Многофункциональность упражнения и многофакторность умения (стр. 1 из 2)

А.В. Ястребов, Ярославский государственный педагогический университет

В работе сформулированы два положения, связанные с процессом формирования математических умений. Проведено их обсуждение с точки зрения некоторых современных концепций преподавания математики.

Основные утверждения

Первое утверждение, которое мы назовём многофункциональностью упражнения, формулируется так: упражнение формирует, как правило, не одно умение, а целую группу умений.

Проиллюстрируем это на материале курса алгебры и теории чисел. Для этого рассмотрим следующую задачу.

Задача. Подкольцо Z кольца R порождает бинарное отношение T на R следующим образом:

.

Является ли T отношением эквивалентности? Если да, то найдите фактор-множество R/T.

Прежде всего отметим, что появление такой задачи при изучении отношений эквивалентности вполне естественно. Действительно, при построении теории чисел в рамках базового курса алгебры и теории чисел мы вместо включения Z R используем включение Gm Z, где Gm - множество чисел, кратных m 0,  1, а вместо бинарного отношения T - отношение сравнения ≡ по модулю m ; сами же отношения T и ≡ определяются единообразно.

Доказательство того факта, что T - отношение эквивалентности, основано на свойствах операций над вещественными числами. Например, транзитивность доказывается следующим образом:

Переходя к описанию фактор-множества нетрудно заметить, что любые различные числа полусегмента [0, 1) попарно неэквивалентны, и что любое вещественное число эвкивалентно одному из чисел данного полусегмента. Таким образом, фактор-множество построено, однако результат построения недостаточно хорош, поскольку с тем же основанием можно назвать фактор-множеством многие другие объекты, например, полусегмент [a, a+1) при произвольном a, полуинтервал (а, а+1], объединение сегмента и интервала

и т.д. Для канонического описания фактор-множества нужно вспомнить, что полусегмент [0, 1) находится во взаимно-однозначном соответствии с полусегментом [0, 2 ), который, в свою очередь, находится во взаимно-однозначном соответствии с окружностью S, заданной стандартными параметрическими уравнениями. Образуя композицию этих соответствий, мы можем получить каноническое отображение , определяемое параметрическими уравнениями

Итак, фактор-множество является окружностью: R/T=S.

Приведённая схема решения показывает, что задача по своему происхождению является алгебраической, результат формулируется на геометрическом языке, а значительная часть доказательства осуществляется с помощью техники, характерной для математического анализа. Действительно, данная задача формирует группу разнохарактерных умений.

Отступим от основной линии изложения и наметим развитие данной задачи в двух направлениях, геометрическом и алгебраическом.

Отношение T на R порождает бинарное отношение T1

на множестве R2, которое определяется следующим образом:

Другими словами, две точки из R2 находятся в бинарном отношении T1, если их первые координаты эквивалентны в смысле отношенияT.

Нетрудно доказать, что T1 - отношение эквивалентности. Из его определения вытекает, что для факторизации R2 = R R по T1 нужно профакторизировать по T первый множитель декартова произведения, откуда следует, что R2/T1=(R/T) R=S R. Очевидно, что декартово произведение окружности S на прямую R является цилиндром.

Аналогично, отношение T на R порождает бинарное отношение T2 на множестве R2, которое определяется следующим образом:

Другими словами, две точки из R2 находятся в бинарном отношении T2, если их соответственные координаты эквивалентны в смысле отношения T.

Нетрудно доказать, что T2 - отношение эквивалентности. Из его определения вытекает, что для факторизации R2 = R R по T2 нужно профакторизировать по T каждый множитель декартова произведения, откуда следует, что R2/T2 = (R/T) (R/T)=S S. Декартово произведение двух окружностей - это тор. Таким образом, исходная алгебраическая задача получила хорошее геометрическое продолжение.

Эту же задачу можно рассматривать с точки зрения теории групп, поскольку (R, +) - это группа. Каждое вещественное число a порождает класс эквивалентности ā R/T. Если определить операцию сложения на R/T с помощью формулы

то можно доказать, что это определение корректно и что пара (R/T, +)образует группу.

Вспомним теперь об отождествлении фактормножества с окружностью: классы эквивалентности ā и

из фактормножества соответственно отождествляются с точками и на окружности. В силу этого операция сложения классов индуцирует операцию сложения точек: . Естественно поставить вопрос о том, как найти положение точки C на окружности, зная положения точек A и B. Совершенно аналогично можно построить операции над точками цилиндра и тора и поставить задачу о выяснении геометрического смысла этих операций. Таким образом, как исходная задача, так и её продолжение формирует целую группу умений из различных разделов математики.

Второе из основных утверждений, которое мы назовём многофакторностью умения, формулируется так: умение формируется, как правило, под воздействием многих разнохарактерных упражнений.

Дело в том, что умение нельзя считать сформированным в момент сообщения студенту его формально-логической базы, т.е. формулы, теоремы, алгоритма и т.д. Для его полного формирования необходима как стадия пропедевтики, так и стадия применения. Последняя, в свою очередь, состоит из двух частей: непосредственного применения и вхождения умения в качестве составной части в более сложный комплекс умственных действий. Например, вряд ли можно считать, что учащийся овладел тригонометрическими формулами в тот момент, когда они были впервые выведены преподавателем или даже получены самостоятельно. Их полное освоение происходит в процессе решения тригонометрических уравнений и неравенств, доказательства тригонометрических тождеств, исследования тригонометрических функций, вычисления тригонометрических интегралов, действий с комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, и.т.д. Умение приводить матрицу к ступенчатому виду оказывается полностью сформированным в результате решения систем линейных уравнений, исследования таких систем с параметрами, применения метода неопределённых коэффициентов в алгебое и математическом анализе, выполнения более чем полутора десятков алгоритмов линейной алгебры. Умение дифференцировать формируется не только при выполнении упражнений на технику дифференцирования, но также при исследовании функций и построении их графиков, при дифференцировании интегралов с переменным верхним пределом, при исследовании функций многих переменных, при изучении функций комплексного переменного.

Перечисленные и многие другие примеры выявляют одно объективное обстоятельство: многие математические умения и навыки, которые начали формироваться ещё в школе, доводятся до совершенства в вузе в процессе решения упражнений и задач самых разнообразных типов.

Основные утверждения в свете некоторых методических концепций

Рассмотрим сформулированные выше основные утверждения с точки зрения трёх методических концепций: авторской концепции обучения математике как модели научных исследований [5], теоретических основ подготовки преподавателей профильных школ О.А. Иванова [1] и технологии наглядно-модельного обучения Е.И. Смирнова [4].

Согласно первой из них обучение математике в педвузе должно быть моделью исследовательской работы в сфере математики и методики её преподавания [5. С.17]. При этом одним из свойств научной работы, подлежащих воспроизведению в учебном процессе, является современность ведущихся исследований. Моделирование этого свойства предполагает введение студентов в круг объектов, изучаемых наукой в настоящее введение студентов в круг объектов, изучаемых наукой в настоящее время, знакомство с типичными исследовательскими задачами [5. С.19-20]. Для педагогических вузов, в отличие от классических университетов, это чрезвычайно сложная задача, поскольку преподаватели вынуждены оставаться в рамках государственных образовательных стандартов, которые, к сожалению, достаточно бедны.

Покажем, что несмотря на свою простоту, задачи предыдущего раздела готовят студентов к восприятию таких современных математических понятий, как группы Ли и однородные пространства. В предыдущем разделе было показано, что на окружности, цилиндре и торе можно ввести алгебраические операции, удовлетворяющие аксиомам группы. Тем самым в поле зрения студентов возникает необычное явление, когда предмет изучения несёт на себе одновременно две разнотипные структуры, а именно, является и геометрическим объектом, и группой. Ретроспективный взгляд показывает, что эта ситуация встречалась достаточно часто, хотя ей быть может, и не уделялось должного внимания. Действительно, целый ряд хорошо знакомых геометрических объектов несёт на себе групповую структуру: прямая (группа R по сложению), прямая с выколотой точкой (группа R*=R\ 0 по умножению), открытый луч (группа положительных чисел по умножению), плоскость (группа R2 по сложению), плоскость с выколотой точкой (группа C*=C\ 0 по умножению). К этому списку из восьми примеров можно при желании добавить спирали на комплексной плоскости