Теория групп — наука о совершенстве (стр. 4 из 4)

Рассмотрим теперь произвольную группу G и ее подгруппу H. Группа G действует на множестве смежных классов по подгруппе H умножением справа: (Hg1)g2 = H(g1g2). Таким образом, существует транзитивное представление φ : G → SymG/H. Если H не содержит отличных от единичной нормальных подгрупп группы G, то это представление является точным. В частности, если H = {e} то представление G → SymG/{e} = SymG всегда является точным и называется регулярным представлением группы G. Таким образом, любую группу можно рассматривать как группу подстановок. Оказывается, любое транзитивное представление группы G можно получить таким образом.

для понимания дальнейшего текста необходимо знание университетского курса алгебры

Следующий пример групп возникает из векторных пространств. Пусть V — векторное пространство над полем F (я не буду давать определение векторного пространства и поля, примером векторного пространства является плоскость, а примером поля — множество рациональных чисел относительно сложения и умножения). Множество невырожденных линейных преобразований векторного пространства V образует группу и называется общей линейной группой (обозначается GL(V)). Легко проверить, что векторные пространства одинаковой размерности n над одним и тем же полем изоморфны пространству строк длины n, а множество невырожденных линейных преобразований совпадает с множеством невырожденных матриц. При этом общая линейная группа записывается в виде GLn(F). На самом деле, данный пример не является, строго говоря, новым, поскольку GL(V) ≤ SymV. Однако важностью данного класса групп обусловлено его выделение в отдельный пример. Гомоморфизм φ : G → GLn(F) называется линейным представлением группы G над полем F степени n, а пространство V называется G-модулем. Группа симметрий шара, о которой упоминалось во введении, совпадает с группой всех линейных преобразований трехмерного пространства, сохраняющих длину векторов, называемую общей ортогональной группой.

Третий пример групп возникает следующим образом. Пусть X = {x1, x2, ...} — некоторый алфавит (конечный или бесконечный). Пополним его формальными символами X–1 = {x1–1, x2–1, ...} и рассмотрим множество слов в алфавите X

X–1. Введем преобразования:

(1)

вычеркивание стоящих рядом символов xixi–1 или xi–1xi;

(2)

добавление в любое место слова подслов xixi–1 или xi–1xi.

Два слова u, v назовем эквивалентными, если существует цепочка преобразований типа (1) или (2), переводящих одно слово в другое. На множестве классов эквивалентности зададим операцию умножения приписыванием одного слова в конец другому. Тогда мы получим группу, называемую свободной группой и обозначаемую через F[X], а элементы этой группы принято называть словами. Универсальность данной конструкции делает свободные группы незаменимыми при изучении формальных языков (например, языков программирования), а также различных других задач из теории кодирования, распознавания и т. д. Термин «свободная» обусловлен тем, что если у нас есть произвольная группа G и существует такое ее подмножество M, что

= G, то мы можем рассмотреть множество слов X с условием |X| = |M| и тогда существует гомоморфизм φ : F[X] → G. Ядро гомоморфизма Ker(φ) порождается некоторым множеством слов R и запись группы G в виде G = < X|R > называется заданием группы определяющими и порождающими соотношениями. Пожалуй, это самый абстрактный способ задания группы и потому самый сложный. Мы не будем приводить здесь примеров групп, заданных таким образом.

Заключение

На этом нам бы хотелось закончить первую часть знакомства с теорией групп. Все замечания, пожелания, отзывы будут с благодарностью прочтены автором этой заметки. Если данная тема вызовет интерес, то, возможно, появится продолжение, с обзором наиболее значимых (по мнению автора) результатов, с формулировкой наиболее известных задач и изложением некоторых методов и приемов, используемых при изучении групп.