Аксиоматика теории множеств (стр. 3 из 9)

А к с и о м а В6.

X Z u v w ( Z X).

А к с и о м а В7.

X Z u v w ( Z X).

С помощью аксиом В2—В4 можно доказать

X Y 1Z u (u Z u X & u Y),

X 1Z u (u Z u x),

X 1Z u (u Z v ( X)).

Эти результаты оправдывают введение новых функциональных букв ∩, −, D.

Определения

u (u X ∩ Y u X & u Y) (пересечение классов Х и Y).

u (u u X) (дополнение к классу X).

u (u D (X) v ( X)) (область определения класса X).

(объединение классов Х и Y).

V =

(универсальный класс).

X − Y = X ∩

Общая теорема о существовании классов.

Предложение 4. Пусть φ (X1,…,Xn, Y1,…, Ym) – формула, переменные которой берутся лишь из числа X1,…,Xn, Y1,…, Ym . Назовём такую формулу предикативной, если в ней связными являются только переменные для множеств (т.е. если она может быть приведена к такому виду с помощью принятых сокращений). Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,…, Ym)

Z x1 … xn ( Z φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Доказательство. Мы можем ограничиться рассмотрением только таких формул φ, которые не содержат подформул вида Yi

W, так как всякая такая подформула может быть заменена на x (x = Yi & x W), что в свою очередь эквивалентно формуле x ( z (z x z Yi) & x W). Можно также предполагать, что в φ не содержатся подформулы вида X X, которые могут быть заменены на u (u = X & u X), последнее же эквивалентно u ( z (z u z X) & u X). Доказательство проведем теперь индукцией по числу k логических связок и кванторов, входящих в формулу φ (записанную с ограниченными переменными для множеств).

1. Пусть k = 0. Формула φ имеет вид xi

xj, или xj xi, или xi Yi, где 1 ≤ i < j ≤ n. В первом случае, по аксиоме В1, существует некоторый класс W1 такой, что

xi xj ( W1 xi xj).