Проекция инвариантной меры с орбиты коприсоединенного представления на подалгебру Картана (стр. 1 из 2)

С.В. Никитин, Омский государственный университет, кафедра математического анализа

1. Введение

В 1973 г. Костант в своей работе [1] показал, что если G компактная группа и

ее алгебра Ли, то для элемента X из подалгебры Картана алгебры выполнено равенство

где

- ортогональная проекция (относительно формы Киллинга); - группа Вейля алгебры , означает выпуклую оболочку множества A.

Теорема Костанта о выпуклости является обобщением более ранних результатов Шура и Хорна. В 1923 г. Шур доказал, что диагональ

эрмитовой матрицы A=(aij) порядка n с собственными числами содержится в выпуклой оболочке множества , где Sn - симметрическая группа, действующая на перестановками координат. Затем Хорн показал, что каждая точка этой выпуклой оболочки может быть получена таким способом.

Таким образом, проекция орбиты

- это выпуклый многогранник с вершинами в точках . В 1982 г. Guillemin и Stenberg [2], а также Atiyah [3] дали интерпретацию теоремы Костанта как теоремы о выпуклости отображения моментов. Следующий естественный шаг - нахождение проекции инвариантной меры с орбиты на подалгебру Картана. Существует формула Duistermaat-Heckman'а [4, 5] для преобразования Лапласа проекции инвариантной меры, по которой она может быть восстановлена, но представляет интерес и прямая геометрическая конструкция для нахождения проекции инвариантной меры, которая предложена в этой статье.

2. Предварительные сведения

Пусть

- конечномерная вещественная простая компактная алгебра Ли, - ее подалгебра Картана. Группа Ли G алгебры действует на с помощью коприсоединенного представления : , где , . Определим орбиту элемента :

На каждой орбите

существует единственная с точностью до пропорциональности инвариантная мера , т.е. такая, что для любой непрерывной функции и для любого

Пусть

ортогональная проекция. Определим проекцию меры на - это мера , задаваемая соотношением:

где

- финитная непрерывная функция на . Мера абсолютно непрерывна и , где - плотность проекции меры . Нахождению плотности и посвящена эта статья.

Введем некоторые обозначения:

- система корней алгебры , - множество положительных корней, - их полусумма. Пусть - решетка весов алгебры , кроме того, пусть обозначает множество , где - камера Вейля. представляет собой множество всех старших весов . Каждому неприводимому представлению группы G соответствует единственный старший вес . Если - характер этого представления, то формула Кириллова утверждает, что

где

Интеграл в правой части формулы Кириллова можно понимать как обратное преобразование Фурье от функции

:

Таким образом, формулу Кириллова можно переписать в следующем виде:

или

Пусть

неприводимое представление . Обозначим множество весов как . Если , то обозначает кратность веса в представлении . Известно, что

Поэтому, применяя преобразование Фурье к обеим частям равенства, получаем:

где

- дельта-функция в точке . Найдя функцию , мы получим выражение для функции :

или

Точное выражение для функции

в дальнейшем не требуется, нам достаточно знать, что это положительная, финитная, кусочно-непрерывная функция.

3. Функция

В этом разделе мы определим функцию

, через которую выражается функция , а также укажем некоторые ее свойства.

В дальнейшем мы будем использовать следующие обозначения: d - ранг алгебры, т.е. размерность подалгебры Картана

, s - число положительных корней, r - разность s-d, которая строго больше нуля для всех алгебр Ли (кроме алгебры A1). Для того чтобы определить , мы рассмотрим систему положительных корней как проекцию набора из s попарно ортогональных векторов. Остановимся на этом более подробно.