I. Правила определения (задания) возможных значений предметных переменных и правила приписывания предметных значений дескриптивным постоянным в составе рассматриваемых в том или ином случае формул—интерпретация выражений языка. II. Правила приписывания значений свободным переменным в составе тех или иных рассматриваемых формулу. III. Правила приписывания истинностных значений интерпретированным формулам, не содержащим свободных переменных. I. Интерпретация состоит, во-первых, в выборе некоторого непустого множества D индивидов, предметов того или иного типа, к которым могут относиться образуемые из тех или иных формул языка высказывания. Индивиды — любые предметы в широком смысле этого слова, структура которых не учитывается, и которые можно отличать друг от друга. В качестве такой области D можно взять множество людей, растений, городов, чисел и т. д.; возможно, также объединение в одной области множеств различных предметов, например, людей, городов, домов (положим, для выражения высказываний о местах жительства людей). Но при этом все различные предметы, рассматриваются именно как индивиды. Область D — это область возможных значений предметных переменных символы предметных переменных х, у, z, становятся именно переменными лишь при указании области их возможных значений. Предполагается, что на области D определено некоторое множество свойств, отношений и характеристик предметно-функционального типа (то есть возможных значений предикаторов и предметных функторов).
Второй момент интерпретации языка состоит в задании некоторой функции j
(интерпретационная функция) приписывания значений дескриптивным постоянным (предметным константам, предикаторам, предметным функторам опять-таки в составе рассматриваемых формул). Задание j
в каждом конкретном случае представляет собой просто указание на то, какие значения должны быть приписаны упомянутым исходным символам языка в составе рассматриваемых формул. При этом предметным константам (простые постоянные термы) приписываются в качестве предметных значений определенные предметы из заданной области D. Предикатному (n-местному) символу P¸ⁿ при n =1 в качестве значения приписываются некоторые свойства а при n > 1 — n-местное отношение (между предметами В). Например, если область D есть множество целых положительных чисел, то предикатному символу P¹₁ можно приписать в качестве значения свойство «четно», а предикатору P²₁ отношение «больше» или «меньше». Предметному функтору fⁿ₁ в качестве предметного значения функция j
приписывает какую-нибудь n-местную предметную функцию, определенную на области D. Например, для области чисел таковыми могут быть синус, косинус (одноместные функции), сумма, произведение (двухместные функции), для области людей — одноместные (возраст, рост), для области материальных тел — объем, удельный вес.
Значения сложных термов, каковыми являются также предметы из области D, и приписывание которых составляет их интерпретацию, вычисляются в зависимости от приписанных уже значений их простым составляющим — предметным константам, предметным функторам, а также и возможным предметным переменным, значения которых приписываются по правилам II. Вычисление происходит в соответствии с правилами построения сложного терма. Сложные термы образуются, как мы видели, с применением предметных функторов и строятся индуктивно. Значение такого терма вычисляется последовательно в соответствии с порядком его построения.
Пример. Имеем терм f²₁(f²₁(a₁ , a₂), f²₂(a₁, a₃)).
Пусть область D — целые положительные числа, a₁ есть число 3,a₂ =4, a₃ = 5, f²₁ — сумма, f²₂ — произведение.
Тогда
f²₁(a₁ , a₂)=7;
f²₂(a₁, a₃)=15;
f²₁(f²₁(a₁ , a₂), f²₂(a₁, a₃))=22.
II. Свободным переменным в той или иной формуле (а тем самым и в составе термов этой формулы) в качестве значений приписывают, также как и постоянным термам, предметы из области D. Такие приписывания осуществляются когда мы хотим получить из интерпретированной формулы со свободными переменными высказывание нашего языка. Приписывание осуществляют заменой каждого вхождения некоторой свободной переменной какой-либо предметной константой с одновременной интерпретацией таковой, если она еще не была интерпретирована в формуле.
Будем говорить, что при осуществлении этих приписываний в добавление к уже имеющейся интерпретации формулы, формула оказывается полностью интерпретированной.
Однако важно заметить, что формулы со свободными переменными нужны не только для образования высказываний из них. Они представляют собой особые высказывательные формы, называемые предикатами. Это сложные знаковые формы возможных свойств предметов заданной области и возможных отношений среди этих предметов. По типу их предметных значений они должны быть отнесены к категории предакаторов. Можно назвать их сложными предикаторами (в отличие от простых, указанных среди исходных символов). Надо отметить, что эти формы не выделяются и даже не замечаются в естественных языках. Они играют, однако, решающую роль в теории понятия. Имея тот или иной предикат, можно ставить вопрос, для каких предметов, которые могут представлять свободные переменные, этот предикат выполняется или не выполняется. В таком случае мы просто указываем предметы для соответствующих переменных (не осуществляя указанных подстановок предметных констант вместо них). Например, можно сказать, что предикат «(Р2(x, a₁) >∃yQ2(x, y))», — выражающий свойство какого-то числа х из области натуральных чисел, состоящее в том, что «если это число больше 5 (знаками отношения «больше» и «5» является соответственно Р2 и a₁ то оно делится без остатка (Q2) на некоторое число у», выполняется для чисел 6, 8, 9 и т. д., но не выполняется для 7, 11 и др.
III. Приписывание истинностных значений полностью интерпретированным формулам.
Напомним, что полностью интерпретированная формула — это формула, в которой осуществлена интерпретация дескриптивных постоянных и приписано значение всем свободным переменным, если таковые имеются в ней. Каждая такая формула представляет собой определенное высказывание — с определенным смыслом и истинностным значением — но лишь при условии, если нам известны значения встречающихся в ней — явным или неявным образом — логических констант, (которые и определяются рассматриваемыми правилами III). Явным образом указываются — в сложных формулах — логические константы, перечисленные в списке исходных символов. Простые атомарные формулы видов Pⁿ (t₁, …,tn) по-видимому, не содержат логических констант. Однако, неявным образом здесь присутствует логическое отношение принадлежности свойства Р некоторому предмету t при n= 1 или о наличии отношения Pⁿ между предметами t₁, …,tnиз области D.
Определение значений всех логических терминов, как явно обозначенных, так и неявно содержащихся в формулах, осуществляется как раз посредством правил приписывания истинностных значений полностью интерпретированным формулам нашего языка (строго говоря, мы имеем здесь так называемое неявное определение логических констант, но они достаточны для понимания того, какой именно смысл они придают нашим высказываниям).
Правила эти таковы. Значение простого (атомарного) высказывания Pⁿ (t₁, …,tn), n >= 1, определяется в зависимости от заданных значений термов t₁, …,tn и предикатора Pⁿ . Оно зависит от характера предметов данной предметной области. Положим, имеем формулу: P²(f¹₁ (a₁), f¹₁(a₂)). Предположим, что согласно заданной интерпретации D — множество людей: Р2 означает «больше»: f¹₁ «возраст»: a₁ — Петров, a₂ — Сидоров. Вся формула представляет собой высказывание «Возраст Петрова больше, чем возраст Сидорова». Высказывание истинно или ложно в зависимости от того, имеет или не имеет место данное отношение между возрастами Петрова и Сидорова.
Заметим, что в части лексики мы перевели здесь высказывание, полученное из определенной формулы рассматриваемого языка (ЯКЛП), по существу на обычный естественный русский язык. В самом ЯКЛП знаковой формой его является упомянутая формула. Подобные переводы обычно напрашиваются сами собой в силу того, что задание значений отдельных терминов — составляющих формулу — осуществляется посредством выражений естественного языка. Мы говорим «значение Р2 — больше, a₁ и a₂ — соответственно Сидоров и Петров» и т. п.). Это значит, что приписывание предметных значений выражениям описываемого языка осуществляется методом перевода их в тот или иной естественный язык. Может показаться, что при упомянутых переводах высказываний данного языка на естественный теряется та самая точность их выражений, ради достижения которой как раз и строятся формализованные языки. Однако точность здесь по сравнению с естественными языками достигается не за счет более точною употребления отдельных терминов, — достаточная точность их уже должна быть обеспечена при осуществлении интерпретации выражений формализованного языка — а за счет определенных, стандартных способов построения высказываний и их логических форм. И она именно сохраняется, или точнее сказать, должна сохраняться при указанных переводах.