Лоренцева функция расстояния и причинность (стр. 2 из 2)

Заметим сначала, что не существует точки

, обладающей следующим свойством: любая окрестноть точки z целиком содержит кривую для некоторого , так как это бы означало, что при , т.е. существование у кривой концевой точки z, чего быть не может вследствие того, что непродолжаема.

Следовательно, существует малая окрестность Ux точки x такая, что кривая

, входя в нее, через некоторое время обязательно ее покидает, после чего опять в нее входит (т.к. ), и т.д. Построим покрытие кривой достаточно малыми окрестностями ее точек. Обратим внимание на то, что все кривые , за исключением конечного числа, проходят внутри любой окрестности кривой , не выходя из нее (разве что покидают ее, когда "кончается"). То есть "повторяют" движение .

Таким образом, кривые

бесконечное число раз покидают Ux и возвращаются в нее, следуя за (прилегая к ней сколь угодно близко). При этом кривые не могут пройти через точку p, так как их "сопровождает" кривая , которая в таком случае так же должна была бы пройти через p, как предельная для последовательности , чего, как упоминалось выше, быть не может.

В результате получили, что ни для какого конечного значения параметра

, т.е. кривые не проходят через точку p. Невозможен также случай, когда при , так как это означало бы наличие у кривых концевой точки, чего быть не может, так как -непродолжаемые кривые. Но по выбору кривые выходят из точки p. Следовательно, мы получили противоречие, означающее, что наше предположение о существовании предельной точки у бесконечной последовательности неверно. А зто означает, что множество некомпактно.

Пусть далее h - вспомогательная (геодезически) полная положительно определенная метрика на M, а

- риманова функция расстояния, индуцированная на M метрикой h. По теореме Хопфа-Ринова для римановых многообразий из полноты (M, d0) следует, что все подмножества M, ограниченные относительно d0, имеют компактные замыкания.

Следовательно, из того, что множество

некомпактно, заключаем, что множество неограничено (относительно d0). Отсюда следует, что для каждого n можно выбрать так, что d0(p, pn)<n. Возьмем точки и , связанные условием: , и покажем, что существует конформный множитель такой, что .

Так как

, т.е. существует направленная в будущее времениподобная кривая, идущая из в . Выберем параметризацию кривой так, что . Обозначим через гладкую функцию, обладающую следующими свойствами: , если и длина в метрике больше n: . Определим (корректность этого определения следует из того, что для каждого самое большое лишь один из сомножителей отличен от единицы). Получаем:

Тогда из соотношений

и обратного неравенства треугольника следует:

(первое слагаемое больше n, второе больше нуля).

Так как это неравенство справедливо для всех n>1, то получаем следующее соотношение:

Таким образом, найдена лоренцева метрика

, глобально конформная метрике g, в которой не выполняется условие конечности расстояния, что противоречит исходному условию теоремы. Это означает, что наше предположение о незамкнутости множества J+p неверно. Следовательно, пространство-время (M, g) является причинно простым, а значит, и сильно причинным, что с условием конечности расстояния для всех означает (по лемме) его глобальную гиперболичность.

В заключение заметим, что условия различаемости (M, g) и конечности расстояния для всех

влекут также непрерывность лоренцевой функции расстояния в любой метрике , так как глобальная гиперболичность остается при всех (конформные преобразования не меняют причинную структуру), а в любом глобально гиперболическом пространстве-времени лоренцева функция расстояния непрерывна ([1], следствие 3.7).

Список литературы

Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия. M.: Мир, 1985.

Пенроуз Р. Структура пространства-времени. М.: Мир, 1972.