Дуалистические свойства математики и их отражение в процессе преподавания (стр. 2 из 3)

Задание 3. Рассмотрите функции

, , , , и найдите их общее свойство, а затем вычислите их производные. Какую гипотезу вы можете сформулировать? (Здесь – это функция-константа, а – это дробная часть числа .)

Нетрудно заметить, что все функции из задания 2 являются четными, а их производные – нечетными, что приводит студентов к общей гипотезе о смене четности при дифференцировании. Аналогично, все функции из задания 3 являются периодическими, причем их производные также периодичны с тем же самым периодом; так возникает общая гипотеза об инвариантности свойства периодичности по отношению к дифференцированию.

Данные наблюдения подсказывают естественный педагогический прием: распределить задания 1-3 между микрогруппами студентов с тем, чтобы представитель каждой из них сообщил своим товарищам о результатах решения.

Разумеется, методика работы малыми группами хорошо известна и распространена достаточно широко. Необходимость и целесообразность организации информационного обмена между студентами можно вывести из работ Л.С.Выготского, П.Я.Гальперина, В.В.Давыдова, В.А.Лекторского, А.Н.Леонтьева, Я.А.Пономарева, Н.Ф.Талызиной и др. по философии, психологии и педагогике. (Например, краткий обзор первоисточников под определенным углом зрения и обоснование данного вывода можно найти в работах автора [7, 8].) Мы хотим подчеркнуть, что обмен информацией между малыми группами или отдельными студентами является не просто удачным методическим приемом, не только хорошо обоснован с точки зрения психологии, но затрагивает существо математики – ее личностно-социальный дуализм, и в силу этого является в определенном смысле обязательным для процесса преподавания.

Обратимся к пропедевтическому компоненту заданий 2 и 3. Прямые вычисления показывают, что

и , если . Последнее равенство можно переписать в различных видах, например, или . Данные равенства можно трактовать с различных точек зрения. Во-первых, мы получили еще один пример элементарной функции , первообразная которой не элементарна. Во-вторых, мы видим, что в некоторых случаях функцию, заданную словесно, можно задать аналитически. Таковы, например, функции , и , которые поначалу задаются словесно и лишь затем приобретают свое аналитическое выражение. В-третьих, функции и обладают парадоксальными свойствами: их производные равны, однако функции не отличаются друг от друга на аддитивную константу, поскольку . Данное наблюдение находится в кажущемся противоречии с условиями постоянства функции и следствием из него [4, с. 268]. Студентам полезно разобраться в том, что противоречия на самом деле нет, поскольку производные обеих функций определены не на промежутке, как того требует теорема, а на объединении промежутков.

Вернемся к рассмотрению дуалистических свойств математики.

Математике присущ индуктивно-дедуктивный дуализм. Это означает, что природа умозаключения в математике является одновременно и индуктивной, и дедуктивной. Интуиция, основанная на индуктивных умозаключениях, служит средством первичного получения результата, а логика, основанная на дедукции, служит средством его строгого обоснования.

О соотношении индукции и дедукции, интуиции и логики писали такие выдающиеся математики, как Ж.Адамар, Г.Вейль, Ф.Клейн и многие другие. Особенно много внимания уделяет этому А.Пуанкаре [3, с. 8, 11-21, 159-169, 309-320]. Приведенное выше утверждение об индуктивно-дедуктивном дуализме математики является всего лишь кратким выражением мыслей ее создателей. Для нас сейчас важнее то обстоятельство, что для классиков науки размышления о природе умственных действий в области математики оказываются тесно связанными с вопросами ее преподавания. Говоря об интуиции, А.Пуанкаре пишет, что “без нее молодые умы не могли бы проникнуться пониманием математики; они не научились бы ее любить и увидели в ней лишь пустое словопрение; без нее особенно они никогда не сделались бы способными применять ее” [3 с, 165]. Ключевая мысль А.Пуанкаре указывает на сходство мыслительных процессов исследователя и студента: “Нам нужна способность, которая позволяла бы видеть цель издали, а эта способность есть интуиция. Она необходима исследователю в выборе пути, она не менее необходима для того, кто идет по его следам и хочет знать, почему он выбрал его” [3, c. 166].

В сложившихся условиях, когда индуктивная природа математического творчества недостаточно раскрывается в процессе преподавания, когда абсолютное большинство учебников написано дедуктивным методом, а задачники в значительной мере ориентированы на выработку математической техники, преподавателям следует акцентировать индуктивное начало математики и выдерживать этот акцент до тех пор, пока в студенческом сообществе не сформируется устойчивое представление о равноправии обоих компонентов математики. Задания 1-3 иллюстрируют возможность такого акцентирования в рамках государственных образовательных стандартов (кстати, отнюдь не высоких). Действительно, с одной стороны, в них используется традиционный школьный материал, а с другой стороны, задания носят явно индуктивный характер.

Краткий обзор взглядов классиков математики на индуктивную природу математического творчества содержится, например, в [7, 8].

Математике присущ эмпирико-теоретичекий дуализм источников ее развития. Это означает, что существует два типа движущих идей современной математики: идеи естественнонаучного, эмпирического происхождения и теоретические идеи, появившиеся внутри математики.

Дж. фон Нейман [2] называет два раздела математики, идеи которых имеют заведомо эмпирическое происхождение – геометрию и математический анализ. Это именно те ее разделы, к которым как нельзя лучше применимо название “чистая математика”. Более того, создание математического анализа “в большей мере, чем что либо другое, знаменует рождение современной математики”. К разделам второго типа, изобретенным для внутреннего, математического потребления, Дж. фон Нейман относит абстрактную алгебру, топологию, теорию множеств. Двумя удивительными примерами служат дифференциальная геометрия и теория групп, поскольку поначалу их считали абстрактными, неприкладными дисциплинами и лишь впоследствии они нашли широкое применение в физике. Однако и поныне они развиваются в основном в абстрактном духе, далеком от приложений. Кратко говоря, “двоякий лик – подлинное лицо математики, и я не верю, что природу математического мышления можно было бы рассматривать с какой-нибудь единой упрощенной точки зрения, не принося при этом в жертву самую сущность” [2].

Эмпирический компонент источников развития достаточно хорошо отражен в практике преподавания. Действительно, изучение математического анализа по традиции начинается с рассмотрения физических задач, приводящих к понятиям производной, интеграла, дифференциального уравнения. Развитие теории, как правило, завершается ее приложениями, например, вычислением площадей, объемов, длин дуг, моментов инерции и т.д.

Иначе обстоит дело с теоретическим компонентом источников развития. Например, большинство учебников, а вслед за ними большинство преподавателей, не считают необходимым рассмотрение задач, приводящих к понятиям группы, кольца, поля, векторного пространства и т.д. Между тем обращение к ним могло бы сыграть серьезную мотивирующую роль в изучении студентами такой абстрактной математической дисциплины, какой является алгебра. По мнению автора, определенное невнимание к мотивировкам объясняется исключительно традициями преподавания и никак не связано ни с природой математики, ни с трудностями рассмотрения мотивирующих задач. Например, необходимость изучения систем линейных уравнений могла бы быть проиллюстрирована физической задачей о расчете электрической цепи, экономической задачей об определении стоимости товара, аналитической задачей о восстановлении многочлена по нескольким точкам его графика. Было бы целесообразно иметь полный список задач, приводящих к основным понятиям абстрактной алгебры.