Великая теорема Ферма

Валерий Петров

Более 350 лет математики всего мира безуспешно ищут ответ на вопрос: «Верна ли великая теорема Ферма?». Не находит его и дьявол, изучив за 10 часов все без исключения разделы математики и потратив остаток времени на собственные изыскания, он, за 10 минут до истечения срока, появляется с пачкой исписанных листков, швыряет их на пол и топчет ногами. И, признав свое поражение, исчезает... Однако спустя несколько минут появляется вновь и вместе с человеком начинает искать ответ на поставленный вопрос».

В действительности, однако, все было несколько иначе. Когда дьявол узнал об условии заключения договора с ученым-математиком о продажи его души, он рассмеялся и сказал: «Нет ничего проще. У меня есть доказательство этой теоремы, написанное самим Ферма». С этими словами дьявол достал из кармана аккуратно сложенный лист бумаги и протянул его ученому. Флэгг уселся поудобнее в кресло у камина и стал читать.

«Пусть имеется три целых числа, удовлетворяющих уравнению:

z3 = x3 + y3

(1)

Очевидно, эти числа попарно не должны иметь общих множителей. Также очевидно, что число z меньше суммы двух других чисел, т.е.

z < x + y

(2)

Пусть имеется три отрезка длиной z, x, y, удовлетворяющих условию (2). Тогда в силу известной теоремы на этих отрезках можно построить треугольник как на сторонах. Предположим, что треугольник прямоугольный. Тогда для сторон этого треугольника справедливы два соотношения:

z³ = x³ + y³ и z² = x² + y²,

откуда следует:

(x³ + y³)² = (x² + y²)³;

x⁶ + 2x³y³ + y⁶ = x⁶ + 3x⁴y² + 3x²y⁴ + y⁶;

2x³y³ = 3x⁴y² + 3x²y⁴;

2x³y³ = 3x²y²(x² + y²);

2xy = 3(x² + y²).

Пусть x = y + b. Тогда:

2y(y + b) = 3(x² + y²);

2y² + 2yb = 3x² + 3y²;

2y² + 2yb – 3y² = 3x²;

2yb – y² = 3x²;

y(2b – y) = 3x²;

Пусть 2b – y = c, тогда y = 3x²/c.

Пусть 3/c = d, тогда

y = dx2

(3)

Таким образом, число x является одним из сомножителей числа y, что недопустимо и, следовательно, уравнение (1) не имеет целочисленных решений удовлетворяющих условию (2).

Применяя бином Ньютона для возведения в степень суммы чисел x²+y² в степень, можно аналогичным образом доказать теорему для любых чисел n>3.

Известно, однако, что существует теорема, согласно которой треугольник, между сторонами которого имеется соотношение zⁿ=xⁿ+yⁿ, при n>3 является остроугольным. Тогда для сторон этого треугольника справедливы два соотношения:

zⁿ = xⁿ + yⁿ и z² = x² + y² + 2xy · cosα,

где α – угол между сторонами x и y.

Однако и в этом случае доказательство сводится к тому, что y оказывается равным dx², так же, как это было показано для прямоугольного треугольника (3).

Флэгг задумался на мгновенье и неожиданно швырнул бумагу прямо в огонь. «Зачем Вы это сделали?» – воскликнул дьявол. «Я нахожу, что слишком дешево продал свою душу. Так пусть же никто больше не воспользуется этим доказательством!» – ответил Флэгг.

«В самом деле», подумал дьявол, «пусть математики еще поломают головы над доказательством этой теоремы».