Исследование предельных процессов для числовых последовательностей с применением графических калькуляторов (стр. 2 из 3)
Золотое сечение производят две точки:
где
(в качестве точки x будем
брать точку х1).
Алгоритм метода золотого сечения для интервала []nx;n0 J следующий:
1. Вычислить значение x.
2. Вычислить значение f()x.
3. Если f(x)< ε, то для дальнейшего деления оставляют интервал [nx;x].
4. Если f(x)≥ ε, то для дальнейшего деления оставляют интервал [x;n0].
Процесс деления продолжают до тех пор, пока длина интервала неопределенности не станет равной 1, то есть точки nx и n0 станут соседними. Искомым N(ε) будет номер n0.
При написании программы использованы стандартные функции: int - получение целой части числа, frac - получение дробной части числа.
Метод Фибоначчи
Как известно, числа Фибоначчи определяются соотношениями:
Используя числа Fn, строим n-точечный последовательный метод, который принято называть методом Фибоначчи. Как и метод золотого сечения, метод Фибоначчи состоит в задании на интервале [a;b] точки х1 или симметричной ей точки х2:
В качестве x - точки разбиения интервала будем брать точку хь Алгоритм метода Фибоначчи совпадает с алгоритмом метода золотого сечения. Единственный недостаток метода Фибоначчи в том, что нужно заранее задать количество проходов.
Интересно заметить, что
то есть при достаточно больших n (больше 10) точки разбиения методом Фибоначчи и золотого сечения практически совпадают. Это означает, что в данном случае метод Фибоначчи и метод золотого сечения по своей эффективности одинаковы, что и было подтверждено практическими испытаниями.
Метод дихотомии (бисекции)
Метод дихотомии состоит в разбиении интервала [a;b] точкой x пополам. Алгоритм метода дихотомии аналогичен алгоритму метода золотого сечения. Метод дихотомии является менее эффективным в данном случае, чем методы золотого сечения и Фибоначчи.
Описание лабораторной работы
Лабораторная работа по нахождению минимального номера N()ε может быть разделена на три этапа: I этап "Творческий поиск"
Студентам индивидуально-аналитическим методом оценок предлагается найти номер n0, начиная с которого выполняется xn − A < ε (например, ε = 0,05). Ввиду индивидуальности задания и различия способов оценки неравенства пути поиска решения проблемы могут быть весьма различными. IIэтап "Соревнование"
Данный этап подразумевает отыскание более точного значения номера n0 с аналогичными условиями выполнения. Студенты разделяются на m групп по 3 -4 человека, находят оптимальный общий метод оценки, благодаря чему вносится элемент соревнования, основанный на нахождении каждой из групп более точной оценки.
Преподаватель фиксирует найденные в группах номера nk (k = 1, 2, ….. , m) и оценивает правильность и эффективность оценочных процедур. /// этап "Нахождение минимального номера N()ε"
Данный этап является заключительным, поскольку именно здесь студенты получают возможность вычислить минимальный номер N(ε), начиная с которого выполняется неравенство
Предлагаются два возможных пути решения данной задачи: - Последовательное снижение по номерам вниз до тех пор, пока выполняется
< ε (что является трудоемким процессом и неэффективным);
- Использование одного из численных методов (золотого сечения, Фибоначчи или метод дихотомии (бисекции));
- Использование метода случайного поиска.
Ниже представлено описание соответствующей программы для нахождения N(ε) при ε = 0,05 и n0 =10000 для последовательности
Описание программы
Итак, перейдем непосредственно к программе "NUMBERS", реализующей следующие задачи:
1. Определение минимального номера N(ε) по заданным коэффициентам последовательности a0, a1, a2, b0, b1, b2 и ε.
2. Отслеживание на графике характера функции f(n), определение ее точек разрыва, экстремума и угловой точки, интервалов возрастания и убывания.
Сначала необходимо из окна главного меню войти в режим программирования (PRGM), находящийся под восьмым номером, при помощи активации соответствующей пиктограммы нажатием клавиши "EXE" (рис. 3,a). Затем из представленного списка выбрать программу с именем "NUMBERS"и активизировать ее аналогичным способом (рис. 3,b). Началом работы программы является окно приветствия с полным названием программы "PROGRAM MIN N(E) OF
SQRT POSL" (программа определения номера N()ε, рис. 3,c). Очередное нажатие клавиши "EXE" открывает диалоговое окно для последовательного ввода значений коэффициентов последовательности a0, a1, a2, b0, b1, b2, а также ε и n0.
После ввода значений вышеуказанных параметров последующее нажатие клавиши "EXE" приводит к появлению меню со следующими составляющими (рис. 3,d):
- CONTINUING CALC (1) - подтверждение выполнения последующих вычислительных операций;
- RELOAD FUNCT (2) - только перезагрузка коэффициентов последовательности a0, a1, a2, b0, b1, b2;
- RELOAD LIMIT (3) - только перезагрузка значений ε и n0;
- RELOAD ALL (4) - перезагрузка коэффициентов последовательности a0, a1, a2, b0, b1, b2 и значений ε и n0;
- EXIT (5) - выход из программы.
После очевидного выбора продолжения расчетов путем ввода цифры "1" и нажатия клавиши "EXE" мы попадаем в следующее меню с ниже перечисленными составляющими (рис. 3, e):
- FIND POINTS RAZR (1) - вычисление значений n, при которых функция, отражающая последовательность, имеет точки разрыва (точки B1 и В2);
- FIND POINTS EXTR (2) - вычисление значений n, при которых функция, отражающая последовательность, имеет точки экстремума (точки Е1 и Е2);
- FIND POINTS ANGL (3) - вычисление значения n, при которой функция, отражающая последовательность, имеет угловую точку (точка G);
- FIND NUMBER N(E) (4) - выбор номера nx как наибольшего из выше найденных, то есть
- nx =max{B1,B2,E1,E2,G};
- CALCUL N(E) (5) - переход к выполнению расчетов минимального номера N(ε);
- EXIT (6) - возврат в предыдущее меню.
Особого внимания заслуживают первые три позиции списка, поскольку процесс нахождения точек осуществляется, во-первых, аналитическим методом (согласно описанным выше алгоритмам нахождения соответствующих точек), а, во-вторых, графическим методом (строится соответствующий график, на котором можно визуально отследить правильность результатов вычислений), что отражено в следующих копиях с экранов калькулятора: определение точек разрыва (рис. 3, g и рис. 3, h), точек экстремума (рис. 3, i и рис. 3, k) и, наконец, угловой точки (рис. 3,l и рис. 3, m).
В очередной раз после очевидного выбора продолжения расчетов путем ввода цифры "4" и нажатия клавиши "EXE" мы попадаем в следующее меню с ниже перечисленными составляющими (рис. 3, f):
- MET GOLD SECHEN (1) - вычисление значения N(ε) с помощью метода золотого сечения (рис. 3, n);
- MET FIBONACH (2) - вычисление значения N(ε) с помощью метода Фибоначчи (рис. 3, o);
- MET DIHOPTR (3) - вычисление значения N(ε) с помощью метода дихотомии (бисекции) (рис. 3, p);
- ITOGY (4) - просмотр сравнительных итогов полученных результатов с последовательным указанием методов вычислений со значениями количества шагов вычислений (STEPS) и N(ε) (в программе NE) (рис. 3, n, o, p) и выводом результирующей таблицы (рис. 4,
q);
- EXIT (5) - возврат в предыдущее меню.
Следует отметить один важный плюс данной программы, который заключается в том, что при просмотре сравнительных итогов (ITOGY (4)) дополнительно выдается таблица (рис. 3, r), в столбцах которой последовательно отражается следующая информация:
чений пяти номеров выше; - разница между значениями функции
f()n иε.
Однако на одной таблице дело не заканчивается.
После нажатия клавиши "EXE" возникает графическое окно (рис. 3, s), в котором строятся два графика, один из которых - график функции f ()n, а другой - график прямой линии f(x) = ε,
при этом масштабы окна автоматически формируются таким образом, чтобы картинка реально и четко отражала место их взаимного пересечения - графическая интерпретация нахождения минимального номера N()ε.
Необходимо отметить, что в данной программе реализован принцип сохранения значений всех промежуточных вычислений в соответствующие последовательно идущие таблицы или списки (рис. 3,u), доступ к которым возможен только после окончательного выполнения программы через главное меню путем активации с помощью клавиши "EXE" режима выполнения статистических расчетов, размещенного в виде пиктограммы под цифрой "2" (STAT) в данном меню. Содержимое листа или списка под номером 20 соответствует полученному в ходе выполнения программы ряда Фибоначчи, для которого в процессе выполнения программы вручную задаются начальный и конечный номер членов для построения ряда.
Результаты расчетов (рис. 3, q) оседают в матрице "Z", а содержимое таблицы (рис. 3, r) оседает в матрице "V". Их можно всегда с успехом просмотреть.
Завершая описание программы, отметим полученные в результате ее работы итоги расчетов в таблице 1 с указанием для каждого из трех методов вычисления N(ε) количества шагов, минимального найденного номера и времени расчета..
1TINUING CRLC (I)
RELOFlD FUNCT <2>
RELORD LIMIT (3)
RELORD FILL <А)
EXIT <5>?
Ргоэгт List GEOTRIflN IB
LEBEG LERH
EXE lEOITlHEW I DEL I QELft I C> I
MET GOLD SECHEN <1>
MET FIBONRCH <2>
MET DIHOPTR C3?
: ITOGV C4>
OR EXIT <5>?
f)
(1)
263.00000