Серьёзные лекции по высшей экономической математике

Комбинаторныезадачи.

1.Сколькимиспособамиколода в 52 картыможет бытьроздана 13-тиигрокам так,чтобы каждыйигрок получилпо одной картекаждой масти?L

2. Сколькимиспособами можнорасставить10 книг на полкетак, чтобы двеопределённыекниги не стоялирядом? Чтобытри, четыреопределенныекниги не стоялирядом?

3. Сколькимиразличнымиспособами можнорассадить закруглым столом10 гостей? Одинспособ отличаетсяот другого,если у кого-тоиз гостей меняетсяхотя бы одинсосед.

4. Имеетсяпять кусковматерии разныхцветов. Сколькоразличныхфлагов можноскроить из этихкусков, есликаждый флагсостоит из трёхгоризонтальныхполос разногоцвета?

5.Каждая из nразличныхкоммерческихорганизацийнамереваетсяпринять наработу одногоиз n выпускниковкоммерческогоотделенияфакультетаМЭО. В каждойиз этих организацийвыпускникупредлагаетсяна выбор однаиз k должностей.Сколько существуетвариантовраспределенияэтих nвыпускниковна работу?

5. Сколькоможно составитьразличныхсемизначныхтелефонныхномеров? Сколькобудет номеров,у которых всецифры разные?

6.Каждый участниклотереи “6 из49” должен записатьв специальнойкарточке 6 любыхчисел от 1 до49. При розыгрышелотереи комиссияслучайнымобразом отбирает6 чисел из чисел1,2,,49.Участник, правильноугадавший все6 чисел, получаетбольшой приз.Участник, угадавшийлишь 5 чисел,получает малыйприз. Участник,угадавший лишь4 числа, получаетпоощрительныйприз. Сколькимиразличнымиспособами можнозаполнитькарточку, чтобыполучить малыйприз? Чтобыполучитьпоощрительныйприз?

7. У одногочеловека есть7 книг, а у другого— 9 книг. Сколькимиспособами онимогут обменятьтри книги одногона три книгидругого?

8. Бригадастроителейсостоит из16-ти штукатурови 4-х маляров.Сколькимиспособамибригаду можноразделить надве бригады,чтобы в однойиз них было 10штукатурови 2 маляра, а вдругой 6 штукатурови 2 маляра?

9. Изотряда солдатв 50 человек, средикоторых естьдва рядовых–однофамильцаИвановы, назначаютв караул 4-х человек.Сколькимиразличнымиспособами можетбыть составленкараул? В сколькихслучаях в караулебудут два Ивановых?В сколькихслучаях в караулебудет одинИванов? Хотябы один Иванов?

10. Сколькимиспособами можноразложить 10книг на 5 бандеролейпо две книгив каждой (порядокбандеролейне принимаетсяво внимание)?

11. УДеда Морозав мешке 10 различныхподарков. Сколькимиспособамиэти подаркимогут бытьрозданы 7-мидетям? Решитьту же задачув предположении,что все подаркиодинаковы.

12. Сколькимиспособами можноразложить 6одинаковыхшаров по трёмящикам, есликаждый ящикможет вместитьвсе шары?

13. Впочтовом отделениипродаютсяоткрытки 10 сортов.Сколькимиспособами можнокупить в нём12 открыток?

14. Нужнопровести 4 экзаменапо различнымдисциплинамв течение
20-тидней. Сколькосуществуетвариантоврасписанияэкзаменов, есливременнойпромежутокмежду экзаменамидолжен бытьне меньше 3-хдней?(4!

)

6

Классическоеопределениевероятности.

1. Колодаиз 32-х карт тщательноперетасована.Найти вероятностьтого, что всечетыре тузалежат в колодеодин за другим,не перемежаясьдругими картами.

Решение.Число всехвозможныхспособов расположениякарт в колодеравно 32! Чтобыподсчитатьчисло благоприятныхисходов, сначалапредставимсебе, что четыретуза располагаютсякаким-то образомодин за другими склеиваютсямежду собойтак, что они,как бы составляютодну карту(неважно, чтоона оказаласьтолще, чем всеостальные). Вполученнойколоде стало32 – 4 + 1 = 29 карт. Картыв этой колодеможно расположитьчислом способов,равным 29! Количествовсех благоприятныхисходов получается,если это числоумножить на4! – число возможныхспособов упорядочениячетырёх тузов.Отсюда получаемответ задачи:

.

2.Между двумяигроками проводитсяnпартий,причем каждаяпартия кончаетсяили выигрышем,или проигрышем,и всевозможныеисходы партийравновероятны.Найти вероятностьтого, что определённыйигрок выиграетровно mпартий,0 mn.

Решение.Каждая партияимеет два исхода– выигрыш одногоили другогоучастника. Длядвух партийимеется 2²= 4 исходов, длятрёх партий– 2³ =8исходов, дляnпартий – 2ⁿисходов. Срединих ровно

исходов соответствуютвыигрышу одногоиз игроков mпартий. Такимобразом, искомаявероятностьравна .

3.Бросается nигральныхкостей. Найтивероятностьтого, что навсех костяхвыпало одинаковоеколичествоочков.

Решение.Общее числоисходов здесьравно 6ⁿ.Число благоприятныхисходов – 6. Ответзадачи:

.

4.В урне aбелых иb чёрныхшаров (a2;b2).Из урны безвозвращенияизвлекаются2 шара. Найтивероятностьтого, что шарыодного цвета.

Решение.Эта вероятностьравна

5.В урне находятсяaбелых и bчерных шаров.Шары без возвращенияизвлекаютсяиз урны. Найтивероятностьтого, что k-йвынутый шароказался белым.

Решение.Представимпроцесс случайногоизвлеченияшаров из урныследующимобразом: шарыпроизвольнымобразом размещеныпо расположеннымв ряд ячейкам,и извлекаютсяиз ячеек одинза другим слеванаправо. Тогдаблагоприятныйисход наступаетв том случае,когда в k-йячейке лежитбелый шар.

Всеговозможно (a+ b)!различныхспособов расположенияшаров по ячейкам.Займём k-юячейку однимиз белых шаров,что можно сделатьaразличнымиспособами.Тогда остальныеячейки можнозаполнить (a+ b– 1)! способами,и получается,что числоблагоприятныхисходов равно(a+ b– 1)!a,а искомая вероятность–

.

6.Найти вероятностьтого, что приразмещенииnразличимыхшаров по Nящикам заданныйящик будетсодержать ровноk(0k n)шаров (все различимыеразмещенияравновероятны).

Решение.Первый шарможет бытьразмещён Nразличнымиспособами,второй шар –тоже Nразличнымиспособами, адва шара могутбыть размещеныпо Nящикам числомспособов, равнымN².Всего существуетNⁿвариантовразмещенияnразличимыхшаров по Nящикам. Выбравопределенныйящик, можнонайти

способов заполнитьего наборомkшаров, выбранныхиз множестваnшаров. Остальныеящиков можнозаполнитьоставшимисяn – kшарами числомспособов, равным(N–1)^n–k.Таким образомполучаем, чточисло благоприятныхисходов в задачеравно (N–1)^n–k,а интересующаянас вероятностьравна .

7. 10 буквразрезнойазбуки: А,А,А,Е,И,К,М,М,Т,Тпроизвольнымобразом выкладываютсяв ряд. Каковавероятностьтого, что получитсяслово МАТЕМАТИКА?

Решение.10 букв можнорасположитьв ряд числомспособов, равным10! Чтобы получитьчисло благоприятныхисходов, нужновзять словоМАТЕМАТИКАи убедитьсяв том, что егоможно получить,переставляяместами 3 буквыА, 2 буквы М и 2буквы Т, чтоможно сделать3!2!2! способамиОтвет задачи:3!2!2!/10!.

8. Брошено10 игральныхкостей. Предполагается,что все комбинациивыпавших очковравновероятны.Найти вероятностьтого, что выпалахотя бы одна“6”.

Решение.Общее числоисходов здесьравно 6¹⁰.К благоприятнымисходам следуетотнести выпадениеодной, двух,трёх и т. д. шестёрок.Проще подсчитатьчисло неблагоприятныхисходов, тоесть исходов,когда не выпалони одной шестёрки.Их, очевидно,5¹⁰,и число благоприятныхисходов равно6¹⁰ – 5¹⁰.Искомая вероятностьравна 1 – 

.

9. В мешкенаходятся 10различных паробуви. Из мешканаугад извлекаются6 единиц обуви.Найти вероятностьтого, что в выборкуне попадёт двухединиц обуви,составляющиходну пару.

Решение.Общее числоисходов – этоколичествовозможныхвыборок объёмомв 6 единиц изобщего числав 20 единиц, тоесть

– число сочетанийиз двадцатипо шесть. Подсчитаемчисло благоприятныхисходов. Очевидно,что все возможныевыборки, удовлетворяющиеусловию задачи,можно составитьследующимобразом: выбрать6 пар обуви, чтоосуществляетсячислом способов,равным ,затем из каждойпары выбратьодну единицу.Из одной парыэто можно сделатьдвумя способами,из двух – четырьмя,из трёх – восемьюи т. д. Таким образомможно перебратьвсе шестёрок,удовлетворяющихусловию задачи.Искомая вероятностьравна .

1.а.В условияхзадачи 1. подсчитатьвероятностьтого, что прираздаче картпо одной покругу четырёмигрокам каждомудостанетсяодин туз. (

0,1055, )

1.б. Вусловиях предыдущейзадачи подсчитатьвероятностьтого, что всетузы достанутсяодному игроку.

1.в.nлицрассаживаютсяв ряд в случайномпорядке. Каковавероятность,что два определенныхлица окажутсярядом? Найтисоответствующуювероятность, если те же лицасадятся закруглый стол.

2.а. Решитезадачу 2. приусловии, чтокаждая партиякончается либовыигрышемодного из участников,либо ничьей,и всевозможныеисходы партийравновероятны.

2.б. Влифт 8-этажногодома на первомэтаже вошли5 человек. Предположим,что каждый изних с равнойвероятностьюможет выйтина любом изэтажей, начинаясо второго.Найти вероятностьтого, что всепятеро выйдутна разных этажах.

3.а. Брошенышесть игральныхкостей. Найтивероятностьследующихсобытий:

а) навсех костяхвыпало разноеколичествоочков;

б) суммарноеколичествовыпавших очковравно 7.

3.б. Найтивероятностьтого, что средипроизвольновыбранных 12-тичеловек всеимеют дни рожденияв разные месяцы.

4.а. Вусловиях задачи4. найти вероятностьтого, что шарыразноцветные.

5.а. Вкармане лежат10 ключей, из которыхк данному замкуподходит лишьодин, но неизвестно,какой. Из карманаизвлекаютсяключи случайнымобразом одинза другим иделается попыткаоткрыть замок.Найти вероятностьтого, что замокбудет открытс 7-й попытки.

5.б. СтудентИванов приподготовкек экзамену из30-и билетов выучиллишь 20. Группасдающих экзаменстудентовсостоит из 16-ичеловек, причёмкаждый по очередиберёт одинбилет, не возвращаяего. В какомслучае студентИванов с большейвероятностьюсдаст экзамен:если он будетв этой очередипервым или еслион будет последним?

5.в. Партияиз 25-и приборовсодержит одиннеисправныйприбор. Из этойпартии дляконтроля выбраныслучайнымобразом 6 приборов.Найти вероятностьтого, что неисправныйприбор попалв выборку.

5.г. Ящиксодержит 90 годныхи 10 дефектныхшурупов. Еслииспользовать10 шурупов, каковавероятностьтого, что ниодин из них неокажется дефектным?Какова вероятностьтого, что срединих окажется4 дефектныхшурупа?

6.а.В nящиках размещаютnшаров так, чтодля каждогошара равновозможнопопадание влюбой ящик.Найти вероятностьтого, что ниодин ящик непуст.

6.б.Каждая из nпалок разламываетсяна две части– длинную икороткую. Затем2nобломков объединяютсяв nпар, каждая изкоторых образуетновую “палку”.Найти вероятностьтого, что а)частибудут соединеныв первоначальномпорядке; б) вседлинные частибудут соединеныс короткими.

6.в.Дляуменьшенияобщего количестваигр 2nкоманд спортсменовразбиваютсяна две подгруппы.Определитьвероятностьтого, что двенаиболее сильныекоманды окажутся:а) в разныхподгруппах,б) в одной подгруппе.Ответ: а) n/(2n-1);б) (n–1)/(2n-1);

7.а. Избукв разрезнойазбуки составленослово СТАТИСТИКА.Затем из этихбукв случайнымобразом безвозвращенияотобрано 5 букв.Найти вероятностьтого, что изотобранныхбукв можносоставить словоТАКСИ. Ответ2/21.

8.а. Чемуравна вероятностьтого, что двабросания трёхигральныхкостей дадутодин и тот жерезультат, еслиа) кости различимы,б) кости неразличимы.Ответ: 1/216; 83/3888.

8.б. Из28 костей доминослучайнымобразом выбираютсядве. Найтивероятностьтого, что изних можно составить“цепочку”согласно правиламигры. Ответ:7/18.

8.в. Брошено10 игральныхкостей. Найтивероятностьсобытий: а) выпалоровно 3 шестёрки,б) выпало хотябы две шестёрки.

9.а.Два игроканезависимымобразом подбрасывают(каждый свою)монеты. Найтивероятностьтого, что послеnподбрасыванийу них будетодно и то жечисло гербов.Ответ:

.

Решениезадачи 1.а.

1-йспособ. Приперетасовкеколоды картыв ней можнорасположить32! различнымиспособами.Первый игрокполучит тузаопределённоймасти (например,туза пик), еслиэтот туз лежитв колоде на1-м, 5-м, 9-м и т. д. местах.Иначе говоря,туз пик попадаетк первому игроку,если он занимаетв колоде однуиз восьми возможныхпозиций. Аналогичнымобразом другойтуз, напримермасти треф,достаётсявторому игроку,если он в колодележит вторым,шестым, десятыми т. д., то естьтакже занимаетв колоде однуиз восьми возможныхпозиций. Рассуждаяаналогичнымобразом, получаем,что для выполненияусловия задачикарты в колодедолжны бытьрасположеныодним из 8⁴4!28!возможныхспособов. Отсюдаследует, искомаявероятностьравна

2-йспособ. Разобьёмколоду на 4 частипо 8 карт в каждой.Это можно сделатьчислом способов,равным

.Первую из этихчастей приусловии, чтов неё попадаетодин и толькоодин туз, напримертуз пик, можносоставитьчислом способов,равным .Вторую частьпри условиипопадания внеё единственноготуза можносоставитьчислом способов,равным .Таким образом,разделитьколоду на 4 части,удовлетворяющиеусловию задачи,можно числомспособов, равным .Отсюда следует,что искомаявероятностьравна

111.При игре в покериз колоды в 52карты игрокувыдаётся 5 карт.Какова вероятностьтого, что игрокполучит комбинациюиз одной тройки(три карты однойноминации) иодной двойки(две карты однойноминации).(Такая комбинацияназываетсяfullhouse).

112. Вусловиях предыдущейзадачи подсчитатьвероятностьполученияигроком однойдвойки, двухдвоек.

113.В условияхзадачи 111 подсчитатьвероятностьполученияигроком комбинацииstraight,то есть пятикарт последовательнойноминации, ноне всех одноймасти (например,5 треф, 6 пик, 7 треф,8 червей, 9 бубенили валет пик,дама пик, корольпик, туз червей,двойка треф)

; ; .

4

Теоремысложения иумножениявероятностей.Независимостьсобытий. Условнаявероятность.

1. Тристрелка стреляютпо одной мишени,и каждый попадаетили промахиваетсянезависимоот результатоввыстреловдругих стрелков.Вероятностипопадания вмишень длякаждого изстрелков,соответственно,равны: 0,8; 0,7; 0,5. Определитьвероятностиследующихсобытий:

а) всетри стрелкапопали в мишень;

б) хотябы один стрелокпопал в мишень;

в) вмишень попалидва стрелка.

Решение.

а) Таккак здесьрассматриваютсянезависимыесобытия, вероятностьпопадания вмишень всехтрёх стрелковравна произведениювероятностейпопаданиякаждого:

P= 0,80,70,5= 0,28

б)Обозначим этособытие А.Ему благоприятствуетнескольконесовместимыхисходов, например,такой: {первыйстрелок попалв мишень, второйне попал, третийпопал}. Вместотого, чтобырассматриватьвсе эти исходы,возьмём событие

– дополнениесобытияАили, иначе, событие,противоположноесобытию А.Оно состоитв том, что всетри стрелкане попали вмишень.Его вероятностьравна:

(1– 0,8) (1 – 0,7) (1 – 0,5) = 0,5

Теперьможно определитьвероятностьинтересующегонас события:

Р(А)= 1 – Р(

)= 1 – 0,5 = 0,5

в) Этомусобытию благоприятствуюттри исхода:

* {первыйпопал, второйпопал, третийне попал} – cвероятностью

0,80,7 (1 – 0,5) = 0,28

** {первыйпопал, второйне попал, третийпопал} – c вероятностью

0,8(1 – 0,7) 0,5 = 0,12

*** {первыйне попал, второйпопал, третийпопал} – c вероятностью

(1– 0,8) 0,7 0,5 = 0,07

Очевидно,что эти исходынесовместимы,и поэтому вероятностьих объединения,представляющегособой событиеА,равна суммеих вероятностей:

Р(А) = 0,28 + 0,12 + 0,07 = 0,47

2. Брошенотри игральныхкости. Найтивероятностиследующихсобытий:

а) выпалотри шестёрки;

б) выпалотри шестёрки,если известно,что на однойиз костей выпалашестёрка.

Решение.

а)Здесь ответочевиден:

б)Обозначим черезА событие, состоящеев выпадениитрёх шестёрок,а через В – ввыпадениишестёрки хотябы на однойкости. ТогдаР(А/В) – искомаявероятность.Событие АВв данном случаесовпадает ссобытием А,откуда следует:Р(АВ)=

.Вероятностьсобытия Вравна разностиединицы и вероятностисобытия ,противоположногособытию В, тоесть выпадениятрёх чисел,отличных отшестёрки. Вероятность равна .Отсюда следует:Р(В) = .В результатеполучается:

Р(А/В)=

3. Истребительатакует бомбардировщик,делает одинвыстрел и сбиваетбомбардировщикс вероятностьюр₁.Если этим выстреломбомбар–дировщикне сбит, то онстреляет поистребителюи сбивает егос вероятностьюр₂.Если истребительэтим выстреломне сбит, то онещё раз стреляетпо бомбардировщикуи сбивает егос вероятностьюp₃.Найти вероятностиследующихсобытий:

а) “сбитбомбардировщик”;

б) “сбитистребитель”;

в) “сбитхотя бы одинсамолёт”.

Ответ:а) р₁ + (1 – p₁)(1 – p₂)p₃;б) (1 – p₁)p₂;в) p₁ + p₂ + p₃ – p₁p₂ – p₁p₂ – p₂p₃ + p₁p₂p₃.

4. Из20 студентов,находящихсяв аудитории,8 человек курят,12 носят очки,а 6 и курят и носяточки. Одногоиз студентоввызвали к доске.Определимсобытия А и Вследующимобразом: A = {вызванныйстудент курит},B = {вызванныйносит очки}.

Установить,зависимы событияA и B или нет. Сделатьпредположениео характеревлияния куренияна зрение.

Решение.Так как

, то условиенезависимостине выполняется,следовательно,события A и Bзависимы.

Найдемусловную вероятностьтого, что студентносит очки, приусловии, чтоон курит:

.Безусловнаявероятностьтого, что студентносит очки,равна .Так как ,то делаем вывод:курение способствуетухудшениюзрения.

6.Ф. Бросаютсятри игральныхкости. Каковавероятностьтого, что наодной из нихвыпадет единица,если на всехтрёх костяхвыпали разныеграни? (0.5).

7.Ф. Известно,что при бросаниидесяти игральныхкостей выпалахотя бы однаединица. Каковавероятностьтого, что выпалодве или болееединиц?

1 – 105⁹/(6¹⁰-5¹⁰).

8. Доказать,что если событияА иВ независимы,то независимысобытия

и .

9. Бросаюттри монеты.Событие А —выпадение гербана первой ивторой монетах.Событие В —выпадение цифрына третьеймонете. НайтиР(А∩В)и Р(АUВ).

10. Внекоторойкорпорациипротокол принятияважнейшихрешений предусматриваетследующуюпроцедуру.Предложениенаправляетсяв отдел А.В случае одобренияпредложениенаправляетсяв отделы Bи Cа также к вице-президентуD. Вслучае одобрениявице-президентомпредложениенаправляетсяпрезидентукорпорацииP. Сюдапредложениепопадает и втом случае,если после егоодобрения хотябы одним изотделов Bили C егоодобрит вице-президентE.Нарисоватьсхему принятиярешения. Считая,что все инстанциипринимаютрешение независимоодна от другой,и что A,D иE одобрятпредложениес вероятностью0,6, а В,C иP —с вероятностью0,5, определитьвероятностьпринятия предложенияадминистрацией.

11. Студентзнает 20 из 25 вопросовпрограммы.Зачёт сдан,если студентответит неменее чем на3 из 4-х вопросовв билете. Взглянувна первый вопрос,студент обнаружил,что знает его.Какова вероятность,что студентсдаст зачёт?

Решение.

ПустьА – событие,заключающеесяв том, что студентсдал экзамен;

В –событие, заключающеесяв том, что студентзнает первыйвопрос в билете.

Очевидно,что р(В)=

.Теперь необходимоопределитьвероятностьр(АВ).Из 25-ти вопросоввсего можносоставить различныхбилетов, содержащих4 вопроса. Всебилеты, выборкоторых удовлетворялбы и событиюА и событию В,должны бытьсоставленыследующимобразом:либо студентзнает все вопросыбилета (можносоставить всего такихбилетов), либостудент знаетпервый, второйи третий вопросы,но не знаетчетвёртого(можно составитьвсего 5 такихбилетов), либостудент знаетпервый, второйи четвёртыйвопросы, но незнает третьего(тоже 5 билетов),либо студентзнает первый,третий и четвёртыйвопросы, но незнает второго(тоже 5 билетов).Отсюда получаем,что

р(АВ)=

Осталосьтолько найтиискомую вероятностьр(А/В):

р(А/В)=

7

Комбинаторныеформулы

Пустьимеется множество,состоящее изn элементов.Обозначим егоU_n.Перестановкойиз n элементовназываетсязаданный порядокво множествеU_n.

Примерыперестановок:

1)распределениеnразличныхдолжностейсреди nчеловек;

2)расположениеnразличныхпредметов водном ряду.

Сколькоразличныхперестановокможно образоватьво множестве U_n?Число перестановокобозначаетсяP_n(читаетсяРиз n).

Чтобывывести формулучисла перестановок,представимсебе n ячеек,пронумерованныхчислами

1,2,...n.Все перестановкибудем образовывать,располагаяэлементы U_nв этихячейках. В первуюячейку можнозанести любойиз n элементов(иначе: первуюячейку можнозаполнить nразличнымиспособами).Заполнив первуюячейку, можноn-1способом заполнитьвторую ячейку(иначе: при каждомспособе заполненияпервой ячейкинаходится n-1способов заполнениявторой ячейки).Таким образомсуществуетn(n-1)способов заполнениядвух первыхячеек. При заполнениипервых двухячеек можнонайти n-2способов заполнениятретьей ячейки,откуда получается,что три ячейкиможно заполнитьn(n-1)(n-2)способами.Продолжая этотпроцесс, получим,что число способовзаполненияn ячеек равно .Отсюда

P_n= n(n- 1)(n -2)...321

Числоn(n -1)(n -2)...321,то есть произведениевсех натуральныхчисел от 1 доn,называется"n-факториал"и обозначаетсяn!. ОтсюдаP_n=n!

Пример.

.

По определениюсчитается:1!=1;0!=1.

Размещениямииз nэлементов поkэлементов будемназыватьупорядоченныеподмножества,состоящие изkэлементов,множества U_n-(множества,состоящегоиз nэлементов).Число размещенийиз nэлементов поkэлементовобозначается

(читается "Аиз nпо k").

Примеры задач,приводящихк необходимостиподсчета

1) Сколькимиспособами можновыбрать из 15человек 5 кандидатови назначитьих на 5 различныхдолжностей?

2) Сколькимиспособами можноиз 20 книг отобрать12 и расставитьих в ряд на полке?

В задачахо размещенияхполагаетсяkn.В случае, еслиk=n,то легко получить

Для подсчета

используемтот же метод,что использовалсядля подсчетаP_n ,только здесьвозьмем лишьk ячеек.Первую ячейкуможно заполнитьnспособами,вторую, призаполненнойпервой, можнозаполнить n-1способами.Можно продолжатьэтот процессдо заполненияпоследней k-йячейки. Этуячейку призаполненныхпервых k-1ячейках можнозаполнитьn-(k-1)способами (илиn-k+1).Таким образомвсе kячеек заполняютсячислом способов,равным

Отсюдаполучаем:

Пример. Сколькосуществуетразличныхвариантоввыбора 4-х кандидатуриз 9-ти специалистовдля поездкив 4 различныхстраны?

Сочетаниямииз nэлементов поkэлементовназываютсяподмножества,состоящие изkэлементовмножества U_n(множества,состоящегоиз nэлементов).

Одно сочетаниеот другогоотличаетсятолько составомвыбранныхэлементов (ноне порядкомих расположения,как у размещений).

Числосочетаний изnэлементов поkэлементовобозначается

(читается "Cиз nпо k").

Примеры задач,приводящихк необходимостиподсчета числасочетаний:

1) Сколькимиспособами можноиз 15 человеквыбрать 6 кандидатовдля назначенияна работу водинаковыхдолжностях?

2) Сколькимиспособами можноиз 20 книг отобрать12 книг?

Выведемформулу дляподсчета числасочетаний.Пусть имеетсямножество U_nи нужнообразоватьупорядоченноеподмножествомножества U_n,содержащееkэлементов (тоесть образоватьразмещение).Делаем это так:

1) выделимкакие-либо kэлементов изnэлементовмножества

U_nЭто, согласносказанномувыше, можносделать

способами;

2) упорядочимвыделенныеkэлементов, чтоможно сделать

способами.Всего можнополучить вариантов(упорядоченныхподмножеств),откуда следует: ,то есть

Пример: 6 человекиз 15 можно выбратьчислом способов,равным

Задачи наподсчет числаподмножествконечногомножестваназываютсякомбинаторными.Рассмотримнекоторыекомбинаторныезадачи.

1.Из семи заводоворганизациядолжна выбратьтри для размещениятрех различныхзаказов. Сколькимиспособами можноразместитьзаказы?

Так как всезаводы различны,и из условияясно, что каждыйзавод можетлибо получитьодин заказ,либо не получитьни одного, здесьнужно считатьчисло размещений

2.Еслииз текста задачи1 убрать условиеразличия трехзаказов, сохраниввсе остальныеусловия, получимдругую задачу.Теперь способразмещениязаказов определяетсятолько выборомтройки заводов,так как все этизаводы получатодинаковыезаказы, и числовариантовопределяетсякак число сочетаний.

3.Имеются 7заводов. Сколькимиспособамиорганизацияможет разместитьна них три различныхпроизводственныхзаказа? (Заказнельзя дробить,то есть распределятьего на несколькозаводов).

В отличиеот условияпервой задачи,здесь организацияможет отдатьвсе три заказапервому заводуили, например,отдать двазаказа второмузаводу, а один- седьмому.

Задачарешается так.Первый заказможет бытьразмещен семьюразличнымиспособами (напервом заводе,на втором ит.д.). Разместивпервый заказ,имеем семьвариантовразмещениявторого (иначе,каждый способразмещенияпервого заказаможет сопровождатьсясемью способамиразмещениявторого). Такимобразом, существует77=49способов размещенияпервых двухзаказов. Разместивих каким-либообразом, можемнайти 7 вариантовразмещениятретьего (иначе,каждый способразмещенияпервых двухзаказов можетсопровождатьсясемью различнымиспособамираспределениятретьего заказа).Следовательно,существуют497=7³способов размещениятрех заказов.(Если бы заказовбыло n,то получилосьбы 7ⁿ способовразмещения).

4.Как решатьзадачу 3, еслив ее текстевместо слов"различныхпроизводственныхзаказа" поставить"одинаковыхпроизводственныхзаказа"?

5.Добавим кусловию задачи1 одну фразу:организациятакже должнараспределитьтри различныхзаказа наизготовлениедеревянныхперекрытийсреди 4-х лесопилок.Сколькимиспособами могутбыть распределенывсе заказы?

Каждыйиз

способовраспределениязаказов назаводах можетсопровождаться способамиразмещениязаказов налесопилках.Общее числовозможныхспособов размещениявсех заказовбудет равно

Случайныйэксперимент,элементарныеисходы, события.

Случайным(стохастическим)экспериментомили испытаниемназываетсяосуществлениекакого-либокомплексаусловий, которыйможно практическиили мысленновоспроизвестисколь угоднобольшое числораз.

Примерыслучайногоэксперимента:подбрасываниемонеты, извлечениеодной картыиз перетасованнойколоды, подсчетчисла автомобилейв очереди набензоколонкев данный момент.

Явления,происходящиепри реализацииэтого комплексаусловий, тоесть в результатеслучайногоэксперимента,называютсяэлементарнымиисходами.Считается, чтопри проведениислучайногоэкспериментареализуетсятолько одиниз возможныхэлементарныхисходов.

Если монетуподброситьодин раз, тоэлементарнымиисходами можносчитать выпадениегерба (Г) илицифры (Ц).

Если случайнымэкспериментомсчитать троекратноеподбрасываниемонеты, тоэлементарнымиисходами можносчитать следующие:

ГГГ, ГГЦ, ГЦГ,ЦГГ, ГЦЦ, ЦГЦ,ЦЦГ, ЦЦЦ.

Множествовсех элементарныхисходов случайногоэкспериментаназываетсяпространствомэлементарныхисходов. Будем обозначатьпространствоэлементарныхисходов буквой(омега большая)i-й элементарныйисход будемобозначать_i(-омегамалая).

Еслипространствоэлементарныхисходов содержитnэлементарныхисходов, то

=(₁,₂,...,_n).

Для троекратногоподбрасываниямонеты,

=(ГГГ,ГГЦ,...ЦЦЦ).

Еслислучайныйэксперимент- подбрасываниеигральнойкости, то =(1,2,3,4,5,6).

Есликонечноили счетно,то случайнымсобытием илипростособытиемназываетсялюбое подмножество.

Множествоназываетсясчетным, еслимежду ним имножествомNнатуральныхчисел можноустановитьвзаимно-однозначноесоответствие.

Пример счетногомножества:множествовозможныхзначений времениприлета инопланетянна Землю, есливремя отсчитыватьс настоящегомомента и исчислятьс точностьюдо секунды.

Примерынесчетныхмножеств: множествоточек на заданномотрезке, множествочисел x,удовлетворяющихнеравенству1 x 2.

В случаенесчетногомножества будем называтьсобытиямитолько подмножества,удовлетворяющиенекоторомуусловию (обэтом будетсказано позже).

Приведемпримеры событий.Пусть бросаетсяигральнаякость, и элементарным исходом считаетсявыпавшее числоочков: =(1,2,3,4,5,6).A —событие, заключающеесяв том, что выпалочетное числоочков:А=(2,4,6); B — событие,заключающеесяв том, что выпалочисло очков,не меньшее 3-х:B=(3,4,5,6).

Говорят,что те исходы,из которыхсостоит событиеА,благоприятствуютсобытию А.

Рис.1

Событияудобно изображатьв виде рисунка,который называетсядиаграммойВенна. Нарисунке 1 пространствоэлементарныхисходов изображенов виде прямоугольника,а множествоэлементарныхисходов, благоприятствующихсобытию A,заключено вэллипс. Самиисходы на диаграммеВенна не изображаются,а информацияо соотношениимежду их множествамисодержитсяв расположенииграниц соответствующихобластей.

Суммой(объединением)двух событийАи B(обозначаетсяAUB )называетсясобытие, состоящееиз всех элементарныхисходов, принадлежащихпо крайней мереодному из событийАили B.Событие AUB происходит,если происходитпо крайней мереодно из событийАили B.

Рис.2

Приведемпример объединениясобытий. Пустьдва стрелкастреляют вмишень одновременно,и событие Асостоит в том,что в мишеньпопадает 1-йстрелок, а событиеB -в том, что в мишеньпопадает 2-й.Событие AUB означает,что мишеньпоражена, или,иначе, что вмишень попалхотя бы одиниз стрелков.

Рис.3

Произведением(пересечением)A∩Bсобытий Аи Bназываетсясобытие, состоящееиз всех техэлементарныхисходов, которыепринадлежати Аи B.На рисунке 3пересечениесобытий Аи Bизображенов виде заштрихованнойобласти. В условияхприведенноговыше примерасобытие A∩Bзаключаетсяв том, что в мишеньпопали обастрелка.

РазностьюА\Bили А-Bсобытий Аи Bназываетсясобытие, состоящееиз всех исходовсобытия А,не благоприятствующихсобытию B.Диаграмма Веннаразности событийА иBизображенана рисунке 4.

Рис.4

В условияхрассмотренноговыше примерасобытиеА\Bзаключаетсяв том, что первыйстрелок попалв мишень, а второйпромахнулся.

Событиеназываетсядостоверным(оно обязательнопроисходитв результатеслучайногоэксперимента).

Пустоемножество называетсяневозможнымсобытием. Событие

=\AназываетсяпротивоположнымсобытиюАили дополнениемсобытияА.

СобытияА и Bназываютсянесовместными,если нет исходов,принадлежащихи Аи B,то есть A∩B= .На рисунке 5изображенынесовместныесобытия Аи B.

Рис.5

Непосредственноиз введенныхопределенийследуют равенства:AU =;A∩ =; ∩ ; = .Два последнихравенстваназываютсяформуламиДе'Моргана.

ВероятностноепространствоСлучай конечногоили счетногочисла исходов.

Для построенияполной и законченнойтеории случайногоэкспериментаили теориивероятностей,помимо введенныхисходных понятийслучайногоэксперимента,элементарногоисхода, пространстваэлементарныхисходов, события,введем аксиому(пока для случаяконечного илисчетного пространстваэлементарныхисходов).

Каждомуэлементарномуисходу _iпространствасоответствуетнекотораянеотрицательнаячисловаяхарактеристикаP_iшансов егопоявления,называемаявероятностьюисхода _i, причем

(здесьсуммированиеведется по всемi, длякоторых выполняетсяусловие: _i).

Отсюдаследует, что0 P_i1для всех i.

Вероятностьлюбого событияАопределяетсякак суммавероятностейвсех элементарныхисходов, благоприятствующихсобытию А.Обозначим ееР(А).

(*)

Отсюда следует,что

1) 0 P(A)1;

2) P()=1;

3) P()=0.

Будемговорить, чтозадано вероятностноепространство,если заданопространствоэлементарныхисходов и определено соответствие

_iP(_i) =P_i.

Возникаетвопрос: какопределитьиз конкретныхусловий решаемойзадачи вероятностьP(_i) отдельныхэлементарныхисходов?

Классическоеопределениевероятности.

ВычислятьвероятностиP(_i) можно,используяаприорныйподход, которыйзаключаетсяв анализеспецифическихусловий данногоэксперимента(до проведениясамого эксперимента).

Возможнаситуация, когдапространствоэлементарныхисходов состоитиз конечногочисла Nэлементарныхисходов, причемслучайныйэксперименттаков, чтовероятностиосуществлениякаждого из этихNэлементарныхисходов представляютсяравными.Примеры такихслучайныхэкспериментов:подбрасываниесимметричноймонеты, бросаниеправильнойигральнойкости, случайноеизвлечениеигральной картыиз перетасованнойколоды. В силувведеннойаксиомы вероятностикаждого элементарногоисхода в этомслучае равны

.Из этого следует,что если событиеАсодержит N_Aэлементарныхисходов, то всоответствиис определением(*)

В данномклассе ситуацийвероятностьсобытия определяетсякак отношениечисла благоприятныхисходов к общемучислу всехвозможныхисходов.

Пример.Из набора,содержащего10 одинаковыхна вид электроламп,среди которых4 бракованных,случайнымобразом выбирается5 ламп. Каковавероятность,что среди выбранныхламп будут 2бракованные?

Преждевсего отметим,что выбор любойпятерки лампимеет одну иту же вероятность.Всего существует

способов составитьтакую пятерку,то есть случайныйэкспериментв данном случаеимеет равновероятныхисходов.

Сколько изэтих исходовудовлетворяютусловию "впятерке двебракованныелампы", то естьсколько исходовпринадлежатинтересующемунас событию?

Каждуюинтересующуюнас пятеркуможно составитьтак: выбратьдве бракованныелампы, что можносделать числомспособов, равным

.Каждая парабракованныхламп можетвстретитьсястолько раз,сколькимиспособами ееможно дополнитьтремя не бракованнымилампами, тоесть раз. Получается,что число пятерок,содержащихдве бракованныелампы, равно  .

Отсюда,обозначивискомую вероятностьчерез P,получаем:

7

Лекция10.

Распределение

².

Пустьимеется nнезависимыхслучайныхвеличин ₁, ₂, ..., _n,распределенныхпо нормальномузакону с математическиможиданием,равным нулю,и дисперсией,равной единице.Тогда случайнаявеличина

распределенапо закону, которыйназывается“распределение²”или “распределениеПирсона”. Очевидно,что она можетпринимать лишьнеотрицательныезначения. Числоnназываетсячисломстепеней свободы.

При n> 1 график плотностираспределенияслучайнойвеличины ²представляетсобой кривую,изображеннуюна рисунке 1.

Для того,чтобы определитьвероятностьпопаданияслучайнойвеличины ²в какой-либопромежутокиз множестваположительныхчисел, пользуютсятаблицейраспределения².Обычно такаятаблица позволяет

q n	0,99	0,975	0,95	...	0,1	0,05	0,01
1	0,0315	0,0398	0,0239	...	2,71	3,84	6,63
...	...	...	...	...	...	...	...
10	2,56	3,25	3,94	...	16,0	18,3	23,2
...	...	...	...	...	...	...	...

Таблица 1.

повероятностиq ипо числу степенейсвободы nопределитьтак называемыйквантиль_q²,если qи _q²связаны соотношением

P(²> _q²)= q.

Этаформула означает:вероятностьтого, что случайнаявеличина ²примет значение,большее чемопределенноезначение _q²,равна q.

Таблица1 представляетсобой фрагменттаблицы распределения².Из него видно,что случайнаявеличина ²с 10-ю степенямисвободы свероятностьюq = 0,95принимаетзначение, большее3,94, а та же величинас одной степеньюсвободы свероятностьюq = 0,975превышает0,00098.

Задача.Найти интервал(₁²,₂²),в который случайнаявеличина ²с 10-ю степенямисвободы попадаетс вероятностью,равной 0,9.

Решение.График плотностираспределения²с 10-ю степенямисвободы схематичноизображен нарисунке 2. Будемсчитать, чтоплощади заштрихованныхобластей (праваяобласть неограниченасправа) равнымежду собой.Примем условия:

P(²₁²)= P(²> ₂²)= (1 - 0,9)/2 = 0,05,(1)

тогдаP(₁²²₂²)= 0,9.

Равенства(1) сразу позволяютпо таблицеопределить:₂²= 18,3. Для определениялевой границыинтересующегонас интервалапридетсявоспользоватьсяочевиднымравенствомP(²> ₁²)= 0,95. Из таблицы1. определяем:₁²= 3,94 , и теперьможно сформулироватьответ задачи:значение случайнойвеличины ²с вероятностью0,9 принадлежитинтервалу(3,94; 18,3).

РаспределениеСтьюдента.

Многие задачистатистикиприводят кслучайнойвеличине вида

,

гдеи – независимыеслучайныевеличины, причем– нормальнораспределеннаяслучайнаявеличина спараметрамиM= 0 и D= 1, а  распределенапо закону ²c k степенямисвободы.

Законраспределенияслучайнойвеличины tназываетсязакономраспределенияСтьюдентас k степенямисвободы.

Графикплотностираспределениядля законаСтьюдентасхематическиизображен нарисунке 3. Криваяплотностираспределениясхожа с аналогичнойкривой длянормальногораспределения.

ТаблицыраспределенияСтьюдентапозволяют приданном числестепеней свободыk повероятностиqопределитьзначение t_q,для котороговыполняетсясоотношениеP(t> t_q)= q.Фрагмент такойтаблицы представляетсобой таблица2.

q k	0,1	0,05	...	0,01	0,005	...
1	6,314	12,71	...	63,57	318	...
...	...	...	...	...	...	...
12	1,782	2,179	...	3,055	3,428	...
...	...	...	...	...	...	...
Таблица2

Задача.Найти симметричныйинтервал, вкоторый случайнаявеличина,распределеннаяпо закону Стьюдентас 12-ю степенямисвободы, попадаетвероятностью0,9.

Решение.Очевидны соотношения:

P(–xt x) = P(tx) =1 – P(tx) = 0,9.

Изпоследнегоравенстваследует:

P(tx) = 0,1 , (n = 12).

Определяемиз таблицы: x= 1,782. Нестрогоенеравенствов скобках влевой частипоследнейформулы насне должно смущать,так как мы имеемдело с непрерывнойслучайнойвеличиной, ивероятностьтого, что онапримет конкретноезначение, равнанулю.

Задача.Найти значениеx изусловия P(t> x) =0,995 , где t– случайнаявеличина,распределеннаяпо закону Стьюдентас 12-ю степенямисвободы.

Решение.На рисунке 4изображенграфик плотностираспределенияСтьюдента с12-ю степенямисвободы. Вероятностьтого, что случайнаявеличина приметзначение изобласти справаот точки x₁равна 0,995 , следовательнов область левееэтой точкислучайнаявеличина попадаетс вероятностью0,005. Чтобы найтиx₁,рассмотримдве симметричныеобласти, изображенныена рисунке 5.Допустим, чтов каждой изэтих областейзначение случайнойвеличины оказываетсяс вероятностью0,005. Тогда получаем:x₁=– x,
x₂= x,причем x определяетсяиз условия
P(t> x) =0,01. Из таблицы2 находим: x= 3,055. Теперь можновыписать ответзадачи:

P(t> –3,055) = 0,995.

РаспределениеФишера.

Важные приложенияимеет в статистикеслучайнаявеличина

,

где– случайнаявеличина,распределеннаяпо закону ²с k₁степенямисвободы, а – случайнаявеличина,распределеннаяпо закону ²с k₂степенямисвободы.

Случайнаявеличина Fраспределенапо закону,называемомузаконом распределенияФишера сk₁и k₂степенямисвободы. Призаданных числахk₁ иk₂и по вероятностиq потаблице определяетсязначение F_qтакое, что

P(F> F_q)= q.

Обычнотаблицы составляютсядля значенийq, равных0,05 или 0,01, а иногдадля обоих этихзначений. Фрагменттакой таблицыпредставляетсобой таблица3.

k1 k2	1	...	10	...	20	...
1	161,4 647,8	...	241,9 6056	...	248 6209	...
...	...	...	...	...	...	...
10	4,96 10,04	...	2,97 4,85	...	2,77 4,41	...
...	...	...	...	...	...	...
Таблица3.

В этойтаблице в верхнейчасти каждойклетки даетсязначение F_qпри q= 0,05 , а в нижнейчасти — при q= 0,01.

6

Лекция 11.

Математическаястатистика.

Основнойзадачей математическойстатистикиявляется разработкаметодов получениянаучно обоснованныхвыводов о массовыхявлениях ипроцессах изданных наблюденийи экспериментов.Эти выводы изаключенияотносятся нек отдельнымиспытаниям,из повторениякоторых складываетсяданное массовоеявление, апредставляютсобой утвержденияоб общих вероятностныххарактеристикахданного процесса,то есть о вероятностях,законах распределения,математическихожиданиях,дисперсияхи т. д. Такоеиспользованиефактическихданных как рази являетсяотличительнойчертой статистическогометода.

Пустьмы располагаемсведениями(обычно довольноограниченными),например, очисле дефектныхизделий визготовленнойв определенныхусловиях продукцииили о результатахиспытанийматериаловна разрушениеи т. п. Собранныенами данныемогут представлятьнепосредственныйинтерес в смыслеинформациио качестве тойили иной партиипродукции.Статистическиеже проблемывозникаюттогда, когдамы на основетой же информацииначинаем делатьвыводы относительноболее широкогокруга явлений.Так напримернас можетинтересоватькачествотехнологическогопроцесса, длячего мы оцениваемвероятностьполучения внем дефектногоизделия илисреднюю долговечностьизделия. В этомслучае мырассматриваемсобранныйматериал неради его самого,а лишь как некуюпробную группуили выборку,представляющуютолько сериииз возможныхрезультатов,которые мымогли бы встретитьпри продолжениинаблюдениймассовогопроцесса вданной обстановке.Выводы и оценки,основанныена материаленаблюдений,отражают случайныйсостав пробнойгруппы и поэтомусчитаютсяприблизительнымиоценкамивероятностногохарактера. Вомногих случаяхтеория указывает,как наилучшимспособом использоватьимеющуюсяинформациюдля полученияпо возможностиболее точныхи надежныххарактеристик,указывая приэтом степеньнадежностивыводов, объясняющуюсяограниченностьюзапаса сведений.

Вматематическойстатистикерассматриваютсядве основныекатегориизадач: оцениваниеи статистическаяпроверка гипотез.Первая задачаразделяетсяна точечноеоцениваниеи интервальноеоцениваниепараметровраспределения.Например можетвозникнутьнеобходимостьпо наблюдениямполучить точечныеоценки параметровMx и Dx.Если мы хотимполучить некоторыйинтервал, с тойили иной степеньюдостоверностисодержащийистинное значениепараметра, тоэто задачаинтервальногооценивания.

Втораязадача – проверкагипотез – заключаетсяв том, что мыделаем предположениео распределениивероятностейслучайнойвеличины (например,о значенииодного илинесколькихпараметровфункции распределения)и решаем, согласуютсяли в некоторомсмысле этизначения параметровс полученнымирезультатаминаблюдений.

Выборочныйметод.

Пустьнам нужно обследоватьколичественныйпризнак в партииэкземпляровнекотороготовара. Проверкупартии можнопроводить двумяспособами:

1)провести сплошнойконтроль всейпартии;

2)провести контрольтолько частипартии.

Первыйспособ не всегдаосуществим,например,из–за большогочисла экземпляровв партии, из–задороговизныпроведенияоперации контроля,из–за того, чтоконтроль связанс разрушениемэкземпляра(проверкаэлектролампына долговечностьее работы).

Привтором способемножествослучайнымобразом отобранныхобъектов называетсявыборочнойсовокупностьюили выборкой.Все множествообъектов, изкоторого производитсявыборка, называетсягенеральнойсовокупностью.Число объектовв выборке называетсяобъемомвыборки.Обычно будемсчитать, чтообъем генеральнойсовокупностибесконечен.

Выборкиразделяютсяна повторные(с возвращением)и бесповторные(без возвращения).

Обычноосуществляютсябесповторныевыборки, ноблагодарябольшому(бесконечному)объему генеральнойсовокупностиведутся расчетыи делаютсявыводы, справедливыелишь для повторныхвыборок.

Выборкадолжна достаточнополно отражатьособенностивсех объектовгенеральнойсовокупности,иначе говоря,выборка должнабытьрепрезентативной(представительной).

Выборкиразличаютсяпо способуотбора.

1.Простой случайныйотбор.

Всеэлементы генеральнойсовокупностинумеруютсяи из таблицыслучайных чиселберут, например,последовательностьлюбых 30-ти идущихподряд чисел.Элементы свыпавшиминомерами ивходят в выборку.

2.Типическийотбор.

Такойотбор производитсяв том случае,если генеральнуюсовокупностьможно представитьв виде объединенияподмножеств,объекты которыходнородны покакому–топризнаку, хотявся совокупностьтакой однородностине имеет (партиятовара состоитиз несколькихгрупп, произведенныхна разныхпредприятиях).Тогда по каждомуподмножествупроводят простойслучайныйотбор, и в выборкуобъединяютсявсе полученныеобъекты.

3.Механическийотбор.

Отбираюткаждый двадцатый(сотый) экземпляр.

4.Серийный отбор.

Ввыборку подбираютсяэкземпляры,произведенныена каком–топроизводствев определенныйпромежутоквремени.

Вдальнейшемпод генеральнойсовокупностьюмы будем подразумеватьне само множествообъектов, амножествозначений случайнойвеличины, принимающейчисловое значениена каждом изобъектов.В действительностигенеральнойсовокупностикак множестваобъектов можети не существовать.Например имеетсмысл говоритьо множестведеталей, которыеможнопроизвести,используяданный технологическийпроцесс. Используякакие–то известныенам характеристикиданного процесса,мы можем оцениватьпараметры этогонесуществующегомножествадеталей. Размердетали – этослучайнаявеличина, значениекоторой определяетсявоздействиеммножествафакторов,составляющихтехнологическийпроцесс. Нас,например, можетинтересоватьвероятность,с которой этаслучайнаявеличина принимаетзначение,принадлежащеенекоторомуинтервалу. Наэтот вопросможно ответить,зная законраспределенияэтой случайнойвеличины, атакже ее параметры,такие как Mxи Dx.

Итак,отвлекаясьот понятиягенеральнойсовокупностикак множестваобъектов, обладающихнекоторымпризнаком,будем рассматриватьгенеральнуюсовокупностькак случайнуювеличину x,закон распределенияи параметрыкоторой определяютсяс помощью выборочногометода.

Рассмотримвыборку объемаn,представляющуюданную генеральнуюсовокупность.Первое выборочноезначение x₁будем рассматриватькак реализацию,как одно извозможныхзначений случайнойвеличины x₁,имеющей тотже закон распределенияс теми же параметрами,что и случайнаявеличина x.Второе выборочноезначение x₂– одно из возможныхзначений случайнойвеличины x₂с тем же закономраспределения,что и случайнавеличина x.То же самоеможно сказатьо значенияхx₃,x₄,...,x_n.

Такимобразом навыборку будемсмотреть какна совокупностьнезависимыхслучайныхвеличин x₁,x₂,..., x_n,распределенныхтак же, как ислучайнаявеличина x,представляющаягенеральнуюсовокупность.Выборочныезначения x₁,x₂,..., x_n– это значения,которые принялиэти случайныевеличины врезультате1-го,2-го,..., n-гоэксперимента.

Вариационныйряд.

Пустьдля объектовгенеральнойсовокупностиопределеннекоторыйпризнак иличисловаяхарактеристика,которую можнозамерить (размердетали, удельноеколичествонитратов вдыне, шум работыдвигателя). Этахарактеристика– случайнаявеличина x,принимающаяна каждом объектеопределенноечисловое значение.Из выборкиобъема nполучаем значенияэтой случайнойвеличины в видеряда из nчисел:

x₁,x₂,...,x_n.(*)

Эти числаназываютсязначениямипризнака.

Средичисел ряда (*)могут бытьодинаковыечисла. Еслизначения признакаупорядочить,то есть расположитьв порядке возрастанияили убывания,написав каждоезначение лишьодин раз, а затемпод каждымзначением x_iпризнака написатьчисло m_i,показывающеесколько разданное значениевстречаетсяв ряду (*):

x1	x2	x3	...	xk
m1	m2	m3	...	mk

то получитсятаблица, называемаядискретнымвариационнымрядом.Число m_iназываетсячастотой i-гозначенияпризнака.

Очевидно,что x_i в ряду(*) может не совпадатьс x_iв вариационномряду. Очевиднатакже справедливостьравенства

.

Еслипромежутокмежду наименьшими наибольшимзначениямипризнака ввыборке разбитьна несколькоинтерваловодинаковойдлины, каждомуинтервалупоставить всоответствиечисло выборочныхзначений признака,попавших в этотинтервал, тополучим интервальныйвариационныйряд. Еслипризнак можетпринимать любыезначения изнекоторогопромежутка,то есть являетсянепрерывнойслучайнойвеличиной,приходитсявыборку представлятьименно такимрядом. Если ввариационноминтервальномряду каждыйинтервал [a_i;a_i+1)заменить лежащимв его серединечислом (a_i+a_i+1)/2,то получимдискретныйвариационныйряд. Такая заменавполне естественна,так как, например,при измеренииразмера деталис точностьюдо одного миллиметравсем размерамиз промежутка[49,5; 50,5), будет соответствоватьодно число,равное 50.

Точечныеоценки параметровгенеральнойсовокупности.

Вомногих случаяхмы располагаеминформациейо виде законараспределенияслучайнойвеличины (нормальный,бернуллиевский,равномерныйи т. п.), но не знаемпараметровэтого распределения,таких как Mx,Dx.Для определенияэтих параметровприменяетсявыборочныйметод.

Пустьвыборка объемаn представленав виде вариационногоряда. Назовемвыборочнойсреднейвеличину

Величина

называетсяотносительнойчастотойзначения признакаx_i.Если значенияпризнака, полученныеиз выборки негруппироватьи не представлятьв виде вариационногоряда, то длявычислениявыборочнойсредней нужнопользоватьсяформулой

.

Естественносчитать величину

выборочнойоценкой параметраMx.Выборочнаяоценка параметра,представляющаясобой число,называетсяточечной оценкой.

Выборочнуюдисперсию

можносчитать точечнойоценкой дисперсииDxгенеральнойсовокупности.

Приведемеще один примерточечной оценки.Пусть каждыйобъект генеральнойсовокупностихарактеризуетсядвумя количественнымипризнакамиx иy.Например детальможет иметьдва размера– длину и ширину.Можно в различныхрайонах измерятьконцентрациювредных веществв воздухе ификсироватьколичестволегочных заболеванийнаселения вмесяц. Можночерез равныепромежуткивремени сопоставлятьдоходностьакций даннойкорпорациис каким-либоиндексом,характеризующимсреднюю доходностьвсего рынкаакций. В этомслучае генеральнаясовокупностьпредставляетсобой двумернуюслучайнуювеличину x,h.Эта случайнаявеличина принимаетзначения x,y на множествеобъектов генеральнойсовокупности.Не зная законасовместногораспределенияслучайныхвеличин xи h,мы не можемговорить оналичии или глубине корреляционнойсвязи междуними, однаконекоторыевыводы можносделать, используявыборочныйметод.

Выборкуобъема nв этом случаепредставимв виде таблицы,где
i-тыйотобранныйобъект (i=1,2,...n)представленпарой чиселx_i,y_i:

x1	x2	...	xn
y1	y2	...	yn

Выборочныйкоэффициенткорреляциирассчитываетсяпо формуле

Здесь

, ,

.

Выборочныйкоэффициенткорреляцииможно рассматриватькак точечнуюоценку коэффициентакорреляцииr_xh,характеризующегогенеральнуюсовокупность.

Выборочныепараметры

или любые другиезависят оттого, какиеобъекты генеральнойсовокупностипопали в выборкуи различаютсяот выборки квыборке. Поэтомуони сами являютсяслучайнымивеличинами.

Пустьвыборочныйпараметр dрассматриваетсякак выборочнаяоценка параметраDгенеральнойсовокупностии при этомвыполняетсяравенство

Md=D.

Такаявыборочнаяоценка называетсянесмещенной.

Длядоказательстванесмещённостинекоторыхточечных оценокбудем рассматриватьвыборку объемаn каксистему nнезависимыхслучайныхвеличин x₁,x₂,...x_n, каждая из которыхимеет тот жезакон распределенияс теми же параметрами,что и случайнаявеличина x,представляющаягенеральнуюсовокупность.При таком подходестановятсяочевиднымиравенства:Mx_i = Mx_i =Mx;
Dx_i= Dx_i=Dx для всех k= 1,2,...n.

Теперьможно показать,что выборочнаясредняя

есть несмещеннаяоценка среднейгенеральнойсовокупностиили , что то жесамое, математическогоожидания интересующейнас случайнойвеличины x:

.

Выведемформулу длядисперсиивыборочнойсредней:

.

Найдемтеперь, чемуравно математическоеожидание выборочнойдисперсии s ².Сначала преобразуемs ²следующимобразом:

Здесь использованопреобразование:

Теперь,используяполученноевыше выражениедля величиныs ²,найдем еематематическоеожидание.

.

Таккак Ms ²№Dx,выборочнаядисперсия неявляется несмещеннойоценкой дисперсиигенеральнойсовокупности.

Чтобыполучить несмещеннуюоценку дисперсиигенеральнойсовокупности,нужно умножитьвыборочнуюдисперсию на

.Тогда получитсявеличина ,называемаяисправленнойвыборочнойдисперсией.

Пустьимеется ряднесмещенныхточечных оценокодного и тогоже параметрагенеральнойсовокупности.Та оценка, котораяимеет наименьшуюдисперсиюназываетсяэффективной.

Полученнаяиз выборкиобъема nточечная оценкаd_nпараметра Dгенеральнойсовокупностиназываетсясостоятельной,если она сходитсяпо вероятностик D.Это означает,что для любыхположительныхчисел eи g найдется такоечисло n_eg, что для всехчисел n,удовлетворяющихнеравенствуn > n_egвыполняетсяусловие

.

и являютсянесмещёнными,состоятельнымии эффективнымиоценками величинMxи Dx.

11

Лекция 12.

Интервальныеоценки.

Точечныеоценки параметровгенеральнойсовокупностимогут бытьприняты в качествеориентировочных,первоначальныхрезультатовобработкивыборочныхданных. Их недостатокзаключаетсяв том, что неизвестно,с какой точностьюоцениваетсяпараметр. Еслидля выборокбольшого объематочность обычнобывает достаточной(при условиинесмещенности,эффективностии состоятельностиоценок), то длявыборок небольшогообъема вопросточности оценокстановитсяочень важным.

Введемпонятие интервальнойоценки неизвестногопараметрагенеральнойсовокупности(или случайнойвеличины ,определеннойна множествеобъектов этойгенеральнойсовокупности).Обозначим этотпараметр через.По сделаннойвыборке поопределеннымправилам найдемчисла ₁и ₂,так чтобы выполнялосьусловие:

P(₁₂)=P ((₁;₂))= 

Числа₁и ₂называютсядоверительнымиграницами,интервал (₁,₂)— доверительныминтерваломдля параметра.Число называетсядоверительнойвероятностьюили надежностьюсделаннойоценки.

Сначалазадается надежность.Обычно ее выбираютравной 0.95, 0.99 или0.999. Тогда вероятностьтого, что интересующийнас параметрпопал в интервал(₁,₂)достаточновысока. Число(₁+ ₂)/ 2 – серединадоверительногоинтервала –будет даватьзначение параметрас точностью(₂– ₁)/ 2, которая представляетсобой половинудлины доверительногоинтервала.

Границы₁и ₂определяютсяиз выборочныхданных и являютсяфункциями отслучайныхвеличин x₁,x₂,...,x_n ,а следовательно– сами случайныевеличины. Отсюда– доверительныйинтервал (₁,₂)тоже случаен.Он может покрыватьпараметр или нет.Именно в такомсмысле нужнопонимать случайноесобытие, заключающеесяв том, что доверительныйинтервал покрываетчисло .

Доверительныйинтервал дляматематическогоожидания нормальногораспределенияпри известнойдисперсии.

Пустьслучайнаявеличина (можно говоритьо генеральнойсовокупности)распределенапо нормальномузакону, длякоторого известнадисперсия D= ²(> 0). Из генеральнойсовокупности(на множествеобъектов которойопределенаслучайнаявеличина) делаетсявыборка объемаn. Выборкаx₁,x₂,...,x_n рассматриваетсякак совокупностьnнезависимыхслучайныхвеличин, распределенныхтак же как (подход, которомудано объяснениевыше по тексту).

Ранеетакже обсуждалисьи доказаныследующиеравенства:

Mx₁= Mx₂= ... = Mx_n= M;

Dx₁= Dx₂= ... = Dx_n= D;

M;

D/n;

Достаточнопросто доказать(мы доказательствоопускаем), чтослучайнаявеличина

в данном случаетакже распределенапо нормальномузакону.

Обозначимнеизвестнуювеличину Mчерез aи подберем позаданной надежности число d> 0 так, чтобывыполнялосьусловие:

P(

–ad) =(1)

Таккак случайнаявеличина

распределенапо нормальномузакону с математическиможиданием M = M= a идисперсиейD = D/n = ²/n,получаем:

P(

–ad)=P(a– d

a +d) =

=

Осталосьподобрать dтаким, чтобывыполнялосьравенство

или .

Длялюбого [0;1]можно по таблиценайти такоечисло t,что
(t )= / 2. Это числоt иногданазывают квантилем.

Теперьиз равенства

определимзначение d:

.

Окончательныйрезультатполучим, представивформулу (1) в виде:

.

Смыслпоследнейформулы состоитв следующем:с надежностьюдоверительныйинтервал

покрываетнеизвестныйпараметр a= Mгенеральнойсовокупности.Можно сказатьиначе: точечнаяоценка

определяетзначение параметраMс точностьюd=t /

и надежностью.

Задача.Пусть имеетсягенеральнаясовокупностьс некоторойхарактеристикой,распределеннойпо нормальномузакону с дисперсией,равной 6,25. Произведенавыборка объемаn = 27 иполученосредневыборочноезначениехарактеристики

=12. Найти доверительныйинтервал, покрывающийнеизвестноематематическоеожидание исследуемойхарактеристикигенеральнойсовокупностис надежностью
=0,99.

Решение.Сначала потаблице дляфункции Лапласанайдем значениеt изравенства (t) = / 2 = 0,495.По полученномузначению
t= 2,58 определимточность оценки(или половинудлины доверительногоинтервала) d:d =2,52,58 / 

1,24. Отсюда получаемискомый доверительныйинтервал: (10,76;13,24).

Доверительныйинтервал дляматематическогоожидания нормальногораспределенияпри неизвестнойдисперсии.

Пусть– случайнаявеличина,распределеннаяпо нормальномузакону с неизвестнымматематическиможиданием M,которое обозначимбуквой a. Произведемвыборку объемаn. Определимсреднюю выборочную

и исправленнуювыборочнуюдисперсию s² по известнымформулам.

Случайнаявеличина

распределенапо закону Стьюдентас n – 1степенямисвободы.

Задачазаключаетсяв том, чтобы позаданной надежностии по числу степенейсвободы n– 1 найтитакое числоt_, чтобы выполнялосьравенство

(2)

или эквивалентноеравенство

(3)

Здесь вскобках написаноусловие того,что значениенеизвестногопараметра aпринадлежитнекоторомупромежутку,который и являетсядоверительныминтервалом.Его границызависят отнадежности, а также от параметроввыборки

и s.

Чтобыопределитьзначение t_по величине,равенство (2)преобразуемк виду:

Теперьпо таблице дляслучайнойвеличины t,распределеннойпо закону Стьюдента,по вероятности1 –  и числу степенейсвободы n– 1 находим t_. Формула (3) даетответ поставленнойзадачи.

Задача.На контрольныхиспытаниях20-ти электролампсредняя продолжительностьих работы оказаласьравной 2000 часовпри среднемквадратическомотклонении(рассчитанномкак кореньквадратныйиз исправленнойвыборочнойдисперсии),равном 11-ти часам.Известно, чтопродолжительностьработы лампыявляется нормальнораспределеннойслучайнойвеличиной.Определитьс надежностью0,95 доверительныйинтервал дляматематическогоожидания этойслучайнойвеличины.

Решение.Величина 1 –  в данномслучае равна0,05. По таблицераспределенияСтьюдента, причисле степенейсвободы, равном19, находим: t_= 2,093. Вычислимтеперь точностьоценки: 2,093121/

= 56,6. Отсюда получаемискомый доверительныйинтервал:

(1943,4; 2056,6).

Доверительныйинтервал длядисперсиинормальногораспределения.

Пустьслучайнаявеличина распределенапо нормальномузакону, длякоторого дисперсияDнеизвестна.Делается выборкаобъема n. Из нее определяетсяисправленнаявыборочнаядисперсия s².Случайнаявеличина

распределенапо закону ²c n –1степенямисвободы. Позаданной надежности можно найтисколько угоднограниц ₁²и ₂² интервалов,таких, что

(*)

Найдем ₁²и ₂²из следующихусловий:

P(²₁²)= (1 – )/ 2(**)

P(²₂²)= (1 – )/ 2(***)

Очевидно,что при выполнениидвух последнихусловий справедливоравенство (*).

Втаблицах дляслучайнойвеличины ²обычно даетсярешение уравненияP(²_q²)= q . Изтакой таблицыпо заданнойвеличине qи по числу степенейсвободы n– 1 можно определитьзначение _q².Таким образом,сразу находитсязначение ₂²в формуле (***).

Дляопределения₁²преобразуем(**):

P(²₁²)= 1 – (1 – )/ 2 = (1 + )/ 2

Полученноеравенствопозволяетопределитьпо таблицезначение ₁².

Теперь,когда найденызначения ₁²и ₂²,представимравенство (*) ввиде

.

Последнееравенствоперепишем втакой форме,чтобы былиопределеныграницы доверительногоинтервала длянеизвестной
величиныD:

.

Отсюда легкополучить формулу,по которойнаходитсядоверительный интервал длястандартногоотклонения:

(****)

Задача.Будем считать,что шум в кабинахвертолетов одного и тогоже типа приработающихв определенномрежиме двигателях— случайнаявеличина,распределеннаяпо нормальномузакону. Былослучайнымобразом выбрано20 вертолетов,и произведенызамеры уровня шума (в децибелах)в каждом изних. Исправленнаявыборочнаядисперсияизмеренийоказаласьравной 22,5. Найтидоверительныйинтервал, накрывающийнеизвестноестандартноеотклонениевеличины шумав кабинах вертолетовданного типас надежностью98%.

Решение.По числу степенейсвободы, равному19, и по вероятности(1 – 0,98)/2 = 0,01 находимиз таблицыраспределения² величину
₂² = 36,2.Аналогичнымобразом привероятности(1 + 0,98)/2 = 0,99 получаем₁² = 7,63.Используяформулу (****), получаемискомый доверительныйинтервал: (3,44;7,49).

8

Лекция13.

Задачистатистическойпроверки гипотез.

Статистическаяпроверка гипотезявляется вторымпосле статистическогооцениванияпараметровраспределенияи в то же времяважнейшимразделомматематическойстатистики.

Методыматематическойстатистикипозволяютпроверитьпредположенияо законе распределениянекоторойслучайнойвеличины (генеральнойсовокупности),о значенияхпараметровэтого закона(например M,D), о наличиикорреляционнойзависимостимежду случайнымивеличинами,определеннымина множествеобъектов однойи той же генеральнойсовокупности.

Пустьпо некоторымданным имеютсяоснованиявыдвинутьпредположенияо законе распределенияили о параметрезакона распределенияслучайнойвеличины (илигенеральнойсовокупности,на множествеобъектов которойопределенаэта случайнаявеличина). Задачазаключаетсяв том, чтобыподтвердитьили опровергнутьэто предположение,используявыборочные(экспериментальные)данные.

Гипотезыо значенияхпараметров распределенияили о сравнительнойвеличине параметровдвух распределенийназываютсяпараметрическимигипотезами.

Гипотезыо виде распределенияназываютсянепараметрическимигипотезами.

Проверитьстатистическуюгипотезу – этозначит проверить,согласуютсяли данные, полученныеиз выборки сэтой гипотезой.Проверкаосуществляетсяс помощьюстатистическогокритерия.Статистическийкритерий – этослучайнаявеличина, законраспределениякоторой (вместесо значениямипараметров)известен вслучае, еслипринятая гипотезасправедлива.Этот критерийназывают ещекритериемсогласия(имеется в видусогласие принятойгипотезы срезультатами,полученнымииз выборки).

Гипотезу,выдвинутуюдля проверкиее согласияс выборочнымиданными, называютнулевойгипотезой иобозначаютH₀.Вместе с гипотезойH₀выдвигаетсяальтернативнаяили конкурирующаягипотеза,которая обозначаетсяH₁.Например:

1)	H0:M=0	2)	H0:M=0	3)	H0:M=0
	H1:M0		H1:M>0		H1:M=2

Пустьслучайнаявеличина K– статистическийкритерий проверкинекоторойгипотезы H₀.При справедливостигипотезы H₀закон распределенияслучайнойвеличины Kхарактеризуетсянекоторойизвестной намплотностьюраспределенияp_K(x).

Выберемнекоторую малуювероятность,равную 0,05 , 0,01 илиеще меньшую.Определимкритическоезначение критерияK_кркак решениеодного из трехуравнений, взависимостиот вида нулевойи конкурирующейгипотез:

P(K>K_кр)= (1)

P(K_кр)= (2)

P((K_кр1)(K>K_кр2))= (3)

Возможныи другие уравнения,но они встречаютсязначительнореже, чем приведенные.

Решениеуравнения (1)(то же самоедля уравнений(2) и (3)) заключаетсяв следующем:по вероятности,зная функциюp_K(x),заданную какправило таблицей,нужно определитьK_кр.

Чтоозначает условие(1)?

Еслигипотеза H₀справедлива,то вероятностьтого, что критерийKпревзойдетнекотороезначение K_крочень мала –0,05 , 0,01 или еще меньше,в зависимостиот нашего выбора.Если K_в– значениекритерия K,рассчитанноепо выборочнымданным, превзошлозначение K_кр,это означает,что выборочныеданные не даютоснования дляпринятия нулевойгипотезы H₀( например, если=0,01, то можно сказать,что произошлособытие, котороепри справедливостигипотезы H₀встречаетсяв среднем нечаще, чем в однойиз ста выборок).В этом случаеговорят, чтогипотезаH₀несогласуетсяс выборочнымиданными и должнабыть отвергнута.Если K_вне превосходитK_кр,то говорят, чтовыборочныеданные непротиворечатгипотезе H₀,и нет основанийотвергать этугипотезу.

Дляуравнения (1)область K>K_крназываетсякритическойобластью. Еслизначение K_впопадает вкритическуюобласть, тогипотеза H₀отвергается.

Дляуравнения (1)область K_крназываетсяобластьюпринятиягипотезы.Если значениеK_впопадает вобласть принятиягипотезы, тогипотеза H₀принимается.

Рисунок1. иллюстрируетрешение уравнения(1). Здесь p_K(x)– известнаяплотностьраспределенияслучайнойвеличины Kпри условиисправедливостигипотезы H₀.

Пустьвыбрано некотороемалое значениевероятности,по нему определенозначение K_кри по выборочнымданным определенозначение K_в,которое попалов критическуюобласть. В этомслучае гипотезаH₀отвергается,но она можетоказатьсясправедливой,просто случайнопроизошлособытие, котороеимеет оченьмалую вероятность.В этом смыслеесть вероятностьотверженияправильнойгипотезы H₀.

Отвержениеправильнойгипотезы называетсяошибкойпервогорода.Вероятностьназываетсяуровнем значимости.Таким образомуровеньзначимости– это вероятностьсовершенияошибки первогорода.

Критическаяобласть, полученнаядля уравнения(1) и приведеннаяна рисунке 1.,называетсяправосторонней.

Уравнение(2) определяетлевосторонююкритическуюобласть.Ее изображениеприводитсяна рисунке 2.

Отметим,что каждая иззаштрихованныхфигур на рисунках1. и 2. имеет площадь,равную .

Уравнение(3) определяетдвусторонююкритическуюобласть.Такая областьизображенана рисунке 3.Здесь критическаяобласть состоитиз двух частей.В случае двустороннейкритическойобласти границыее частей K_кр1и K_кр2определяютсятаким образом,чтобы выполнялосьусловие:

P(KK_кр)= P(KK_кр)= / 2.

На рисунке3. площадь каждойиз заштрихованныхфигур равна/ 2.

Видкритическойобласти зависитот того, какаягипотеза выдвинутав качествеконкурирующей.

Чемменьше уровеньзначимости,тем меньшевероятностьотвергнутьпроверяемуюгипотезу H₀,когда она верна,то есть совершитьошибку первогорода. Но с уменьшениемуровня значимостирасширяетсяобласть принятиягипотезы H₀и увеличиваетсявероятностьпринятия проверяемойгипотезы, когдаона неверна,то есть когдапредпочтениедолжно бытьотдано конкурирующейгипотезе.

Пустьпри справедливостигипотезы H₀статистическийкритерий Kимеет плотностьраспределенияp₀(x),а при справедливостиконкурирующейгипотезы H₁– плотностьраспределенияp₁(x).Графики этихфункций приведенына рисунке 4.При некоторомуровне значимостинаходитсякритическоезначение K_кри правостороняякритическаяобласть. Еслизначение K_в,определенноепо выборочнымданным, оказываетсяменьше, чемK_кр,то гипотезаH₀принимается.Предположим,что справедливана самом делеконкурирующаягипотеза H₁.Тогда вероятностьпопаданиякритерия вобласть принятиягипотезы H₀есть некотороечисло ,равное площадифигуры, образованнойграфиком функцииp₁(x)и полубесконечнойчастью горизонтальнойкоординатнойоси, лежащейслева от точкиK_кр.Очевидно, что– это вероятностьтого, что будетпринята невернаягипотеза H₀.

Принятиеневерной гипотезыназываетсяошибкой второгорода. Врассмотренномслучае число– это вероятностьошибки второгорода. Число1 – ,равноевероятноститого, что несовершаетсяошибка второгорода, называетсямощностьюкритерия.На рисунке 4мощность критерияравна площадифигуры, образованнойграфиком функцииp₁(x).иполубесконечнойчастью горизонтальнойкоординатнойоси, лежащейсправа от точкиK_кр.

Выборстатистическогокритерия и видакритическойобласти осуществляетсятаким образом,чтобы мощностькритерия быламаксимальной.

6

Лекция 14.

Проверкастатистическойгипотезы оматематическоможидании нормальногораспределенияпри известнойдисперсии.

Пустьимеется нормальнораспределеннаяслучайнаявеличина ,,определеннаяна множествеобъектов некоторойгенеральнойсовокупности.Известно, чтоD=  ².Математическоеожидание Mнеизвестно.Допустим, чтоимеются основанияпредполагать,что M= a, гдеa –некоторое число(такими основаниямимогут бытьограниченныесведения обобъектах генеральнойсовокупности,опыт исследованияподобныхсовокупностейи т. д.). Будемсчитать также,что имеетсядругая информация,указывающаяна то, что M= a₁,где a₁>a.

I.Выдвигаемнулевую гипотезуH₀:M= a;

при конкурирующейгипотезе H₁:M= a₁.

Делаемвыборку объемаn: x₁,x₂,...,x_n .В основе проверкилежит тот факт,что случайнаявеличина

(выборочнаясредняя) распределенапо нормальномузакону с дисперсией ²/nи математическиможиданием,равным aв случае справедливостиH₀,и равным a₁в случае справедливостиH₁.

Очевидно,что если величина

оказываетсядостаточномалой, то этодает основаниепредпочестьгипотезу H₀гипотезе H₁.При достаточнобольшом значении более вероятнасправедливостьгипотезы H₁.Задачу можнобыло бы поставитьтак: требуетсянайти некотороекритическоечисло, котороеразбивало бывсе возможныезначения выборочнойсредней ( в условияхданной задачиэто все действительныечисла ) на дваполубесконечныхпромежутка.При попадании в левый промежутокследовало быприниматьгипотезу H₀,а при попадании в правый промежутокпредпочтениеследовало быоказать гипотезеH₁.Однако на самомделе поступаютнесколькоиначе.

Вкачествестатистическогокритерия выбираетсяслучайнаявеличина

,

распределеннаяпо нормальномузакону , причемMz = 0 иDz = 1 (это следуетиз свойствматематическогоожидания идисперсии ) вслучае справедливостигипотезы H₀.Если справедливагипотеза H₁,то
Mz= a* = (a₁– a)

/,Dz = 1.

На рисунке1. изображеныграфики p₀(z)и p₁(z) – функцийплотностираспределенияслучайнойвеличины zпри справедливостигипотез H₀и H₁, соответственно.

Есливеличина

,полученнаяиз выборочныхданных, относительновелика, то ивеличина zвелика, чтоявляетсясвидетельствомв пользу гипотезыH₁.Относительномалые значения приводят кмалым значениямz, чтосвидетельствуетв пользу гипотезыH₀.Отсюда следует,что должна бытьвыбрана правосторонняякритическаяобласть. Попринятомууровню значимости(например = 0,05), используято, что случайнаявеличина zраспределенапо нормальномузакону, определимзначение K_криз формулы

= P(K_крz)= ()– (K_кр)= 0,5 – (K_кр).

Отсюда

,и осталосьвоспользоватьсятаблицей функцииЛапласа длянахождениячисла K_кр.

Есливеличина z,полученнаяпри выборочномзначении

,попадает вобласть принятиягипотезы (z K_кр),то гипотезаH₀принимается(делается вывод,что выборочныеданные непротиворечатгипотезе H₀).Если величинаz попадаетв критическуюобласть, тогипотеза H₀отвергается.

Вданной задачеможет бытьподсчитанамощность критерия:

Мощностькритерия тембольше, чембольше разностьa₁–a.

II.Если в предыдущейзадаче поставитьдругое условие:

H₀:M= a;

H₁:M= a₁, a₁a,

то сохранивсмысл всехрассуждений,здесь придетсярассматриватьлевостороннююкритическуюобласть, какизображенона рисунке 2.Здесь, как и впредыдущемслучае, a*= ( a₁ – a) /,а величина K_кр определяетсяиз формулы

= P(–z K_кр)= (K_кр)– (–)= (K_кр)+

.

Используяформулу –(K_кр)= (–K_кр),получаем:

(–K_кр)=

.

Отметим,что по смыслузадачи здесьK_кр– отрицательноечисло.

Значенияz,вычисленныепо выборочнымданным, превышающиеK_кр,согласуютсяс гипотезойH₀.Если величинаz попадаетв критическуюобласть (z K_кр),то гипотезуH₀следует отвергнуть,считая предпочтительнойгипотезу H₁.

III.Рассмотримтеперь такуюзадачу:

H₀:M= a;

H₁:Ma.

В данномслучае большиеотклонениявеличины zот нуля в положительнуюили отрицательнуюсторону должныприводить кзаключениюо ложностигипотезы H₀,то есть здесьследует рассматриватьдвустороннююкритическуюобласть, какизображенона рисунке 3.

Критическоезначение K_кропределяетсяс помощью соотношения

P(–K_крzK_кр)= 1 – = (K_кр)– (– K_кр)= 2(K_кр).

Из этогосоотношенияследует:

(K_кр)=

Проверкагипотезы оравенстведисперсий.

Гипотезыо дисперсиииграют оченьважную рольв экономико–математическоммоделировании,так как величинарассеянияэкспериментальныхвыборочныхданных относительнорассчитанныхтеоретическихзначенийсоответствующихпараметров,характеризующаясядисперсией,дает возможностьсудить о пригодности(адекватности)теории илимодели, на основаниикоторой строитсятеория.

Пустьнормальнораспределеннаяслучайнаявеличина определенана некотороммножестве,образующемгенеральнуюсовокупность,а нормальнораспределеннаяслучайнаявеличина определенана другом множестве,которое тожесоставляетгенеральнуюсовокупность.Из обеих совокупностейделаются выборки:из первой –объема n₁,а из второй –объема n₂(отметим, чтообъем выборкине всегда можноопределитьзаранее, какнапример вслучае, еслион равен количествурыб, попавшихв сеть). По каждойвыборке рассчитываетсяисправленнаявыборочнаядисперсия: s₁²для выборкииз первойсовокупностии s₂²для выборкииз второйсовокупности.

Поставимзадачу: с помощьювыборочныхданных проверитьстатистическуюгипотезу H₀:D= D.В качествеконкурирующейгипотезы будемрассматриватьидею, заключающуюсяв том, что дисперсиятой совокупности,для которойисправленнаявыборочнаядисперсияоказаласьнаибольшей,больше дисперсиидругой совокупности.Критерий беретсяв следующемвиде:

.

ЗдесьS**–наибольшаяиз двух оценокs₁²и s₂²,а S*–наименьшаяиз тех же двухоценок.

КритерийFраспределенпо закону Фишерас k₁и k₂степенямисвободы. Здесь

k₁ = n₁–1,k₂ = n₂–1,если S**=s₁²;

k₁ = n₂–1,k₂ = n₁–1,если S**=s₂².

Вэтой задачеестественнорассматриватьправостороннююкритическуюобласть, таккак достаточнобольшие выборочныезначения критерияF свидетельствуютв пользу конкурирующейгипотезы.

Призаданном уровнезначимостиq (обычноq =0,05или q=0,01) критическоезначение F_кр определяетсяиз таблицыраспределенияФишера. В случаеF > F_кргипотеза H₀отвергается,а в случае FF_кр– принимается.

Пустьдва множестванекоторыхобъектов, обладающихколичественнымпризнаком,подвергнутывыборочномуконтролю. Значенияколичественногопризнака естьраспределенныепо нормальномузакону случайныевеличины, которыемы обозначим₁и ₂,соответственно,для первогои для второгомножеств. Изпервого множества сделана выборкаобъема n₁=21и подсчитанаисправленнаявыборочнаядисперсия,оказавшаясяравной 0,75. Извторого множествасделана выборкаобъема n₂=11.Эта выборкадала значениеисправленнойвыборочнойдисперсии,равное 0,25. Выдвигаемгипотезу H₀:D₁=D₂.Конкурирующаягипотеза H₁заключаетсяв том, что D₁>D₂.В данном случаевыборочноезначение F_вкритерия Фишераравно 3. Привыбранномуровне значимостиq = 0,05по числам степенейсвободы k₁=20,k₂=10находим потаблице распределенияФишера F_кр=2,77.Так как F_в> F_кр,гипотеза оравенстведисперсийдолжна бытьотвергнута.

Проверкастатистическойзначимостивыборочногокоэффициентакорреляции.

Проверкойстатистическойзначимостивыборочнойоценки  параметрагенеральнойсовокупностиназываетсяпроверкастатистическойгипотезыH₀:= 0, при конкурирующейгипотезе
H₁:0. Если гипотезаH₀отвергается,то оценкасчитаетсястатистическизначимой.

Пустьимеются двеслучайныевеличины и ,определенныена множествеобъектов однойи той же генеральнойсовокупности,причем обеимеют нормальноераспределение.Задача заключаетсяв проверкестатистическойгипотезы оботсутствиикорреляционнойзависимостимежду случайнымивеличинамии .

H₀:_= 0;

H₁:_0.

Здесь_– коэффициентлинейной корреляции.

Производитсявыборка объемаn ивычисляетсявыборочныйкоэффициенткорреляцииr. Застатистическийкритерий принимаетсяслучайнаявеличина

,

котораяраспределенапо закону Стьюдентас n– 2 степенямисвободы.

Отметимсначала, чтовсе возможныезначения выборочногокоэффициентакорреляцииr лежатв промежутке[–1;1]. Очевидно,что относительнобольшие отклоненияв любую сторонузначений tот нуля получаютсяпри относительнобольших, тоесть близкихк 1, значенияхмодуляr. Близкиек 1 значениямодуля rпротиворечатгипотезе H₀,поэтому здесьестественнорассматриватьдвустороннююкритическуюобласть длякритерия t.

Поуровню значимостии по числу степенейсвободы n– 2 находим изтаблицы распределенияСтьюдентазначение t_кр.Если модульвыборочногозначения критерияt_впревосходитt_кр,то гипотезаH₀отвергаетсяи выборочныйкоэффициенткорреляциисчитаетсястатистическизначимым. Впротивномслучае, то естьесли t_в t_кри принимаетсягипотеза H₀,выборочныйкоэффициенткорреляциисчитаетсястатистическинезначимым.

7

4

Статистическоеопределениевероятности.

Рассмотримслучайныйэксперимент,заключающийсяв том, что подбрасываетсяигральнаякость, сделаннаяиз неоднородногоматериала. Еецентр тяжестине находитсяв геометрическомцентре. В этомслучае мы неможем считатьисходы (выпадениеединицы, двойкии т.д.) равновероятными.Из физики известно,что кость болеечасто будетпадать на тугрань, котораяближе к центрутяжести. Какопределитьвероятностьвыпадения,например, трехочков? Единственное,что можно сделать,это подброситьэту кость nраз (где n-достаточнобольшое число,скажем n=1000или n=5000),подсчитатьчисло выпаденийтрех очков n₃и считать вероятностьисхода, заключающегосяв выпадениитрех очков,равной n₃/n - относительнойчастоте выпадениятрех очков.Аналогичнымобразом можноопределитьвероятностиостальныхэлементарныхисходов — единицы,двойки, четверкии т.д. Теоретическитакой образдействий можнооправдать, есливвести статистическоеопределениевероятности.

ВероятностьP(_i)определяетсякак пределотносительнойчастоты появленияисхода _iв процессенеограниченногоувеличениячисла случайныхэкспериментовn,то есть

,

гдеm_n(_i)– число случайныхэкспериментов(из общего числаnпроизведенныхслучайныхэкспериментов),в которыхзарегистрированопоявлениеэлементарногоисхода _i.

Так какздесь не приводитсяникаких доказательств,мы можем тольконадеяться, чтопредел в последнейформуле существует,обосновываянадежду жизненнымопытом и интуицией.

Геометрическаявероятность

В одномспециальномслучае дадимопределениевероятностисобытия дляслучайногоэкспериментас несчетныммножествомисходов.

Еслимежду множествомэлементарныхисходов случайногоэкспериментаи множествомточек некоторойплоской фигуры(сигма большая)можно установитьвзаимно-однозначноесоответствие,а также можоустановитьвзаимно-однозначноесоответствиемежду множествомэлементарныхисходов, благоприятствующихсобытию А,и множествомточек плоскойфигуры (сигма малая),являющейсячастью фигуры,то

,

где s—площадь фигуры,S— площадь фигуры.

Пример.Два человекаобедают в столовой,которая открытас 12 до 13 часов.Каждый из нихприходит впроизвольныймомент времении обедает втечение 10 минут.Какова вероятностьих встречи?

Пустьx— время приходапервого в столовую,аy— время приходавторого

.

Рис.6

Можноустановитьвзаимно-однозначноесоответствиемежду всемипарами чисел(x;y)(или множествомисходов) и множествомточек квадратасо стороной,равной 1, накоординатнойплоскости, гденачало координатсоответствуетчислу 12 по осиXи по осиY,как изображенона рисунке 6.Здесь, например,точка Асоответствуетисходу, заключающемусяв том, что первыйпришел в 12.30, авторой - в 13.00. Вэтом случае,очевидно, встречане состоялась.

Еслипервый пришелне позже второго(yx),то встречапроизойдетпри условии0 y- x 1/6 (10 мин.- это 1/6 часа).

Есливторой пришелне позже первого(x    y),то встречапроизойдетпри условии0 x - y 1/6..

Междумножествомисходов, благоприятствующихвстрече, и множествомточек области,изображеннойна рисунке 7в заштрихованномвиде, можноустановитьвзаимно-однозначноеcоответствие.

Рис. 7

Искомаявероятностьpравна отношениюплощади областик площади всегоквадрата.. Площадьквадрата равнаединице, а площадьобласти можно определитькак разностьединицы и суммарнойплощади двухтреугольников,изображенныхна рисунке 7.Отсюда следует:

Непрерывноевероятностноепространство.

Какуже говорилосьранее, множествоэлементарныхисходов можетбыть более, чемсчетным (тоесть несчетным).В этом случаенельзя считатьлюбое подмножествомножества Wсобытием.

Чтобыввести определениеслучайногособытия, рассмотримсистему (конечнуюили счетную)подмножеств

пространстваэлементарныхисходов W.

Вслучае выполнениятрех условий:

1)Wпринадлежитэтой системе;

2)из принадлежностиАэтой системеследует принадлежность

этой системе;

3)из принадлежности

и этой системеследует принадлежностьA_iUA_jэтойсистеме

такаясистема подмножествназываетсяалгеброй.

ПустьW— некотороепространствоэлементарныхисходов. Убедитесьв том, что двесистемы подмножеств:

1)W,Ж;2) W,А,

,Ж(здесь А—подмножество )являются алгебрами.

ПустьA₁и A₂принадлежатнекоторойалгебре. Докажите,что A₁\ A₂ и A₁∩A₂принадлежатэтой алгебре.

ПодмножествоА несчетногомножестваэлементарныхисходов Wявляется событием,если оно принадлежитнекоторойалгебре.

Сформулируемаксиому, называемуюаксиомой А.Н.Колмогорова.

Каждомусобытию соответствуетнеотрицательноеи не превосходящееединицы числоP(А),называемоевероятностьюсобытия А,причем функцияP(А)обладает следующимисвойствами:

1)Р(W)=1

2)если событияA₁,A₂,...,A_nнесовместны,то

P(A₁UA₂U...UA_n)= P(A₁)+ P(A₂)+...+P(A_n)

Еслизадано пространствоэлементарныхисходов W,алгебра событийи определеннаяна ней функцияР,удовлетворяющаяусловиям приведеннойаксиомы, тоговорят, чтозадано вероятностноепространство.

Этоопределениевероятностногопространстваможно перенестина случай конечногопространстваэлементарныхисходов W.Тогда в качествеалгебры можновзять системувсех подмножествмножества W.

Формулысложениявероятностей.

Изпункта 2 приведеннойаксиомы следует,что еслиA₁и A₂несовместныесобытия, то

P(A₁UA₂)= P(A₁)+ P(A₂)

ЕслиA₁и A₂— совместныесобытия, тоA₁UA₂=(A₁\A₂)UA₂,причем очевидно,что A₁\A₂и A₂— несовместныесобытия. Отсюдаследует:

P(A₁UA₂)= P(A₁\A₂)+ P(A₂)(*)

Далееочевидно: A₁= (A₁\A₂)U(A₁∩A₂),причем A₁\A₂и A₁∩A₂-несовместныесобытия, откудаследует: P(A₁)= P(A₁\A₂)+ P(A₁∩A₂)Найдем из этойформулы выражение для P(A₁\A₂)и подставимего в правуючасть формулы(*). В результатеполучим формулусложениявероятностей:

P(A₁UA₂)= P(A₁)+ P(A₂)– P(A₁∩A₂)

Изпоследнейформулы легкополучить формулусложения вероятностейдля несовместныхсобытий, положивA₁∩A₂= .

Пример.Найти вероятностьвытащить тузаили червовуюмасть при случайномотборе однойкарты из колодыв 32 листа.

Р(ТУЗ ) = 4/32 = 1/8; Р(ЧЕРВОВАЯ МАСТЬ) = 8/32 = 1/4;

Р( ТУЗ ЧЕРВЕЙ) = 1/32;

Р((ТУЗ )U(ЧЕРВОВАЯМАСТЬ )) = 1/8 + 1/4 - 1/32 =11/32

Того жерезультатаможно былодостичь с помощьюклассическогоопределениявероятности,пересчитавчисло благоприятныхисходов.

Условныевероятности.

Рассмотримзадачу. Студентперед экзаменомвыучил из 30 билетовбилеты с номерамис 1 по 5 и с 26 по 30.Известно, чтостудент наэкзамене вытащилбилет с номером,не превышающим20. Какова вероятность,что студентвытащил выученныйбилет?

Определимпространствоэлементарныхисходов:=(1,2,3,...,28,29,30).Пусть событиеАзаключаетсяв том, чтостудентвытащил выученныйбилет: А = (1,...,5,25,...,30,),а событие В—в том, что студентвытащил билетиз первых двадцати:В = (1,2,3,...,20)

СобытиеА∩Всостоит из пятиисходов: (1,2,3,4,5), иего вероятностьравна 5/30. Это числоможно представитькак произведение дробей 5/20 и 20/30. Число20/30 - это вероятностьсобытия B.Число 5/20 можнорассматриватькак вероятностьсобытия Апри условии,что событиеВпроизошло(обозначим еёР(А/В)).Таким образомрешение задачиопределяетсяформулой

P(А∩В)= Р(А/В)Р(B)

Этаформула называетсяформулой умножениявероятностей, а вероятностьР(А/В)— условнойвероятностьюсобытия A.

Пример..Изурны, содержащей7 белых и 3 черныхшаров, наудачуодин за другимизвлекают (безвозвращения)два шара. Каковавероятностьтого, что первыйшар будет белым,а второй черным?

ПустьX— событие, состоящеев извлечениипервым белогошара, а Y— событие,состоящее визвлечениивторым черногошара. Тогда X∩Y- событие, заключающеесяв том, что первыйшар будет белым,а второй — черным.P(Y/X)=3/9 =1/3 — условнаявероятностьизвлечениявторым черногошара, если первымбыл извлеченбелый. Учитывая,что P(X)= 7/10, по формулеумножениявероятностейполучаем: P(X∩Y)= 7/30

СобытиеА называетсянезависимымот события В(иначе: событияА и В называютсянезависимыми),еслиР(А/В)=Р(А).За определениенезависимыхсобытий можнопринять следствиепоследнейформулы и формулыумножения

P(А∩В)= Р(А)Р(B)

Докажитесамостоятельно,что если Аи В— независимыесобытия, то

и тоже являютсянезависимымисобытия.

Пример.Рассмотримзадачу, аналогичнуюпредыдущей,но с однимдополнительнымусловием: вытащивпервый шар,запоминаемего цвет и возвращаемшар в урну, послечего все шарыперемешиваем.В данном случаерезультатвторого извлеченияникак не зависитот того, какойшар - черныйили белый появилсяпри первомизвлечении.Вероятностьпоявленияпервым белогошара (событиеА)равна 7/10. Вероятностьсобытия В- появлениявторым черногошара - равна3/10. Теперь формулаумножениявероятностейдает: P(А∩В)= 21/100.

Извлечениешаров способом,описанным вэтом примере,называетсявыборкойс возвращениемиливозвратнойвыборкой.

Следуетотметить, чтоесли в двухпоследнихпримерах положитьизначальныеколичествабелых и черныхшаров равнымисоответственно7000 и 3000, то результатырасчетов техже вероятностейбудут отличатьсяпренебрежимомало для возвратнойи безвозвратнойвыборок.

Лекция3

Формулаполной вероятности.

Пусть имеетсягруппа событийH₁,H₂,...,H_n , обладающаяследующимисвойствами:

1)Все событияпопарно несовместны:H_i∩H_j=Ж; i,j=1,2,...,n; i№j

2)Их объединениеобразует пространствоэлементарныхисходов :

=H₁UH₂U... UH_n.

Рис.8

В этомслучае будемговорить, чтоH₁, H₂,...,H_n образуютполнуюгруппу событий.Такие события иногда называютгипотезами.

Пусть А- некотороесобытие: А(диаграммаВенна представленана рисунке 8).Тогда имеетместо формулаполной вероятности:

P(A)= P(A/H₁)P(H₁)+ P(A/H₂)P(H₂)+ ...+ P(A/H_n)P(H_n)=

Доказательство.Очевидно: A= (A∩H₁)U(A∩H₂)U...U(A∩H_n),причем всесобытия A∩H_i(i =1,2,...,n)попарно несовместны.Отсюда по теоремесложения вероятностейполучаем

P(A)= P(A∩H₁)+ P(A∩H₁)+...+P(A∩H_n)

Если учесть,что по теоремеумноженияP(A∩H_i)= P(A/H_i)P(H_i)(i =1,2,...,n), то из последнейформулы легкополучить приведеннуювыше формулуполной вероятности.

Пример. Вмагазине продаютсяэлектролампыпроизводстватрех заводов,причем доляпервого завода- 30%,второго - 50%,третьего - 20%.Брак в их продукциисоставляетсоответственно5%,3%и 2%.Какова вероятностьтого, что случайновыбранная вмагазине лампаоказаласьбракованной.

Пусть событиеH₁состоит в том,что выбраннаялампа произведенана первом заводе,H₂на втором, H₃- на третьемзаводе. Очевидно:

P(H₁)= 3/10, P(H₂)= 5/10, P(H₃)= 2/10.

Пусть событиеА состоитв том, что выбраннаялампа оказаласьбракованной;A/H_i означает событие,состоящее втом, что выбраннабракованнаялампа из ламп,произведенныхна i-омзаводе. Из условиязадачи следует:

P(A/H₁)= 5/10; P(A/H₂)= 3/10; P(A/H₃)= 2/10

По формулеполной вероятностиполучаем

ФормулаБайеса

Пусть H₁,H₂,...,H_n- полная группасобытий и А- некотороесобытие. Тогдапо формуле дляусловной вероятности

(*)

Здесь P(H_k/A)- условнаявероятностьсобытия (гипотезы)H_kили вероятностьтого, что H_kреализуетсяпри условии,что событиеАпроизошло.

По теоремеумножениявероятностейчислительформулы (*) можнопредставитьв виде

P(H_k∩A)= P(A∩H_k)= P(A/H_k)P(H_k)

Для представлениязнаменателяформулы (*) можноиспользоватьформулу полнойвероятности

P(A)

Теперь из(*) можно получитьформулу, называемуюформулойБайеса:

По формулеБайеса исчисляетсявероятностьреализациигипотезы H_kпри условии,что событиеАпроизошло.Формулу Байесаеще называютформулойвероятностигипотез.

Пример.Рассмотримприведеннуювыше задачуоб электролампах,только изменимвопрос задачи.Пусть покупателькупил электролампув этом магазине,и она оказаласьбракованной.Найти вероятностьтого, что эталампа изготовленана втором заводе.

Выпишем формулуБайеса дляэтого случая

Изэтой формулыполучаем: P(H₂/ A)= 15/34

Предлагаемчитателю решитьсамостотельнодве задачи.

.№1.Впервой урне7 белых и 3 черныхшара, во второй- 8 белых и 2 черных.Из первой урныслучайнымобразом извлекаетсяшар и перекладываетсяво вторую урну.После перемешиванияшаров во второйурне из нееизвлекаетсяодин шар. Найтивероятностьтого, что извлеченныйиз второй урнышар — белый.

№2.Вусловие задачи№1 внесем изменение.Пусть послеперекладыванияшара из первойурны во вторуюиз второй урныизвлечен белыйшар. Найтивероятностьтого, что изпервой урныво вторую былпереложенчерный шар.

Повторныенезависимыеиспытания.Формула Бернулли.

Рассмотримслучай многократногоповторенияодного и тогоже испытанияили случайногоэксперимента.Результаткаждого испытаниябудем считать не зависящимот того, какойрезультатнаступил впредыдущихиспытаниях.В качестверезультатовили элементарныхисходов каждогоотдельногоиспытания будемразличать лишьдве возможности:

1)появлениенекоторогособытия А;

2)появлениесобытия

,(события, являющегосядополнениемА)

Пусть вероятностьP(A)появлениясобытия Апостоянна иравна p(0.p1).ВероятностьP(

)события обозначим черезq: P( )= 1- p=q.

Примерами такихиспытаний могутбыть:

1)подбрасываниемонеты: А- выпадениегерба;

- выпадениецифры.

P(A)= P(

)= 0,5.

2)бросание игральнойкости: А - выпадениеколичестваочков, равногопяти,

выпадениелюбого количестваочков кромепяти.

P(A)=1/6, P(

)=5/6.

3)извлечениенаудачу изурны, содержащей7 белых и 3 черныхшара, одногошара (с возвращением):А -извлечениебелого шара,

- извлечениечерного шара

P(A)= 0,7; P(

)= 0,3

Пусть произведеноnиспытаний,которые мыбудем рассматриватькак один сложныйслучайныйэксперимент.Составим таблицуиз nклеток, расположенныхв ряд, пронумеруемклетки, и результаткаждого испытаниябудем отмечатьтак: если в i-миспытаниисобытие Апроизошло, тов i-юклетку ставимцифру 1, еслисобытие Ане произошло(произошлособытие

),в i-юклетку ставим0.

Если, например,проведено 5испытаний, исобытие А произошлолишь во 2 -м и5-м испытаниях,то результатможно записатьтакой последовательностьюнулей и единиц:0; 1; 0; 0; 1.

Каждомувозможномурезультатуnиспытаний будетсоответствоватьпоследовательностьn цифр1 или 0, чередующихсяв том порядке,в котором появляютсясобытия Aи

в nиспытаниях,например:

1;1; 0; 1; 0; 1; 0; 0; ... 0; 1; 1; 0



nцифр

Всего такихпоследовательностейможно составить

(это читательможет доказатьсам).

Так какиспытаниянезависимы,то вероятностьP каждоготакого результатаопределяетсяпутем перемножениявероятностейсобытий Aи

в соответствующихиспытаниях.Так, например,для написанноговыше результатанайдем

P= ppqpqpqq...qppq

Если в написаннойнами последовательностиединица встречаетсях раз (этозначит, чтонуль встречаетсяn-x раз),то вероятностьсоответствующегорезультатабудет pⁿq^n-x независимоот того, в какомпорядке чередуютсяэти xединиц и n-xнулей.

Все события,заключающиесяв том, что в nиспытанияхсобытие Aпроизошло xраз, а событие

произошло n-xраз, являютсянесовместными.Поэтому длявычислениявероятностиобъединенияэтих событий(или суммы этихсобытий), нужносложить вероятностивсех этих событий,каждая из которыхравна pⁿq^n-x .Всего такихсобытий можнонасчитатьстолько, сколькоможно образоватьразличныхпоследовательностейдлины n,содержащихx цифр"1" и n-xцифр "0". Такихпоследовательностейполучаетсястолько, сколькимиспособами можноразместитьx цифр"1" (или n-xцифр "0") на nместах, то естьчисло этихпоследовательностей равно

ОтсюдаполучаетсяформулаБернулли:

P_n(x)=

Поформуле Бернуллирассчитываетсявероятностьпоявлениясобытия A"x"разв nповторныхнезависимыхиспытаниях,где p- вероятность появлениясобытия Aв одном испытании,q -вероятностьпоявлениясобытия

в одном испытании.

Сформулированныеусловия проведенияиспытанийиногда называются"схемойповторныхнезависимыхиспытаний"или "схемойБернулли"

Число xпоявлениясобытияA в nповторныхнезависимыхиспытанияхназываетсячастотой.

Пример. Из урны,содержащей2 белых и 6 черныхшаров наудачувыбираетсяс возвращением5 раз подряд один шар. Подсчитатьвероятностьтого, что 4 разапоявится белыйшар.

В приведенныхвыше обозначенияхn=8;p=1/4;q=3/4;x=5.Искомую вероятностьвычисляем поформуле Бернулли:

По формулеБернулли можноподсчитатьвероятностивсех возможныхчастот: x=0,1,2,3,4,5.

Заметим,что если в этойзадаче считать,что белых шаровбыло 20000, а черных60000, то очевидноp иqостанутсянеизменными.Однако в этойситуации можнопренебречьвозвращениемизвлеченногошара послекаждой выборки(при не слишкомбольших значенияхx) и считатьвероятностивсех частот:x=0,1,2,... по формулеБернулли.

ФормулаБернулли призаданных числахp иnпозволяетрассчитыватьвероятностьлюбой частотыx (0 x n).Возникаетестественныйвопрос: какойчастоте будетсоответствоватьнаибольшаявероятность?

Предположим,что такая частотасуществует,и попытаемсяее определитьиз условия, чтовероятностьэтой частотыне меньше вероятности"предыдущей"и "последующей"частот:

P_n(x)P_n(x-1);P_n(x)P_n(x+1)(1)

Первоенеравенство(*) представляетсяв виде:

,

чтоэквивалентно

или .Отсюда следует:

Решая второенеравенство(1), получим

Таким образом,частота, имеющаянаибольшуювероятность(чем вероятнейшаячастота), определяетсядвойным неравенством

Если np + p– целое число(тогда и np – q– целое число),то две частоты:x=np – qи x=np + pобладают наибольшейвероятностью.Например, при

,наивероятнейшиечастоты: x = 3;x = 4.

Случайнаявеличина,распределеннаяпо закону Бернулли.

При двух заданныхчислах:

1)n -количествеповторныхнезависимыхиспытаний,

2)p -вероятностисобытия A в одномиспытании

можнопо формулеБернулли подсчитатьзначение вероятностикаждого целогочисла x

,где x– число появленийсобытия A в nиспытаниях(частота появлениясобытия A).

Таким образом,каждому исходуслучайногоэксперимента,заключающегосяв серии из nиспытаний посхеме Бернулли,соответствуетопределенноечисло x,рассматриваемоекак случайнаявеличина,принимающаязначения 0, 1,2,...n.Соответствиемежду значениямиx иих вероятностями(рассчитаннымипо формулеБернулли) называетсязаконом распределенияБернулли. Строгоеопределениеслучайнойвеличины изакона распределениябудет данопозже.

Можнопостроитьграфик законараспределенияБернулли (зависимости )для конкретныхзначений nи p.Так как аргументx принимаетлишь целыезначения, графикпредставляетсяв виде точекна плоскости .Для наглядноститочки соединяютсяломаной линией,и такой графикназываетсяполигономраспределения.

При

,как показанона рисунке 9,полигон симметриченотносительнопрямой x=np(если pблизко к 0,5, тополигон близокк симметричному)

При малыхp полигонсущественноасимметричен,и наивероятнейшимиявляются частоты,бизкие к нулю.На рисунке 10изображенполигон распределениядля p=0,2при числе испытанийn,равном6-ти.

При большихp, близкихк 1, наиболеевероятны максимальныезначения. Нарисунке 11 показанполигон распределения,для p=0,8и n=6.

О других свойствахбернуллиевскогораспределениябудет говоритьсяпозже.

6

Лекция4

Асимптотическиеформулы дляформулы Бернулли.

Впрактическихзадачах частоприходитсявычислятьвероятностиразличныхсобытий, связанныхс числом успеховв nиспытанияхпри большихзначениях n.В этих случаяхвычисленияпо формуле поформуле Бернуллистановятсязатруднительными.Трудностивозрастают,когда приходитсясуммироватьвероятности

.К суммированиюсводится вычислениевероятностейсобытий видаk ЈxЈl,как, например,в такой задаче:

Проводится70 испытаний посхеме Бернуллис вероятностьюпоявлениясобытия А водном испытании,равной 0,4. Найтивероятностьтого, что событиеА произойдетот 25 до 35 раз, тоесть найтиP_n(25Ј x Ј 35).

Вотдельныхслучаях прибольших n удаетсязаменить формулуБернуллиприближеннымиформулами.Такие формулы,которые получаютсяпри условии

называютсяасимптотическими.

Еслиnдостаточновелико, а p- величина оченьмалая, для формулыБернулли имеетместо приближенная(асимптотическая)формула

Здесь

( - греческаябуква "лямбда").Эта формуланазываетсяформулойПуассона.По формулеПуассона вычисляютсявероятностичисла появленийочень редкихсобытий в массовыхиспытаниях.

Задача.Телефоннаястанция обслуживает1000 абонентов.В течение часалюбой абонентнезависимоот остальныхможет сделатьвызов с вероятностью0,05. Требуетсянайти вероятностьтого, что в течениечаса было неболее 7 вызовов.

Здесь

.Пусть x- число вызовов.Нас интересуютзначения x,равные

Еслиnдостаточновелико, pне сильно отличаетсяот 0,5, имеет местоформула Муавра-Лапласа,иногда называемаялокальнойформулойЛапласа.

,где

Изформулы видно,что одинаковыеотклоненияот величиныnp вправои влево здесьимеют одинаковыевероятности.В формуле Бернуллиэто имеет местолишь при p=0.5.

Чтобыопределитьвероятностьтого, что в 50испытанияхпо схеме Бернуллипри p=0.45событие Анаступило30 раз, нужновоспользоватьсятаблицей значенийфункции

.Часто встречаютсятаблицы значенийтак называемой"локальной"функции Лапласа.

Еслиnдостаточновелико, а pне сильно отличаетсяот 0,5, имеет местоинтегральнаяформула Лапласа:

Здесь

— функция Лапласа,значения которойопределяютсяиз таблиц.

Длявычисленийиспользуютсясвойства функцииЛапласа

Приt=3,5

,и так как - монотонновозрастающаяфункция, впрактическихрасчетах при можно принимать .

Задача.Игральную костьбросают 800 раз.Какова вероятностьтого, что числоочков, кратное3, выпадает неменее 280 и не более294 раз?

Здесь

3

10

Дискретныеслучайныевеличины.

Часторезультатомслучайногоэкспериментаявляется число.Например, можноподброситьигральную костьи получить одноиз чисел: 1,2,3,4,5,6.Можно подъехатьк бензоколонкеи обнаружитьопределённоечисло автомашинв очереди. Можновыстрелитьиз пушки и измеритьрасстояниеот места выстреладо места паденияснаряда. В такихслучаях будемговорить, чтоимеем дело сослучайнойвеличиной.

Каждомуисходу случайногоэкспериментапоставим всоответствиеединственноечисло x_k —значениеслучайнойвеличины. Тогдаестественнорассматриватьслучайнуювеличину какфункцию, заданнуюна множествеисходов случайногоэксперимента.

Случайнаявеличина, котораяможет приниматьлишь конечноеили счётноечисло значений,называетсядискретной.

Случайныевеличины будемобозначатьбуквами греческогоалфавита: (кси), (эта), Значения случайнойвеличины будемзаписыватьв виде конечнойили бесконечнойпоследовательностиx₁, x₂,, x_n,

Еслиговорится, чтозадана случайнаявеличина ,это значит, чтокаждому исходу_kслучайногоэкспериментапоставленов соответствиеединственноечисло x_k, чтозаписываетсяв виде равенстваx_k = (_k).

Некоторыеиз значенийx_k могутсовпадать, тоесть различнымисходам может соответствоватьодно и то жечисло x. Есливсе значенияслучайнойвеличины совпадают,то будем говорить,что случайнаявеличина постоянна.

ПустьА_k — множествовсех элементарныхисходов, каждомуиз которыхсоответствуетзначение x_k(k = 1,2,,n)случайнойвеличины .Этот факт можнозаписать в видеформулы

Таким образом,А_k – этособытие (строгоговоря, этоверно лишь вслучае конечногоили счётногочисла исходов).Для каждогособытия А_kопределим числор_k  0,равное вероятностиэтого события:р_k = P(A_k).Очевидно, что

,A_i∩A_j =  (i,j = 1,2,,n,ij), .

Теперькаждому значениюx_k случайнойвеличины можно поставитьв соответствиевероятностьр_k = P(A_k)события А_k.Если такоесоответствиеопределеното будем говорить,что задан законраспределениядискретнойслучайнойвеличины .Обычно законраспределениядискретнойслучайнойвеличиныпредставляетсяв виде таблицы

	х1	х2	х3		хn	(1)
P	p1	p2	p3		pn

Вдальнейшемдля краткостибудем называтьвеличину p_iвероятностьюзначения х_iслучайнойвеличины. Отметим,что законраспределениясодержит всюинформациюо случайнойвеличине, изадать случайнуювеличину можно,просто представивеё закон распределения.

Пустьдве случайныевеличины

 = {x₁,x₂,,x_n};  = {у₁,у₂,,у_m}(2)

определенына одном и томже пространствеэлементарныхисходов. ЕслиА_i (i = 1,2,,n)– событие,объединяющеевсе исходы,приводящиек значению х_iслучайнойвеличины ,а В_j (j = 1,2,,m)– событие,объединяющеевсе исходы,приводящиек значению у_iслучайнойвеличины ,то можно определитьслучайнуювеличину  =  + ,которая принимаетвсе возможныезначения

 = x_i + y_j.Каждому такомузначению случайнойвеличины ставится всоответствиевероятность ,равная вероятностипересечениясобытий А_iи В_j:

 = P(A_i∩B_j).

Таким образомопределяетсязакон распределениясуммы двухслучайныхвеличин. Такжеможно определитьзаконы распределенияразности  – ,произведения  ичастного

случайныхвеличин (последнийлишь в случае,если не принимаетнулевого значения).

Две случайныевеличины

 = {x₁,x₂,,x_n};  = {у₁,у₂,,у_m},

определённыена одном и томже пространствеэлементарныхисходов, имеющиезаконы распределения

	х1		xi				y1		yj	
Р						Р				

называютсянезависимыми,если при любыхi и jвыполняетсяравенство

Р(( = х_i) ∩ ( = y_j)) = 

Пример1.Брошены двеигральныхкости. Числоочков, выпавшеена первой кости,– случайнаявеличина .Число очков,выпавшее навторой кости– случайнаявеличина .Считаем, чтовсе исходы(( = i)∩( = j))(i = 1,2,,6;j = 1,2, ,6)равновероятны,всего их 36, поэтому

P(( = i)∩( = j)) = 

Так какP( = i) = 

и P( = j)) =  ,очевидно, чтопо определению и  – независимыеслучайныевеличины.

Пример2. Даны две независимыеслучайныевеличины и с заданнымизаконамираспределения

	0	1			1	2
Р				Р

Определимслучайныевеличины и следующимобразом:  =  + , = .Выясним, являютсяли независимымислучайныевеличины  и.

Составимзакон распределения.Наименьшеезначение равняется 1.Вероятностьсобытия  = 1равна вероятностисобытия ( = 0)∩( = 1),которая в силунезависимости и равна

.Событие  = 2совпадает ссобытием(( = 0)∩( = 2)) (( = 1)∩( = 1)).Его вероятностьравна

.

Максимальноезначение ,равное 3, имеетвероятность

.Таким образом,закон распределенияслучайнойвеличины можно представитьтаблицей

	1	2	3
Р

Законраспределения представляетсятаблицей

	0	1	2
Р

Рассмотримсобытия  = 3и  = 0.Очевидно, что

Р( = 3)Р( = 0) = 

Сдругой стороны,событие ( = 3)∩( = 0)–невозможное,так как  = 3только при = 1, а = 0лишь при  = 0.Отсюда следует,что

Р(( = 3)∩( = 0)) = 0,

итеперь ясно,что, по крайнеймере, в одномслучае условиеопределениянезависимостидля случайныхвеличин и  невыполняется.Отсюда следует,что эти случайныевеличины зависимы.

Математическоеожидание случайнойвеличины.

Пустьзадан законраспределенияслучайнойвеличины .

	х1	х2	х3		хn
P	p1	p2	p3		pn

Математическоеожидание М(или М())случайнойвеличины определяетсяформулой

Рассмотримпример. Пустьв некотороммагазине, торгующемэлектробытовойтехникой, полученыстатистическиеданные о числепроданныххолодильниковв каждый деньмесяца (условносчитаем, чтомесяц состоитиз 30 рабочихдней). Эти данныесобраны в таблицу

Количествопроданныххолодильников	0	1	2	3	4	5
Число дней,в которые былопродано столькохолодильников	3	7	8	9	2	1

По этой таблицелегко подсчитатьчисло холодильников,проданных вмагазине замесяц:0*1+1*7+2*8+3*9+4*2+5*1 = 63. Чтобыподсчитатьсреднее числохолодильников,продававшихсяв один деньмесяца, нужноэту сумму разделитьна 30, в результатеполучим 2,1. Еслив приведеннойтаблице каждоечисло второйстроки поделитьна 30, то получитсяпоследовательностьдробей

,

каждаяиз которыхпредставляетсобой так называемуюотносительнуючастоту, скоторой в данныймесяц появлялсяприведенныйв верхней строкеобъём продаж.Очевидно, чтоесли просуммироватьвсе произведениячисел, стоящихв первой строкетаблицы, на ихотносительныечастоты, тополучится тоже среднеечисло продававшихсяв один деньхолодильников:

Еслибы в последнейформуле относительныечастоты рассчитывалисьне для одногомесяца, а длясущественнобольшего срока,то при некоторыхусловиях (например,при отсутствиикризисныхявлений, существенновлияющих наспрос населенияна дорогостоящиетовары) этиотносительныечастоты можнобыло бы считатьдовольно близкимик вероятностямсоответствующихзначений объёмапродаж. Такимобразом, приходимк выводу, чтоматематическоеожидание случайнойвеличины – этов некоторомсмысле её среднеезначение. Следуетотметить, чтослучайнаявеличина можетвообще не приниматьзначения, равногоеё математическомуожиданию. Так,например, случайнаявеличина, принимающаятолько значения1 и –1, каждое –с вероятностью0,5, имеет математическоеожидание, равноенулю.

Пример.Найти математическоеожидание случайнойвеличины, заданнойзаконом распределения

	1	0
Р	p	q

Здесьp + q = 1.

M = 1р + 0q = р

Свойстваматематическогоожидания.

1. Если случайнаявеличина принимает однои то же значениепри всех исходахслучайногоэксперимента,то есть   С,то её математическоеожидание равноС.

2. Если М = а,и k – константа,то М(k) = kM(математическоеожидание случайнойвеличины, умноженнойна число, равноматематическомуожиданию случайнойвеличины,умноженномуна это число).

3. Если М = а,и k – константа,то М(k + ) = k + M(математическоеожидание суммыслучайнойвеличины ичисла равносумме этогочисла и математическогоожидания случайнойвеличины).

Выведемформулу дляматематическогоожидания суммыдвух случайныхвеличини ,определённыхна одном и томже пространствеэлементарныхисходов и заданныхзаконамираспределения

	х1		xn			y1		yk
Р					Р		

М( + )=(х₁ + у₁)Р(( = х₁) ∩ ( = у₁))+ (х₂ + у₁)Р(( = х₂) ∩ ( = у₁)) +
+(х_i + у_j)Р(( = х_i) ∩ ( = у_j)) +  + (х_n + у_k)Р(( = х_n) ∩ ( = у_k))

Очевидно,что сумма вправой частипоследнейформулы содержитnk слагаемых.Преобразуемэту сумму следующимобразом:

М( + )= х₁ Р((=х₁)∩(=у₁)) + х₁ Р((=х₁)∩(=у₂)) ++х₁ Р((=х₁)∩(=у_k)) ++ х₂Р((=х₂)∩(=у₁)) + х₂Р((=х₂)∩(=у₂)) + + х₂Р((=х₂)∩(=у_k)) + 

+ х_nР((=х_n)∩(=у₁)) + х_nР((=х_n)∩(=у₂)) + + х_nР((=х_n)∩(=у_k)) + 

+ у₁Р((=х₁)∩(=у₁)) + у₁Р((=х₂)∩(=у₁)) + + у₁Р((=х_n)∩(=у₁)) +

+ у₂Р((=х₁)∩(=у₂)) + у₂Р((=х₂)∩(=у₂)) + + у₂Р((=х_n)∩(=у₂)) + 

+ у_kР((=х₁)∩(=у_k)) + у_kР((=х₂)∩(=у_k)) + + у_kР((=х_n)∩(=у_k)) =

= х₁(Р((=х₁)∩(=у₁)) + Р((=х₁)∩(=у₂)) + + Р((=х₁)∩(=у_k))) +

+ х₂(Р((=х₂)∩(=у₁)) + Р((=х₂)∩(=у₂)) + + Р((=х₂)∩(=у_k))) + +

+ х_n(Р((=х_n)∩(=у₁)) + Р((=х_n)∩(=у₂)) + + Р((=х_n)∩(=у_k))) +

+ у₁(Р((=х₁)∩(=у₁)) + Р((=х₂)∩(=у₁)) + + Р((=х_n)∩(=у₁))) +

+ у₂(Р((=х₁)∩(=у₂)) + Р((=х₂)∩(=у₂)) + + Р((=х_n)∩(=у₂))) + 

+ у_k(Р((=х₁)∩(=у_k)) + Р((=х₂)∩(=у_k)) + + Р((=х_n)∩(=у_k))) =

= х₁Р(=х₁) + х₂Р(=х₂) ++ х_n Р(=х_n) +

+ у₁Р(=у₁) + у₂Р(=у₂) ++ у₁Р(=у₁) = M + M

Привыводе этойформулы использованочевидный факт,что, например,событие =х₁можно представитьв виде объединениянесовместныхсобытий (=х₁)∩(=у₁),(=х₁)∩(=у₂),,(=х₁)∩(=у_n).

Пример.

Заданыn одинаковораспределённыхслучайныхвеличин ₁,₂, ,_nс закономраспределения

i	1	0
P	p	q

Найтиматематическоеожидание суммыэтих случайныхвеличин.

Решение.

M(

) =  = np

Теорема.

Еслислучайныевеличины и  независимы,то

М() = ММ

Доказательство.

Еслизаданы законыраспределениядвух независимыхслучайныхвеличин и 



х1



xi



xn



y1



yj



yk

Р





Р





томатематическоеожидание произведенияэтих случайныхвеличин можнопредставитьследующимобразом:

М() = 

 =

= х₁

+х₂

++ х_i

+ х_n

 =

= х₁

M + х₂

M + + х_i

M+ х_n

M = M

= ММ

Дисперсияслучайнойвеличины.

ДисперсияDслучайнойвеличины определяетсяформулой

D = M( – M)²

Дисперсияслучайнойвеличины — этоматематическоеожидание квадратаотклоненияслучайнойвеличины отеё математическогоожидания.

Рассмотримслучайнуювеличину с закономраспределения

	1	2	3
Р

Вычислимеё математическоеожидание.

M = 1

 + 2  + 3  = 

Составим законраспределенияслучайнойвеличины – M

–M
Р

азатем законраспределенияслучайнойвеличины( – M)²

(–M)2
Р

Теперьможно рассчитатьвеличину D :

D = 

  +    +    = 

Используяопределениедисперсии, длядискретнойслучайнойвеличины формулувычислениядисперсии можнопредставитьв таком виде:

D = 

Можновывести ещёодну формулудля вычислениядисперсии:

D = 

= 

= M² – M²

Таким образом,дисперсияслучайнойвеличины равнаразностиматематическогоожидания квадратаслучайнойвеличины иквадрата еёматематическогоожидания.

Пример.

Найтидисперсиюслучайнойвеличины, заданнойзаконом распределения

	1	0
Р	p	q

Выше было показано,что M= р. Легко видеть,что M²= р. Таким образом,получается,что D= р – р² = pq.

Дисперсияхарактеризуетстепень рассеяниязначений случайнойвеличины относительноеё математическогоожидания. Есливсе значенияслучайнойвеличины тесносконцентрированыоколо её математическогоожидания ибольшие отклоненияот математическогоожиданиямаловероятны,то такая случайнаявеличина имеетмалую дисперсию.Если значенияслучайнойвеличины рассеяныи велика вероятностьбольших отклоненийот математическогоожидания, тотакая случайнаявеличина имеетбольшую дисперсию.

Свойствадисперсии.

1. Еслиk– число, то D(k)= k²D.

Доказательство.

D(k)= M(k– M(k))²= M(k– k M)²= M(k²(– M)²)= k²M(– M)²=

= k²D

2. Дляпопарно независимыхслучайныхвеличин ₁,₂,,_nсправедливоравенство

Это свойствооставим бездоказательства.Рекомендуемчитателю рассмотретьследующийпример.

Пусть и – независимыеслучайныевеличины сзаданнымизаконамираспределения:

	0	1			1	2
Р	0,25	0,75		Р	0,7	0,7

Показать,что D(+ ) = D+ D.

3

Биномиальныйзакон распределения.

Пустьзаданы числаn Nи p(0 p 1). Тогдакаждому целомучислу из промежутка[0;n]можнопоставить всоответствиевероятность,рассчитаннуюпо формулеБернулли. Получимзакон распределенияслучайнойвеличины (назовёмеё )

	0		k		n
Р					

Будем говорить,что случайнаявеличина распределенапо закону Бернулли.Такой случайнойвеличинойявляется частотапоявлениясобытия А в nповторныхнезависимыхиспытаниях,если в каждомиспытаниисобытие А происходитс вероятностьюp.

Рассмотримотдельное i-еиспытание.Пространствоэлементарныхисходов длянего имеет вид

Определимна этом пространствеслучайнуювеличину _iследующимобразом:

_i= 1,если происходитсобытие А;

_i= 0,если происходитсобытие

Закон распределенияслучайнойвеличины _iрассматривалсяв предыдущемпараграфе.

i	1	0
Р	p	q= 1–p

M = р;D= рq

Дляi = 1,2,,nполучаем системуиз nнезависимыхслучайныхвеличин _i,имеющих одинаковыезаконы распределения.Если теперьсравнить законыраспределениядвух случайныхвеличин и

,то можно сделатьочевидныйвывод:= .Отсюда следует,что для случайнойвеличины ,имеющей законраспределенияБернулли,математическоеожидание идисперсияопределяютсяформулами

M= M

= = =np;

D= D

= = =npq

Найдёмоценку величиныр — вероятностиуспеха в одномиспытаниинекоторогобиномиальногоэксперимента.Для этого проведёмn испытанийи подсчитаемх – число успехов.Оценку р^*неизвестнойвеличины ропределимформулой р^*=

.

Пример.

Из20 отобранныхдля контроляобразцов продукции4 оказалисьнестандартными.Оценим вероятностьтого, что случайновыбранныйэкземплярпродукции неотвечает стандартуотношениемр^*= 4/20= 0,2.

Таккак х случайнаявеличина, р^*– тоже случайнаявеличина. Значенияр^* могутменяться отодного экспериментак другому (врассматриваемомслучае экспериментомявляется случайныйотбор и контроль20-ти экземпляровпродукции).Каково математическоеожиданиер^*? Посколькухесть случайнаявеличина,обозначающаячисло успеховв nиспытанияхпо схеме Бернулли,Мx= np.Для математическогоожидания случайнойвеличины р*по определениюполучаем:Mp* = M

,но nздесьявляется константой,поэтому посвойствуматематическогоожидания

Mp* = 

Такимобразом, “всреднем”получаетсяистинное значениер,чего и следовалоожидать. Этосвойство оценкир*величины римеет название:р*является несмещённойоценкойдля р.Отсутствиесистематическогоотклоненияот величиныоцениваемогопараметра рподтверждаетцелесообразностьиспользованиявеличины р*в качествеоценки. Вопросо точностиоценки покаоставляемоткрытым.

3

Биномиальныйзакон распределения.

Пустьзаданы числаn Nи p(0 p 1). Тогдакаждому целомучислу из промежутка[0;n]можнопоставить всоответствиевероятность,рассчитаннуюпо формулеБернулли. Получимзакон распределенияслучайнойвеличины (назовёмеё )

	0		k		n
Р					

Будем говорить,что случайнаявеличина распределенапо закону Бернулли.Такой случайнойвеличинойявляется частотапоявлениясобытия А в nповторныхнезависимыхиспытаниях,если в каждомиспытаниисобытие А происходитс вероятностьюp.

Рассмотримотдельное i-еиспытание.Пространствоэлементарныхисходов длянего имеет вид

Определимна этом пространствеслучайнуювеличину _iследующимобразом:

_i= 1,если происходитсобытие А;

_i= 0,если происходитсобытие

Закон распределенияслучайнойвеличины _iрассматривалсяв предыдущемпараграфе.

i	1	0
Р	p	q= 1–p

M = р;D= рq

Дляi = 1,2,,nполучаем системуиз nнезависимыхслучайныхвеличин _i,имеющих одинаковыезаконы распределения.Если теперьсравнить законыраспределениядвух случайныхвеличин и

,то можно сделатьочевидныйвывод:= .Отсюда следует,что для случайнойвеличины ,имеющей законраспределенияБернулли,математическоеожидание идисперсияопределяютсяформулами

M= M

= = =np;

D= D

= = =npq

Найдёмоценку величиныр — вероятностиуспеха в одномиспытаниинекоторогобиномиальногоэксперимента.Для этого проведёмn испытанийи подсчитаемх – число успехов.Оценку р^*неизвестнойвеличины ропределимформулой р^*=

.

Пример.

Из20 отобранныхдля контроляобразцов продукции4 оказалисьнестандартными.Оценим вероятностьтого, что случайновыбранныйэкземплярпродукции неотвечает стандартуотношениемр^*= 4/20= 0,2.

Таккак х случайнаявеличина, р^*– тоже случайнаявеличина. Значенияр^* могутменяться отодного экспериментак другому (врассматриваемомслучае экспериментомявляется случайныйотбор и контроль20-ти экземпляровпродукции).Каково математическоеожиданиер^*? Посколькухесть случайнаявеличина,обозначающаячисло успеховв nиспытанияхпо схеме Бернулли,Мx= np.Для математическогоожидания случайнойвеличины р*по определениюполучаем:Mp* = M

,но nздесьявляется константой,поэтому посвойствуматематическогоожидания

Mp* = 

Такимобразом, “всреднем”получаетсяистинное значениер,чего и следовалоожидать. Этосвойство оценкир*величины римеет название:р*является несмещённойоценкойдля р.Отсутствиесистематическогоотклоненияот величиныоцениваемогопараметра рподтверждаетцелесообразностьиспользованиявеличины р*в качествеоценки. Вопросо точностиоценки покаоставляемоткрытым.

5

Непрерывныеслучайныевеличины.

Случайнаявеличина, значениякоторой заполняютнекоторыйпромежуток,называетсянепрерывной.

Вчастных случаяхэто может бытьне один промежуток,а объединениенесколькихпромежутков.Промежуткимогут бытьконечными,полубесконечнымиили бесконечными,например: (a;b],(–;a),[b;),(–;).

Вообщенепрерывнаяслучайнаявеличина – этоабстракция.Снаряд, выпущенныйиз пушки, можетпролететь любоерасстояние,скажем, от 5 до5,3 километров,но никому непридёт в головуизмерять этувеличину сточностью до0,0000001 километра(то есть домиллиметра),не говоря ужеоб абсолютнойточности. Впрактике такоерасстояниебудет дискретнойслучайнойвеличиной, укоторой однозначение отдругого отличаетсяпо крайней мерена 1 метр.

Приописании непрерывнойслучайнойвеличиныпринципиальноневозможновыписать изанумероватьвсе её значения,принадлежащиедаже достаточноузкому интервалу.Эти значенияобразуют несчётноемножество,называемое«континуум».

Если– непрерывнаяслучайнаявеличина, торавенство  = хпредставляетсобой, как и вслучае дискретнойслучайнойвеличины, некотороеслучайноесобытие, но длянепрерывнойслучайнойвеличины этособытие можносвязать лишьс вероятностью,равной нулю,что однако невлечёт за собойневозможностисобытия. Такнапример, можноговорить, чтотолько с вероятностью«нуль» снарядпролетит 5245,7183метра, или чтоотклонениедействительногоразмера деталиот номинальногосоставит 0,001059миллиметра.В этих случаяхпрактическиневозможноустановить,произошлособытие илинет, так какизмерениявеличин проводятсяс ограниченнойточностью, ив качестверезультатаизмерения можнофактическиуказать лишьграницы болееили менее узкогоинтервала,внутри которогонаходитсяизмеренноезначение.

Значениямнепрерывнойслучайнойвеличины присущанекотораянеопределенность.Например, нетпрактическогосмысла различатьдва отклоненияот номинальногоразмера, равные0,5 мм и 0,5000025 мм. Вероятность,отличная отнуля, можетбыть связанатолько с попаданиемвеличины взаданный, хотябы и весьмаузкий, интервал.Здесь можнопривести сравнениес распределениеммассы вдольстержня. Отсутствуетмасса, сосредоточенная,скажем, в сечении,расположенномна расстоянии20 см от левогоконца стержня,имеет смыслговорить лишьо массе, заключённоймежду сечениями,проходящимичерез концынекоторогопромежутка.

Пусть– непрерывнаяслучайнаявеличина. Рассмотримдля некоторогочисла хвероятностьнеравенствах  х + х

P(х  х + х).

Здесьх – величинамалого интервала.

Очевидно,что если х  0,то P(х  х + х)  0.Обозначим р(х)предел отношенияP(х  х + х)к при х  0,если такойпредел существует:

(1)

Функцияр(х)называетсяплотностьюраспределенияслучайнойвеличины. Изформулы (1) следуетравенство,справедливоедля малых величинх,которое такжеможно считатьопределениемфункции р(х):

P(х  х + х) 

 p(x)х(2)

Очевидно,что p(x)– неотрицательнаяфункция. Дляопределениявероятноститого, что случайнаявеличина примет значениеиз промежутка[a, b]конечной длины,нужно выбратьна промежуткепроизвольныечислаx₁, х₂,, х_nудовлетворяющиеусловиюа=х₀х₁x₂x_nb=x_n+1.Эти числа разобьютпромежуток[a, b]на n+1частей, представляющихсобой промежутки[х₀, х₁),[х₁, х₂), ,[х_n, b].Введём обозначения:

х₀=х₁–х₀,х₁=х₂–х₁,,х_n=b– х_n,

исоставим сумму

.Рассмотримпроцесс, прикотором числоточек разбиениянеограниченновозрастаеттаким образом,что максимальнаявеличина х_iстремится кнулю. Будемсчитать функциюp(x)непрерывнойна промежутке(а; b),тогда пределомсуммы будетопределённыйинтеграл по промежутку[a;b]от функцииp(x),равный искомойвероятности:

P(a    b) = 

(3)

Э

Рис.1

то равенствоможно такжерассматриватькак определениефункции р(х).Отсюда следует,что вероятностьпопаданияслучайнойвеличины влюбой интервал(х₁,х₂)равна площадифигуры, образованнойотрезком [х₁,х₂]оси х,графикомфункции р(х)и вертикальнымипрямыми х = х₁,х = х₂,как изображенона рисунке 1.

Есливсе возможныезначения случайнойвеличины принадлежатинтервалу(а; b),то для р(х) – еёплотностираспределениясправедливоравенство

Дляудобства иногдасчитают функциюр(х) определённойдля всех значенийх,полагая еёравной нулюв тех точкахх,которые неявляются возможнымизначениямиэтой случайнойвеличины.

Плотностьюраспределенияможет служитьлюбая интегрируемаяфункция р(х),удовлетворяющаядвум условиям:

1. р(х)  0;

2. 

Можнозадавать случайнуювеличину, задаваяфункцию р(х),удовлетворяющуюэтим условиям.

Вкачестве примерарассмотримслучайнуювеличину ,равномернораспределённуюна промежутке[a; b].В этом случаер(х) постояннавнутри этогопромежутка:

Посвойству 2) функциир(х)

О

Рис.2

тсюда .График функциир(х) представленна рисунке 2.

Вомногих практическихзадачах встречаютсяслучайныевеличины, укоторых возможныезначения неограниченысверху и снизу.В этом случаекривая распределениярасполагаетсянад осью хи при х   и х  – асимптотическиприближаетсяк этой оси, какизображенона рисунке 1.Вероятностьтого, что случайнаявеличина примет значение,меньшее некоторогочисла а,равна площадифигуры, заключённоймежду кривойраспределенияи горизонтальнойкоординатнойосью слева отточки а.Будем считать,что такая площадьсуществует.

Пусть– непрерывнаяслучайнаявеличина. ФункцияF(x),которая определяетсяравенством

,

называетсяинтегральнойфункциейраспределенияили простофункциейраспределенияслучайнойвеличины .Непосредственноиз определенияследует равенство

.Формула производнойопределённогоинтеграла поверхнему пределув данном случаеприводит ксоотношению .Плотностьраспределенияр(х)называютдифференциальнойфункциейраспределения.

ФункцияраспределенияF(x)случайнойвеличины имеетследующиесвойства.

1. F(x)— непрерывнаявозрастающаяфункция.

2. ;
   

Свойства1 и 2 вытекаютнепосредственноиз определенияфункции F(x).

3. ПриращениеF(x)на промежутке(х₁;х₂)равно вероятноститого, что случайнаявеличина принимаетзначение изэтого промежутка:

F(x₂)– F(x₁)= P(x₁x₂)

Доказательство.

F(x₂)= P(x₂)= P(x₁)+ P(x₁x₂)= F(x₁)+ P(x₁x₂)

Отсюда

P(x₁x₂)= F(x₂)– F(x₁)

Заметим,что для непрерывнойслучайнойвеличины справедливыравенства

P(x₁x₂)= P(x₁ x₂)= P(x₁ x₂)= P(x₁x₂)

Дляравномерногораспределенияфункция F(x)имеет вид:

Рис. 3

Графикфункции F(x)представленна рисунке 3.

Законраспределениянепрерывнойслучайнойвеличины можноопределитьзаданием либофункции р(х),либо функцииF(x).

9

_{Правило3-х (трех “сигм”).}

_{Пустьимеется нормальнораспределённаяслучайнаявеличина с математическиможиданием,равным аи дисперсией2.Определимвероятностьпопадания в интервал(а – 3; а + 3),то есть вероятностьтого, что принимаетзначения,отличающиесяот математическогоожидания неболее, чем натри среднеквадратическихотклонения.}

_{P(а – 3 а + 3)=Ф(3) – Ф(–3)=2Ф(3)}

_{Потаблице находимФ(3)=0,49865,откуда следует,что 2Ф(3)практическиравняетсяединице. Такимобразом, можносделать важныйвывод: нормальнаяслучайнаявеличина принимаетзначения,отклоняющиесяот ее математическогоожидания неболее чем на3.}

_{(Выборчисла 3 здесьусловен и никакне обосновывается:можно быловыбрать 2,8, 2,9 или3,2 и получитьтот же вероятностныйрезультат.Учитывая, чтоФ(2)=0,477,можно было быговорить и оправиле 2–х“сигм”.)}

Совместноераспределениедвух случайныхвеличин.

_{Пустьпространствоэлементарныхисходов случайногоэкспериментатаково, чтокаждому исходуijставиться всоответствиезначение случайнойвеличины ,равное xiи значениеслучайнойвеличины ,равное yj.}

_{Примеры:}

1. _{Представимсебе большуюсовокупностьдеталей, имеющихвид стержня.Случайныйэкспериментзаключаетсяв случайномвыборе одногостержня. Этотстержень имеетдлину, которуюбудем обозначатьи толщину—(можно указатьдругие параметры—объем,вес, чистотаобработки,выраженнаяв стандартныхединицах).}

2. _{Еслирезультатэксперимента—случайныйвыбор какого–либопредприятияв данной области,то за можно приниматьобъем производстваотнесенныйк количествусотрудников,а за —объемпродукции,идущей на экспорт,тоже отнесеннойк числу сотрудников.}

_{Вэтом случаемы можем говоритьо совместномраспределениислучайныхвеличин и или о “двумерной”случайнойвеличине.}

_{Еслии дискретны ипринимаютконечное числозначений (– n значений,а – k значений),то закон совместногораспределенияслучайныхвеличин и можно задать,если каждойпаре чисел xi,yj(где xiпринадлежитмножествузначений ,а y j—множествузначений )поставить всоответствиевероятностьpij,равную вероятностисобытия, объединяющеговсе исходы ij(и состоящеголишь из этихисходов), которыеприводят кзначениям}

_{ =xi;= y j.}

_{Такойзакон распределенияможно задатьв виде таблицы:}

 	y1	y2		yj		yk
x1	р11	р12		р1j		р1k	P1
							
xi	рi1	рi2		рij		рik	Pi	(*)
							
xn	рn1	рn2		рnj		рnk	Pn
	P1	P2		Pj		Pk	

_{Очевидно}

_{Еслипросуммироватьвсе рijв i–йстроке, то получим}

_{вероятностьтого, что случайнаявеличина примет значениеxi. Аналогично,если просуммироватьвсе рijв j–мстолбце, тополучим}

_{вероятностьтого, что принимаетзначение yj.}

_{Соответствиеxi  Pi (i = 1,2,,n)определяетзакон распределения,также каксоответствиеyj  Pj (j = 1,2,,k)определяетзакон распределенияслучайнойвеличины .}

_{Очевидно}

, .

_{Раньшемы говорили,что случайныевеличины и независимы,если}

_{pij=PiPj (i=1,2,,n;j=1,2,,k).}

_{Еслиэто не выполняется,то и зависимы.}

_{Вчем проявляетсязависимостьслучайныхвеличин и и как ее выявитьиз таблицы?}

_{Рассмотримстолбец y1.Каждому числуxiпоставим всоответствиечисло}

_pi/1=

(1)

_{котороебудем называтьусловной вероятностью=xi при=y1.Обратите вниманиена то, что этоне вероятностьPiсобытия =xi, исравните формулу(1) с уже известнойформулой условнойвероятности}

.

_{Соответствие}

_{xiрi/1,(i=1,2,,n)}

_{будемназывать условнымраспределениемслучайнойвеличины при =y1.Очевидно}

.

_{Аналогичныеусловные законыраспределенияслучайнойвеличины можно построитьпри всех остальныхзначениях ,равных y2;y3,,yn,ставя в соответствиечислу xiусловную вероятностьpi/j =}

( ).

_{Втаблице приведёнусловный законраспределенияслучайной величины при =yj}

	x1	x2		xi		xn
pi/j					

_{Можноввести понятиеусловногоматематическогоожидания при  = yj}

_{Заметим,что и равноценны.Можно ввестиусловноераспределениепри =xiсоответствием}

(j = 1,2,,k)

_{Такжеможно ввестипонятие условногоматематическогоожидания случайнойвеличины при =xi:}

_{Изопределенияследует, чтоесли и независимы,то все условныезаконы распределенияодинаковы исовпадают сзаконом распределения(напоминаем,что законраспределенияопределяетсяв таблице (*) первыми последнимстолбцом). Приэтом очевидно,совпадают всеусловныематематическиеожидания М(/ = yj)при j = 1,2,,k,которые равныМ.}

_{Еслиусловные законыраспределенияпри различныхзначениях различны, тоговорят, чтомежду и имеет местостатистическаязависимость.}

_{ПримерI. Пусть законсовместногораспределениядвух случайныхвеличин и задан следующейтаблицей. Здесь,как говорилосьранее, первыйи последнийстолбцы определяютзакон распределенияслучайнойвеличины ,а первая и последняястроки – законраспределенияслучайнойвеличины .}

 	1	2	3
10	1/36	0	0	1/36
20	2/36	1/36	0	3/36
30	2/36	3/36	2/36	7/36
40	1/36	8/36	16/36	25/36
	6/36	12/36	18/36

_{Полигоныусловныхраспределенийможно изобразитьна трехмерномграфике (рис.1).}

_{Здесьявно просматриваетсязависимостьусловногозакона распределенияот величины.}

_{ПримерII. (Уже встречавшийся).}

_{Пустьданы две независимыеслучайныевеличины и с законамираспределения}

	0	1			1	2
Р	1/3	2/3		Р	3/4	1/4

_{Найдемзаконы распределенийслучайныхвеличин =+и =}

	1	2	3			0	1	2
Р	3/12	7/12	2/12		Р	4/12	6/12	2/12

_{Построимтаблицу законасовместногораспределенияи .}

 	0	1	2
1	3/12	0	0	3/12
2	1/12	6/12	0	7/12
3	0	0	2/12	2/12
	4/12	6/12	2/12

_{Чтобыполучить =2и =0,нужно чтобыприняла значение0, а приняла значение2. Так как и независимы,то}

_{Р(=2;=0)=Р(=0;=2)=Р(=0)Р(=2)=1/12.}

_{Очевиднотакже Р(=3;=0)=0.}

Построимполигоны условныхраспределений.Здесь зависимостьот довольно близкак функциональной:значению =1соответствуетединственное=2,значению =2соответствуетединственное=3,но при =0мы можем говоритьлишь, что с вероятностью

принимаетзначение 1 и свероятностью

– значение 2.

_{ПримерIII.}

_{Рассмотримзакон совместногораспределенияи ,заданный таблицей}

 	0	1	2
1	1/30	3/30	2/30	1/5
2	3/30	9/30	6/30	3/5
3	1/30	3/30	2/30	1/5
	1/6	3/6	2/6

_{Вэтом случаевыполняетсяусловие P(=xi;=yj)=P(=xi)P(=yj),i=1,2,3;j=1,2,3,}

_{Построимзаконы условныхраспределений}

	1	2	3
	1/5	3/5	1/5

_{Законыусловныхраспределенийне отличаютсядруг от другапри =1,2,3и совпадаютс закономраспределенияслучайнойвеличины .}

_{Вданном случаеи независимы.}

_{Характеристикойзависимостимежду случайнымивеличинамии служит математическоеожидание произведенияотклоненийи от их центровраспределений(так иногданазываютматематическоеожидание случайнойвеличины), котороеназываетсякоэффициентомковариацииили простоковариацией.}

_{cov(;) = M((–M)(–M))}

_{Пусть = x1,x2,x3,,xn, = y1,y2,y3,,yn.Тогда}

_{cov(;)=}

(2)

_{Этуформулу можноинтерпретироватьтак. Если прибольших значенияхболее вероятныбольшие значения,а при малыхзначениях более вероятнымалые значения,то в правойчасти формулы(2) положительныеслагаемыедоминируют,и ковариацияпринимаетположительныезначения.}

_{Еслиже более вероятныпроизведения(xi – M)(yj – M),состоящие изсомножителейразного знака,то есть исходыслучайногоэксперимента,приводящиек большим значениямв основномприводят кмалым значениями наоборот, токовариацияпринимаетбольшие помодулю отрицательныезначения.}

_{Впервом случаепринято говоритьо прямой связи:с ростом случайнаявеличина имеет тенденциюк возрастанию.}

_{Вовтором случаеговорят обобратной связи:с ростом случайнаявеличина имеет тенденциюк уменьшениюили падению.}

_{Еслипримерно одинаковыйвклад в суммудают и положительныеи отрицательныепроизведения(xi – M)(yj – M)pij,то можно сказать,что в сумме онибудут “гасить”друг друга иковариациябудет близкак нулю. В этомслучае непросматриваетсязависимостьодной случайнойвеличины отдругой.}

_{Легкопоказать, чтоесли}

_{P(( = xi)∩( = yj)) = P( = xi)P( = yj)(i = 1,2,,n;j = 1,2,,k),}

_{тоcov(;)=0.}

_{Действительноиз (2) следует}

_{Здесьиспользованоочень важноесвойствоматематическогоожидания:математическоеожидание отклоненияслучайнойвеличины отее математическогоожидания равнонулю.}

_{Доказательство(для дискретныхслучайныхвеличин с конечнымчислом значений).}

_{Ковариациюудобно представлятьв виде}

_{cov(;)=M(–M–M+MM)=M()–M(M)–M(M)+M(MM)=}

_{=M()–MM–MM+MM=M()–MM}

_{Ковариациядвух случайныхвеличин равнаматематическомуожиданию ихпроизведенияминус произведениематематическихожиданий.}

_{Легкодоказываетсяследующеесвойствоматематическогоожидания: еслии —независимыеслучайныевеличины, тоМ()=ММ.(Доказать самим,используяформулу M() =} 

)

_{Такимобразом,для независимыхслучайныхвеличин и cov(;)=0.}

5

Лекция 9

Коэффициенткорреляции.

_{Величинаcov(;)зависит отединиц измерения,в которых выражаются и. (Например,пусть и —линейныеразмеры некоторойдетали. Еслиза единицуизмеренияпринять 1 см,то cov(;)примет однозначение, аесли за единицуизмеренияпринять 1 мм,то cov(;)примет другое,большее значение(при условииcov(;)0)).Поэтому cov(;)неудобно приниматьза показательсвязи.}

_{Чтобыиметь дело сбезразмернымпоказателем,рассмотримслучайныевеличины}

;

_{Такиеслучайныевеличины называютсянормированнымиотклонениямислучайныхвеличин и .}

_{Каждаяиз случайныхвеличин *и * имеетцентром (математическоеожидание) нульи дисперсию,равную единице.Приведёмдоказательстводля случайнойвеличины *.}

_{Ковариация* и* называетсякоэффициентомкорреляциислучайныхвеличин и (обозначается).}

_{Длянезависимых и =0,так как в этомслучае cov(;)=0}

_{Обратногозаключениясделать нельзя.Случайныевеличины могутбыть связаныдаже функциональнойзависимостью(каждому значениюодной случайнойвеличинысоответствуетединственноезначение другойслучайнойвеличины), нокоэффициентих корреляциибудет равеннулю.}

_{Примеры:}

_{1. Пустьслучайнаявеличина симметричнораспределенаоколо нуля.Тогда М=0.Пусть =2.Тогда М()=М(3)=0,так 3тоже симметричнораспределенаоколо нуля. Сдругой стороныММ=0,так как М=0.Таким образом}

.

_{2. Пустьзакон совместногораспределенияслучайныхвеличин и  задантаблицей}

 	1	2
1	1/5	0	1/5
2	0	3/5	3/5
3	1/5	0	1/5
	2/5	3/5

_{Проведёмвычисления:}

; ;

; .

_{Отсюдаследует, что=0.При этом очевидно,что имеет местофункциональнаязависимостьслучайнойвеличины от случайнойвеличины .}

_{Коэффициенткорреляциине меняет своейвеличины, есливместо случайнойвеличины рассматриватьслучайнуювеличину 1=+аили 2=k(аи}

_{k—постоянныечисла, k > 0),так как приперемене началакоординат илипри изменениимасштаба величинынормированноеотклонениене меняется.Сказанное вравной мереотносится ик .}

_{Вставка!Полезно запомнитьформулу}

_{D()=D+D+2cov(;)}

_{Отсюдаследует свойстводисперсии длянезависимых и:}

_{D()=D+D}

_{Свойствакоэффициентакорреляции.}

1. _{–11}

2. _{Если=1,то =k+b,где kи b—константы,k>0.}

3. _{Если=–1, то =k+b,где k}

4. _{Если=k+b,(k0)или =k1+b1,то}

_{=1при k>0}

_{= – 1при k}

_{Коэффициенткорреляциидостигает своихпредельныхзначений –1 и1 в том и тольков том случае,если совместноераспределение и всеконцентрируетсяна некоторойпрямой в плоскости; ,то есть между и имеетсятакая линейнаязависимость.}

_{Еслик единице совместноераспределение; имеет тенденциюконцентрироватьсявблизи некоторойпрямой линиии величинуможно считатьмерой близостик полной линейнойзависимостимежду и .}

_{Пример.Рассчитаемкоэффициенткорреляциидля случайныхвеличин призаданном законесовместногораспределения}

 	1	2	3
10	1/36	0	0	1/36
20	2/36	1/36	0	3/36
30	2/36	2/36	2/36	6/36
40	1/36	9/36	16/36	26/36
	6/36	12/36	18/36

_{  7,6}

_{  0,746}

_{Введемпонятие корреляционнойзависимостимежду и .}

_{Пустьзадан законсовместногораспределениядвух случайныхвеличин и  (какв вышеприведенномпримере), и условноематематическоеожидание меняется взависимостиот значения. Тогдапринято говоритьо корреляционнойзависимости от. Еслиусловноематематическоеожидание есть линейнаяфункция от ,то между и  имеетсялинейнаякорреляционнаясвязь илизависимость.}

_{Какправило, говоряо корреляционнойзависимости,имеют в видулинейнуюкорреляционнуюзависимость.Если имеетсяв виду нелинейнаякорреляционнаязависимость,то это особооговаривают.}

_{Можнодать определениекорреляционнойзависимостидвух случайныхвеличин и  каксвязи междутенденциямироста и . Например,между и  существуетпрямая корреляционнаязависимость,если с ростомслучайнаявеличина имеет тенденциювозрастать.(Это означает,что при большихзначениях с большейвероятностьювстречаютсябольшие значения). Еслибольшим значениям сбольшей вероятностьюсоответствуютменьшие значения, то естьс ростом случайнаявеличина имееттенденциюубывать, говорят,что между и  существуетобратнаякорреляционнаязависимость.}

_{Глубина(или теснота)корреляционнойзависимости(или связи)характеризуетсякоэффициентом.Чем ближе  к единице,тем теснееглубина корреляционнойзависимости.}

_{Чемближе зависимостьмежду условнымматематическиможиданием и случайнойвеличиной к линейной, ичем теснеезначения группируютсяоколо условныхматематическихожиданий, темглубже (теснее)корреляционнаясвязь.}

_{Можноговорить осовместномраспределениидвух непрерывныхслучайныхвеличин. Вбольшинствеслучаев возможенпереход отнепрерывныхслучайныхвеличин к совместномураспределениюдвух дискретныхслучайныхвеличин следующимобразом.}

_{Нужноразбить отрезокa; bизмененияслучайнойвеличины на равныеотрезки c0=a;c1;c1;c2;c2;c3,,cn-1;cn=b.За значениеслучайнойвеличины принять серединукаждого отрезка.}

_{Такженадо поступитьсо случайнойвеличиной ,разбив ее областьзначений e;fна равные отрезкиg0 = e;g1;g1;ge…gk-1;gk=f,и приняв завозможныезначения середины отрезковgk-1;gk.Таким образоммы получилидискретныеслучайныевеличины *=x1;x2;…xnи *=y1;y2;…yk,причем каждойпаре (xi;yj)ставится всоответствиевероятность}

_{Pij = P(([ci–1;ci])∩([gi–1;gi]))}

_{Такимобразом мыпридем к ужеизученномуматериалу.}