Дуалистические свойства математики и их отражение в процессе преподавания (стр. 1 из 3)

А.В.Ястребов

1. Об инвариантном ядре различных концепций математического образования

Перечисляя основные психологически ориентированные модели школьного обучения, М.А.Холодная называет следующие пять: свободную модель (Р.Штейнер, Ф.Г.Кумбе и др.), личностную модель (Л.В.Занков, М.В.Зверева и др.), развивающую модель (Д.Б.Эльконин, В.В.Давыдов и др.), активизирующую модель (А.М.Матюшкин, М.М.Махмутов и др.), формирующую модель (П.Я.Гальперин, Н.Ф.Талызина и др.) [6, с. 307-308]. Добавим к этому списку предлагаемую ею модель обогащающего обучения, концепцию укрупнения дидактических единиц П.М.Эрдниева, в значительной мере ориентированную на математику, а также некоторые концепции вузовского математического образования: концепцию специальной математической и методической подготовки преподавателей профильных школ О.А.Иванова, профессионально-педагогической направленности обучения А.Г.Мордковича, наглядно-модельного обучения Е.И.Смирнова, моделирования научных исследований А.В.Ястребова.

Для преподавателя математики педагогического вуза столь большое разнообразие подходов приводит к тому, что комплексное, одновременное использование достижений и рекомендаций каждой из концепций оказывается достаточно трудным или невозможным просто в силу их обилия и разнообразия. Более того, трудность такого рода только возрастает по мере дальнейшей разработки перечисленных концепций и появления новых. Одним из методов улучшения ситуации может служить выделение инвариантного ядра различных концепций математического образования. Речь идет о поиске таких положений (принципов, аксиом, утверждений и проч.), которые либо уже входят в большинство из концепций, либо могли бы войти в них в качестве составной части в процессе их развития. Полемически заостряя мысль, можно сказать, что речь идет о поиске таких положений, учет которых в той или иной форме был бы весьма желателен как при существующих подходах, так при тех, что с неизбежностью появятся в недалеком будущем.

Математическое образование, на каких бы теоретических посылках оно ни базировалось, призвано сформировать в сознании учащихся адекватный образ математики. В силу этого общие положения любой педагогической концепции должны быть тесно связаны с имманентными свойствами математики, не зависящими ни от предметной области внутри нее, ни от уровня математических исследований, ни от исторического периода ее развития. Ниже будут рассмотрены некоторые из таких свойств.

2. Дуалистические свойства математики

При описании дуалистических свойств математики мы будем исходить, во-первых, из общего представления о науке и, во-вторых, из общего представления о математике как о науке о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Математике, как и всякой науке, присущ деятельностно-продуктивный дуализм. Это означает, что понятие математики включает в себя как деятельность по получению нового знания, так и продукт этой деятельности – сумму полученных к данному моменту математических знаний.

Поскольку образование должно формировать в сознании студентов адекватный образ науки, объективно возникает естественное требование к математической подготовке: обучение математике должно быть ориентировано, причем одновременно и в равной мере, как на передачу системы математических знаний, так и на формирование умений и навыков деятельности внутри математики.

Проиллюстрируем вышесказанное примером, описав два различных сценария, которым может следовать педагог при выявлении математических взаимосвязей. При этом мы выбираем нарочито простой пример, который с одинаковым успехом может быть рассмотрен и в школе, и в вузе – связь между четностью и дифференцируемостью функции.

Первый сценарий состоит в прямом использовании упражнения из известного задачника [1, № 537].

Задание 0. Докажите, что если

и дифференцируема, то .

Поскольку утверждение, которое необходимо доказать, сформулировано в явном виде и приходит к студенту извне, то единственное, что остается ему делать – это действовать по формальным правилам, используя определение производной, условие и переобозначение переменной под знаком предела:

.

Второй сценарий основан на наблюдении за группой функций.

Задание 1. Рассмотрите функции

, , , , и найдите их общее свойство, а затем вычислите их производные. Какую гипотезу вы можете сформулировать?

Как правило, студентам не понятно выражение “найти общее свойство”. Преподавателю приходится возвращать их к общей схеме исследования функций и напоминать, что им известны многие свойства функций, выраженные посредством понятий: область определения, четность, периодичность, асимптота, ограниченность, монотонность, экстремум, непрерывность, дифференцируемость. Одним из методов поиска общих свойств является метод исключения. Обнаруживается, например, что данный ряд функций содержит как периодические, так и непериодические функции (

и соответственно), так что периодичность не является их общим свойством. То же самое можно сказать о большинстве свойств из числа упомянутых. Исключение составляет нечетность всех функций и, с некоторой оговоркой, их дифференцируемость (оговорка состоит в недифференцируемости функции в одной точке своей области определения). Вычисление производных показывает, что все они четны. Так естественным образом рождается гипотеза: “Если функция нечетна и дифференцируема, то ее производная четна”. Проверка справедливости этой гипотезы приводит к формальному доказательству, приведенному выше.

Нетрудно видеть, что умственные действия, совершаемые учащимися при втором сценарии, достаточно разнообразны: это обобщающее повторение, вычисление производных, формулировка гипотезы и лишь затем чисто технические действия, используемые в первом сценарии. Обобщенно говоря, при первом сценарии учащийся усваивает математический продукт, полученный другими людьми, а при втором сценарии – и продукт, и элементы математической деятельности по его получению.

Отступим от основной линии нашего изложения и отметим пропедевтический компонент рассмотренного примера. Если вычислять производную функции

с помощью определения этой функции, то получим, что . Нетрудно видеть, что эту словесно заданную производную можно задать аналитически: . Интерпретируя последнее равенство в других терминах, можно сказать, что первообразной элементарной функции является неэлементарная функция . Этот и другие подобные примеры психологически готовят студентов к восприятию интегралов, не выражающихся в конечном виде [5, с. 36, 83 и др.].

Вернемся к рассмотрению дуалистических свойств математики.

Математике, как и всякой науке, присущ личностно-социальный дуализм. Это означает, что имеют место несколько дополняющих друг друга фактов: (а) каждый математический результат изобретается лично тем или иным конкретным математиком; (б) математика может существовать только благодаря наличию особого социального института – научного сообщества; (в) изобретенный результат становится фактом науки только в результате его принятия научным сообществом; (г) процесс принятия нового результата включает в себя обмен информацией о содержании нового результата и различные виды экспертных оценок.

С организационной точки зрения научное сообщество является весьма сложным образованием с разветвленной иерархией и многокомпонентными отношениями принадлежности. В него входят отдельные ученые, творческие коллективы, исследовательские институты, учебные заведения, научные журналы, органы по присуждению ученых степеней, национальные академии, международные комитеты. Очевидно, что необходимым (и, возможно, достаточным) условием функционирования такой системы является информационный обмен между ее элементами. На практике он весьма интенсивно осуществляется посредством публикаций, конференций, семинаров, системы Интернет и т.д.

Коль скоро в реальном научном мире объективно существует важное явление – информационный обмен результатами личной деятельности – оно должно в той или иной форме отражаться в процессе преподавания. Проиллюстрируем возможность такого отражения с помощью заданий той же идейной направленности и того же уровня сложности, что и задание 1.

Задание 2. Рассмотрите функции

, , , , и найдите их общее свойство, а затем вычислите их производные. Какую гипотезу вы можете сформулировать? (Здесь дельта-функция определяется равенством .)