Многофункциональность упражнения и многофакторность умения (стр. 2 из 2)

каждая из которых образует мультипликативную группу. Их изучение естественно вписывается как в курс математического анализа, так и в курс дифференциальной геометрии. В перспективе, при изучении кватернионов, можно рассмотреть мультипликативную группу кватернионов с единичной нормой, или другими словами, трёхмерную сферу, несущую на себе групповую структуру. Отметим, что изучение кватернионов до недавнего времени включалось в программу педагогических вузов: см., например, [2. С. 299]. Таким образом, мы получаем достаточно богатую "зоологию" особых математических объектов, отталкиваясь от которой можно начать систематическое изучение групп Ли. Важно, что этот список примеров возник на базе весьма простой математической техники.

Для введения представлений об однородных пространствах наполним определение действия группы на множестве: группа G действует на множестве M, если задано отображение A:G M  M, удовлетворяющее свойствам

Aghx=Ag(Ah)x, g, h  G, x  M.

Aex=x;

здесь

- единица группы.

Каждое действие A порождает отношение эквивалентности T' на множестве M заданное следующим образом:

Фактормножество M/T' называется однородным пространством относительно группы G.

Приведённая конструкция, несмотря на свою высокую абстрактность, имеет самое непосредственное отношение к курсу математики в педагогическом вузе. Действительно, в случае, когда G=Z, M=R, а действие задаётся равенством Ag(x)=g+x, простая проверка показывает, что T=T', и, следовательно, окружность является однородным пространством относительно группы Z. Естественно, что цилиндр и тор также оказываются однородными пространствами. В тезисах докладов [6] показано, что представление о трёх классических геометриях - евклидовой, сферической и Лобачевского - как об однородных пространствах может быть сформировано в базовом курсе геометрии для педагогического вуза; более полное изложение см. в [7. С.177-184]. Итак, мы вновь видим, что простые задачи позволяют приобщать студентов к первоначальным понятиям продвинутой математической теории.

Необходимость такого приобщения становится очевидной, если обратиться к теоретическим основам подготовки преподавателей математических школ. Определяя цели их подготовки, О.А. Иванов пишет: "Обучение на математических факультетах университетов должно быть направлено на подготовку специалиста - учителя высшей квалификации - с профессиональными навыками научного работника и учителя-методиста". При этом во главу угла ставятся так называемые интегративные курсы, которые характеризуются двумя особенностями: во-первых, изложение материала происходит не строго последовательно, а группируется вокруг определённых понятий, математических идей и утверждений; во-вторых, в этом изложении понятия и идеи элементарной математики связываются с общими математическими понятиями, идеями и утверждениями, известными студентам по базовым университетстким курсам [1. С.53]. Теоретико-методической основой соответствующего практикума по решению задач является понятие пучка задач, под которым понимается "такая их совокупность, определяющей характеристикой которой является наличие разнотипных взаимосвязей между отдельными составляющими эту совокупность задачами, обеспечивающее включение обратной связи в процесс их решения" [1. С. 58]. (Курсив мой - А.Я.)

Нетрудно видеть, что обсуждавшиеся выше математические задачи как раз и характеризуются наличием разнотипных взаимосвязей между рассматриваемыми объектами, группируясь при этом вокруг одного понятия - отношений эквивалентности. Таким образом, они могут рассматриваться и в качестве маленького фрагмента интегративного лекционного курса, и в качестве пучка задач из сопутствующего ему практикума.

Технология наглядно-модельного обучения уделяет значительное внимание процессу восприятия математических объектов. Так, Е.И. Смирнов пишет: "Процесс восприятия... предполагает наличие узловых, опорных, характерных, специфических свойств и качеств объекта восприятия, будь то приёмы деятельности, отражающие отдельное математическое знание, или организованный набор знаний.

... Актуальной является проблема такой организации процесса обучения математике, когда представления, возникающие в мышлении обучаемых, отражают основные, существенные, ключевые стороны предметов и явлений..." [4. С. 103].

Приведённые выше многофункциональные упражнения в полной мере учитывают указанную закономерность, поскольку формируют представления о фундаментальных приёмах деятельности математика: о факторизации и об отождествлении изоморфных объектов. Их узловой, опорный характер обусловлен, помимо прочего, их повторяемостью во времени. Действительно, к ним можно обращаться с различных точек зрения при изучении отношений эквивалентности, комплексных чисел, теории групп, теории функций комплексного переменного, оснований геометрии, поскольку окружность можно трактовать самыми разными способами: как множество комплексных чисел с единичным модулем, как мультипликативную подгруппу группы C*, как множество чисел вида eiφ, как однородное пространство.

Возможность многозначной трактовки одного и того же математического явления "формирует у будущих учителей важное профессиональное умение - видеть за единой формой разнообразное содержание, объединённое единой логической основой" [4. С. 209].

Мы видим, что многофункциональные упражнения, возникшие, казалось бы, из чисто математических соображений, оказываются полезными с точки зрения трёх различных педагогических концепций, возникших независимо друг от друга. Мы трактуем это обстоятельство как проявление закономерности, сформулированной А. Пуанкаре: "Размышлять о том, каким образом лучше всего внедрить понятия в девственный ум ребёнка, - значит в то же время размышлять о том, каким образом эти понятия были приобретены нашими предками; значит, следовательно, размышлять об их истинном происхождении, а это, по существу, значит размышлять об их истинной природе" [3. С. 286].

Список литературы

Иванов О.А. Теоретические основы построения специальной математической и методической подготовки преподавателей профильных школ. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1997.

Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979.

Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983.

Смирнов Е.И. Технология наглядно-модельного обучения математике. Ярославль: Изд-во Ярославского гос. пед. ун-та, 1998.

Ястребов А.В. Научное мышление и учебный процесс - параллели и взаимосвязи. Ярославль: Изд-во Ярославского гос. пед. ун-та, 1997.

Ястребов А.В. Опыт изложения в задачах простейших фактов геометрии Лобачевского // Международная научная конференция "Лобачевский и современная геометрия. Казань, 18-22 августа 1992. Тезисы докладов Ч.II. Казань: Изд-во Казанского ун-та, С.83-84.

Ястребов А.В. Моделирование научных исследований как средство оптимизации обучения студента педагогического вуза: Дис. ... д-ра пед. наук. / Ярославск. гос. пед. ун-т им. К.Д. Ушинского. / Ярославль, 1997. 386 с.