Аксиоматика теории множеств (стр. 6 из 9)

4. Пусть φ (X) есть

u (X = ). По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, существует единственный класс Z такой, что x (x Z u (x = )).

Определение.

x (x I u (x = )). (Отношение тождества.)

Следствие. Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,… …, Ym)

1W( W Vn & x1… xn ( W

φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Доказательство. В силу предложения 4, существует класс Z, для которого

x1… xn ( Z φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)). Очевидно, искомым классом W является класс W = Z ∩ Vn; его единственность вытекает из аксиомы объемности.

Определение. Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,… …, Ym) через

φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)) обозначается класс всех n-ок , удовлетворяющих формуле φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)), т. е. u (u φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym) x1… xn (u = & φ (x1,…,xn, Y1,… …, Ym))). Следствие оправдывает такое определение. В частности, при n = 1 получим u (u φ (x, Y1, …, Ym) φ (u, Y1,…, Ym)) (иногда вместо φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym) применяют запись { | φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)}).

Примеры. 1. Пусть φ есть

Y. Обозначим ( Y) сокращенно через , тогда V2 & x1 x2( Y Y). Назовем обратным отношением класса Y.

2. Пусть φ есть

v ( Y). Обозначим через R(Y) выражение ( v ( Y)). Тогда u (u R(Y) v ( Y)). Класс R(Y) называется областью значений класса Y. Очевидно, R(Y) = D( ).

Заметим, что аксиомы В1 — В7 являются частными случаями теоремы о существовании классов, т. е. предложения 4. Иными словами, вместо того, чтобы выдвигать предложение 4 в качестве схемы аксиом, можно с тем же результатом ограничиться лишь некоторым конечным числом его частных случаев. Вместе с тем, хотя предложение 4 и позволяет доказывать существование большого числа самых разнообразных классов, нам, однако, ничего еще не известно о существовании каких-либо множеств, кроме самых простых множеств таких, как 0, {0}, {0, {0}}, {{0}} и т. д. Чтобы обеспечить существование множеств более сложной структуры, введем дальнейшие аксиомы.

А к с и о м а U. (Аксиома объединения.)

x y u (u y v (u v & v x)).

Эта аксиома утверждает, что объединение

(х) всех элементов множества х является также множеством, т. е. x (M( (х))). Множество и (х) обозначают также через и v.

Средством порождения новых множеств из уже имеющихся является образование множества всех подмножеств данного множества.