Теория групп — наука о совершенстве (стр. 2 из 4)

Другим важным понятием математики является понятие отношения. Отношение можно представлять себе как некоторое правило, которое по любым двум элементам (предметам, вещам, живым существам и т. д.) находятся ли они в этом отношении или нет. В нашей жизни мы постоянно вступаем и находимся волей или неволей в множестве различных отношений. Например, в отношении родства (с той или иной степенью близости), отношении работник-работодатель, отношении водитель-пассажир, продавец-покупатель и т. д. Все эти отношения имеют разную природу, разные свойства, и математика изучает именно свойства отношений, не заботясь об их природе.

Мы говорим, что на некотором множестве A задано отношение R, если для любых двух элементов a, b из A мы можем сказать, находятся ли они в отношении R или нет. Иными словами, отношение R есть отображение R : A × B → {1, 0}, где значение 1 соответствует «истине», а значение 0 — «лжи» (заметим, что здесь важен порядок, в котором берутся элементы a и b). Обычно, для обозначения отношений мы будем использовать специальные символы ≡, ~,

и т. д. Отношение удобно записывать как a ~ b, если a и b находятся в отношении R и a b, если a и b не находятся в отношении R. Отношение ~ на множестве A называется эквивалентностью, если выполнены следующие аксиомы:

(ЭКВ1)

для любого a

A выполнено a ~ a (аксиома рефлексивности);

(ЭКВ2)

для любых a, b из A из a ~ b следует b ~ a (аксиома симметричности);

(ЭКВ3)

для любых a, b, c из A из a ~ b и b ~ c следует a ~ c (аксиома транзитивности).

Примерами отношений может служить отношение порядка ≥ на множестве действительных чисел, отношение делимости на множестве целых чисел, отношение равенства на множестве действительных чисел, отношение равенства остатков от деления на фиксированное натуральное число на множестве натуральных чисел. Заметим, что первые два отношения не являются эквивалентностями, а последние два являются. Для последнего отношения есть специальное название: целые числа m, n называются сравнимыми по модулю k (записывается как m ≡ n (mod k)), если n – m делится на k.

Если на множестве A задано отношение эквивалентности ~, то всё множество распадается на классы эквивалентности — подмножества попарно эквивалентных элементов, причем любые два класса либо не пересекаются, либо совпадают. Действительно, предположим, что C1, C2 — два класса эквивалентности и их пересечение C1 ∩ C2 непусто и содержит некоторый элемент x. Тогда для любого элемента y

C1, по определению класса эквивалентности, выполнено x ~ y. Кроме того, для любого z C2, вновь по определению класса эквивалентности, выполнено z ~ x. В силу аксиомы транзитивности (условие (ЭКВ3)), мы получаем, что y ~ z, значит C1 = C2. Множество классов множества A по эквивалентности ~ обозначается через A / ~.

Аксиомы группы

В этом разделе заканчивается текст, который не начинается знаком

. Следующие два абзаца — последние абзацы, для чтения которых не требуется прилагать особых усилий.

Рассмотрим всё тот же кинотеатр уездного города N и предположим, что на одном из сеансов зрителям пришло в голову устроить обмен билетами по какому-нибудь правилу. Например, первое место каждого ряда меняется со вторым, третье с четвертым и т. д. В результате все остаются с одной стороны «при своих» — у каждого есть билет, а с другой стороны — каждому удалось сменить место. Если теперь провести обмен по какому-нибудь другому правилу, потом по третьему, то результат — у каждого есть ровно один билет — не изменится. При этом порядок посадки может измениться весьма сильно, по сравнению с начальным. Таким образом, подобные преобразования являются симметриями множества мест (или, точнее, множества зрителей), причем сколько бы раз мы их не проводили, основное свойство, что у каждого зрителя есть ровно один билет, не изменится. Если последовательное выполнение обмена билетами назвать «умножением» (хоть оно и очень далеко от реального умножения, к которому мы все привыкли), то множество всех обменов с таким «умножением» образует очень важную алгебраическую структуру — группу. Вообще, любая группа — это множество симметрий какого-либо объекта (множества), на котором задано умножение также, как это только что было проделано с обменами билетов — последовательным выполнением.

Таким образом, группа симметрий объекта тем больше, чем больше у него симметрий. Вспоминая о том, что чем больше симметрий, тем совершеннее объект, мы получаем, что размер группы симметрий играет роль измерителя совершенства того или иного объекта. Рассмотрим правильные фигуры на плоскости: треугольник, квадрат, шестиугольник и круг. Все они симметричные фигуры, но симметричны они по-разному. Так у треугольника есть лишь шесть симметрий: поворот вокруг центра масс (точки пересечения медиан) на угол, кратный 120 градусам (таких поворотов 3), и отражение относительно любой из его медиан (таких отражений тоже 3). У квадрата уже есть восемь симметрий: поворот вокруг центра (точки пересечения диагоналей) на угол, кратный 90 градусам (таких поворотов уже 4), а также симметрия относительно любой диагонали (их две) и любой прямой, соединяющей середины противоположных сторон квадрата (их тоже две). Шестиугольник уже имеет 12 симметрий (предлагаем читателю перечислить их все), а у круга симметрий бесконечно много — это и поворот на любой угол, и симметрия относительно любой прямой, проходящей через центр круга. Таким образом, самой совершенной фигурой является круг, потом — шестиугольник, за ним квадрат и наименее совершенная фигура — треугольник.

и до конца

Пусть G — произвольное множество и предположим, что на нем задана некоторая бинарная (двухместная, от двух аргументов) операция «·», обычно называемая умножением, которая для любых двух элементов a, b из данного множества сопоставляет им единственным образом элемент, обозначаемый a · b или просто ab. При этом элемент ab называется произведением элементов a и b. Если при этом выполнены дополнительно следующие три условия (называемые аксиомами группы):

(ГР1)

для любых трех a, b, c из G верно равенство (ab)c = a(bc) (закон ассоциативности);

(ГР2)

существует такой элемент e, что для любого элемента a из G верно равенство ae = ea = a (существование единицы); такой элемент e называется единицей группы;

(ГР3)

для любого элемента a из G существует такой элемент b, что верно равенство ab = ba = e (существование обратного); такой элемент b называется обратным для элемента a и обозначается a–1;

то множество G относительно операции умножения образует группу. Если при этом выполнена еще одна аксиома:

(ГР4)

для любых элементов a, b из G верно равенство ab = ba (закон коммутативности),

то группа называется коммутативной или абелевой. Примеры различных групп, а также естественные ситуации, в которых появляются группы мы приведем чуть ниже. Очевидными примерами являются множество целых чисел по сложению, множество ненулевых рациональных чисел по умножению и т. д. Отметим несколько простых следствий из аксиом группы: единичный элемент и обратный элемент определяются единственным образом. Действительно, предположим, что существует два единичных элемента e1, e2, тогда применение аксиомы (ГР2) дает нам следующую цепочку равенств e1 = e1e2 = e2. Аналогично, если для некоторого элемента a существует два обратных b1, b2, то, используя аксиомы (ГР1)–(ГР3), мы получаем следующую цепочку равенств b1 = b1e = b1(ab2) = (b1a)b2 = eb2 = b2.

Если M — произвольное подмножество группы G, то мы можем рассмотреть операцию умножения на множестве M, которая является отображением · : M × M → G. Операцию · на множестве M мы будем называть индуцированной операцией. Подмножество H группы G называется подгруппой, если оно само является группой относительно индуцированной операции. Легко проверить, что подмножество является подгруппой, если оно замкнуто относительно произведения (т. е. для любых двух h1, h2

H элемент h1 · h2 вновь лежит в H) и замкнуто относительно взятия обратного (т. е. для любого h H элемент h–1 вновь лежит в H). Коротко это записывают как HH H и H–1 H. Далее утверждение «H является подгруппой группы G» коротко мы будем записывать следующим образом H ≤ G.