциального сопротивления нелинейного сопротивления R_dв точке i=I₀: