Элементы теории устойчивости (стр. 4 из 4)

Тогда подставляя (53), (52), (49) в (51) получим линеаризованное уравнение цепи:

где

Представляя решение (54) в виде

получим характеристическое уравнение системы

и явную зависимость ξ(t) в следующей форме:

Следовательно, состояние линейной системы (54) асимптотически устойчиво, а исходная нелинейная система (51) устойчива в обычном смысле. Если выполняется условие

Используя обозначение (55) окончательно получаем:

Последнее выражение представляет собой известный критерий Кауфмана для устойчивой рабочей точки электрической дуги.

Устойчивость решений уравнения Дуффинга.

Запишем уравнение движения неконсервативного нелинейного осциллятора, находящегося под гармоническим внешним воздействием, для случая среды с вязким трением (7.2), (11.1)

1) Формулы с двойными номерами здесь – (7.2), (11.1) - и ниже – (7.5), (3.20), (9.5), (11.3), (11.5) – цитируются по книге [4].

2) Поскольку символ λ использован везде в настоящем разделе для обозначения корней характеристических уравнений.

где символом δ обозначена в соответствии с (7.5) удельная вязкость среды; ω₀, μ – (3.20), F – (9.5).

Правую часть уравнения можно представить в виде суммы синусной и косинусной компоненты:

где F₁, F₂ определяются выражениями (11.3) и справедливы формулы (11.5).

При исследовании устойчивости для описания поведения рассматриваемой системы при появлении малых возмущений необходимо использовать полную подстановку Ван дер Поля:

где a(t), b(t) – медленно изменяющиеся функции. Вычислим первую и вторую производные функции y(t) по времени t:

Используя медленность изменения функции a(t), b(t) и малость параметра δ, пренебрежем в формулах (64) слагаемыми вторых порядков малости:

Подставив последние выражения и (63) в уравнение (61), получим:

Тригонометрический двучлен третьей степени в левой части равенства без учета всех компонент, кроме колебаний с основной частотой ω может быть представлен в следующем виде:

Подставив это выражение в предыдущие и сгруппировав слагаемые с одинаковыми тригонометрическими функциями получим два соотношения:

Отсюда, разрешая равенства относительно a, b, можно записать систему «укороченных» уравнений:

Рассмотрим стационарное решение:

Тогда для определения амплитуд стационарных колебаний a₀, b₀на основании системы (69) получаем алгебраические уравнения:

Ранее решение (11.6) было получено в частном случае наличия одного только синусного колебания:

При этом из (71) получаем выражения:

совпадающие, как и следовало ожидать, с (11.9). Тогда. Использую (11.5), (73) можно записать формулу (11.10):

Определяющую резонансную зависимость рассматриваемого осциллятора |a₀|(ω)или его «управляющую» характеристику |a₀|(F).

Для исследования устойчивости полученных стационарных колебаний с амплитудами a₀, b₀ (70), (71) введем теперь в рассмотрение их малые возмущения ξ(t),η(t):

где

Тогда подставляя (75) в укороченные уравнения (69) и используя условия для стационарных амплитуд (71), получим нелинейную систему возмущенного движения в следующем виде:

Анализируем уравнения (77), используя малость возмущений (76):

где постоянные коэффициенты a_νmдля частного случая, рассмотренного ранее (72), определяются так:

Записывая возмущения в экспоненциальной форме (13), получая систему алгебраических уравнений (14), приравнивая нулю определитель этой системы (15), (16), окончательно получаем характеристическое уравнение в виде:

или

Следовательно, необходимые и достаточные условия устойчивости линеаризованной системы можно записать так:

или, используя обозначения (79)

Первое из этих условий в рамках рассматриваемой задачи, очевидно, выполняется всегда. Второе условие требует более детального анализа. Чтобы его осуществить, определим зависимость F(a₀) на основании соотношения (74):

и вычислим производную dF/da₀:

Последнее выражение легко преобразовать к виду:

Если теперь в этой зависимости амплитуду вынужденных колебаний a₀ (11.6) заменить на модуль этой величины |a₀|, как это обычно делается при построении резонансных характеристик |a₀|(ω)осцилляторов и их управляющих характеристик |a₀|(F), то никаких изменений в соотношении (86) не произойдет. В частности, знак производной не изменится. Таким образом, коэффициент при фигурной скобке в (86) является величиной существенно положительной.

Тогда, сравнивая выражение, заключенное в фигурные скобки в (86) с условием (83) видим, что условие устойчивости идентично условию положительности производной.

или условию положительности обратной величины

Следовательно, все точки управляющей характеристики осциллятора с положительным наклоном касательной соответствует устойчивым режимам колебаний. На рисунках?????????????? и 12.3 эти ветви изображены сплошными кривыми. «Падающей» ветви характеристики соответствуют неустойчивые колебания. На рис?????????? Эта ветвь представлена пунктиром, а на рис. 12.3 вообще отсутствует.

В переходных точках перегиба кривой

имеет место упомянутый ранее «критический» случай, поскольку можно показать, что появляются корни характеристического уравнения с равными нулю вещественными частями. Анализа устойчивости на основе линейного приближения здесь оказывается недостаточно. Устойчивость или неустойчивость в этих точках определяют слагаемые высших порядков малости в уравнениях возмущенного движения.