Группы симметрий квадрата и куба (стр. 2 из 2)

Умножение символов из трех векторов будем производить так же, как и умножение символов из двух векторов. Для вычисления коммутаторов потребуются обратные преобразования, поэтому отметим следующее. Так как преобразования куба, обозначенные символами (ε1e1, ε2e2, ε3e3) (εi= 1, i=1,2,3), а также нечетными символами (e1, e3, e2), (e3, e2, e1), (e2, e1, e3) есть симметрии, то каждое из них совпадает со своим обратным преобразованием:

(ε1e1, ε2e2, ε3e3)-1 = (ε1e1, ε2e2, ε3e3),

(e1, e3, e2)-1 = (e1, e3, e2), (e3, e2, e1)-1 = (e3, e2, e1), (e2, e1, e3)-1 = (e2, e1, e3).

Для поворота вокруг оси в данном направлении обратным является поворот вокруг той же оси в противоположном направлении на такой же угол, поэтому (e3, e1, e2)-1 = (e2, e3, e1) и наоборот (e2, e3, e1)-1 = (e3, e1, e2).

Упражнение. Проверьте справедливость следующих равенств:

(e3, e1,e2) (e2, e3, e1) = (e1, e2, e3).

(e3, e1, e2) (e2, e1, e3) = (e3, e2, e1).

(-e3, -e2, e1) (-e2, e1, -e3) = (e3, -e1, -e2).

(-e1, -e2, -e3) (-e1, -e3, e2) = (e1, e3, -e2).

(-e2, -e1, e3) (-e3, -e2, e1) = (e2, e3, e1).

Из рассмотренных упражнений следует, что умножение двух четных символов дает четный символ (упр. 1), умножение двух нечетных символов - четный символ (упр. 3, 5), умножение четного и нечетного - нечетный символ (упр. 2, 4). Из упражнений 3, 4, 5 ясно, что по-прежнему, как и при умножении символов из двух векторов, четность числа минусов в произведении совпадает с четностью числа суммы минусов сомножителей.

Выясним теперь, разрешима ли группа симметрий куба (G3)?

Коммутатор [ab] есть результат умножения четырех сомножителей aba-1b-1. Поэтому в силу предыдущих замечаний и следствий, вытекающих из упражнений, любой коммутатор группы симметрий куба задается четным символом (таких три), имеющим четное число минусов (либо два, либо ни одного). Вычисление показывает, что коммутант

группы симметрий куба состоит из следующих преобразований:

(e1, e2, e3), (e3, e1, e2), (e2, e3, e1),

(e1, -e2, -e3), (e3, -e1, -e2), (e2, -e3, -e1),

(-e1, e2, -e3), (-e3, e1, -e2), (-e2, e3, -e1),

(-e1, -e2, e3), (-e3, -e1, e2), (-e2, -e3, e1).

Табл. 2

Найдем коммутант от полученного коммутанта (

).

Элементы первой строки табл. 2 образуют коммутативную группу поворотов вокруг оси DB1, поэтому все коммутаторы группы

без учета знаков сводятся к единице (e1, e2, e3). С учетом же знаков коммутаторами будут преобразования первого столбца табл.2 (число минусов коммутатора может быть по-прежнему только четно):

(e1, e2, e3), (e1, -e2, -e3), (-e1, e2, -e3), (-e1, -e2, e3).

Эти четыре элемента образуют коммутативную группу с таблицей умножения такой же, как у группы Клейна (K4) (табл. 1). Таким образом, коммутантом

группы является коммутативная группа Клейна, а ее коммутант есть единица. Так как последовательность коммутантов группы приводит к единице:

  = e,

то группа симметрий куба разрешима.

Аналогично тому, как от квадрата (двумерного куба) мы перешли к трехмерному кубу, можно от трехмерного куба перейти к четырехмерному и пятимерному. Представить эти фигуры трудно, но можно дать им следующее описание. Три взаимно-перпендикулярных вектора, отложенных от центра трехмерного куба, задают прямоугольную систему координат Oxyz (рис. 5) трехмерного пространства. Координаты восьми вершин куба в этой системе координат есть наборы троек чисел вида: ( 1,  1,  1). В четырехмерном пространстве система координат содержит четыре взаимно-перпендикулярных вектора (e1, e2, e3, e4). Тогда четырехмерный куб можно задать 16-ью вершинами с координатами ( 1,  1,  1,  1). Аналогично можно получить пятимерный куб. Тогда движения этих кубов можно также задать символами из четырех и пяти векторов:

( ei,  ej,  ek,  et);

i, j, k, t = 1, 2, 3, 4;

i j k t; j t i k;

( ei,  ej,  ek,  et,  ep);

i, j, k, t, p = 1, 2, 3, 4, 5;

i j k t p; j t i k p; i p j.

Если рассмотреть группы симметрий четырехмерного куба (G4) и пятимерного куба (G5), то проводя аналогичные рассуждения, можно доказать, что группа G4 разрешима, а группа G5 - не разрешима.

Коммутаторами этих групп (

и ) по-прежнему будут преобразования, обозначенные четными символами с четным числом минусов. Так в входят преобразования, символы которых, без учета знаков получаются из (e1, e2, e3, e4):

1) если один вектор остается на месте, а три переставлены четное число раз; например, (e1, e4, e2, e3) или

2) путем перестановки векторов в двух парах, таких без учета знаков - три:

(e2, e1, e4, e3); (e3, e4, e1, e2); (e4, e3, e2, e1).

Например, символ (e2, e1, e4, e3) получится из (e1, e2, e3, e4), если переставить вектора в паре e1, e2 и в паре e3, e4. Если к последней строке добавить единицу (e1, e2, e3, e4), то опять будем иметь группу Клейна. Читатель может проверить, что коммутант

группы состоит из элементов этой группы Клейна, взятых с четным числом минусов (нуль, два, четыре). Коммутант состоит из восьми элементов. Все они записываются символом с натуральным порядком векторов и имеют четное число минусов. Группа - коммутативная, поэтому ее коммутант состоит из одной единицы. Из чего следует, что группа симметрий четырехмерного куба разрешима.

Группа

не разрешима, так как = = = ...  e, так же как и группа для n>5.

Добавим, что проблема разрешимости группы связана с проблемой разрешимости алгебраического уравнения в радикалах. Так уравнения выше 4-ой степени не разрешимы в радикалах. Это означает, что существуют уравнения n-ой степени (n>4), корни которых нельзя выразить через коэффициенты этого уравнения с помощью алгебраических действий и извлечения корней n-ой степени.